高三數學數形結合思想(參考版)
2024-11-13 08:47本頁面
【正文】 | FF ′ | 12| PA |江西 ) 若不等式 9 － x2≤ k ( x ＋ 2) － 2 的解集為區(qū)間 [ a ， b ] ，且 b － a ＝ 2 ，則 k ＝ _ _ _ _ . 解析 令 y 1 ＝ 9 － x2， y 2 ＝ k ( x ＋ 2) － 2 ，在同一個坐標系中 作出其圖象，因 9 － x2≤ k ( x ＋ 2) － 2 的解集為 [ a ， b ] 且 b － a ＝ 2. 結合圖象知 b ＝ 3 ， a ＝ 1 ，即直線與圓 的交點坐標為 ( 1 , 2 2 ) ． ∴ k ＝2 2 ＋ 21 ＋ 2＝ 2 . 2 題型三 數形結合思想在幾何中的應用 例 3 已知 P 是直線 3 x ＋ 4 y ＋ 8 ＝ 0 上的動點， PA 、 PB 是圓 x2＋ y2－ 2 x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 的兩條切線， A 、 B 是切點， C 是圓心，求四邊形 P AC B 面積的最小值． 思維啟迪 在同一坐標系中畫出直線與圓． 作出圓的切線 PA 、 PB ，則四邊形 P AC B 的 面 積 S 四邊形 P A C B ＝ S △ P A C ＋ S △ P B C ＝ 2 S △ P A C . 把 S 四邊形 P A C B 轉化為 2 倍的 S △ P A C 可以有以下多 條數形結合的思路． 畫出對應圖形 → 利用數形結合明確所求 → 求解得結果 解 方法一 從運動的觀點看問題，當動點 P 沿直線3 x ＋ 4 y ＋ 8 ＝ 0 向左上方或向右下 方無窮遠處運動時，直角三角形 P A C 的面積 SRt △ P A C＝12| PA | 第 2 講 數形結合思想 感 悟高 考 明確考向 ( 2 0 1 0 全國 ) 已知函數 f ( x ) ＝????? | l g x |， 0 x ≤ 10 ，－12x ＋ 6 ， x 1 0 ，若a ， b ， c 互不相等，且 f ( a ) ＝ f ( b ) ＝ f ( c ) ，則 a b c 的取值范圍是 ( ) A ． ( 1 , 1 0 ) B ． ( 5 , 6 ) C ． ( 1 0 , 1 2 ) D ． ( 2 0 , 2 4 ) 解析 作出 f ( x ) 的大致圖象． 由圖象知，要使 f ( a ) ＝ f ( b ) ＝ f ( c ) ，不妨設 a b c ，則 － l g a ＝ l g b ＝－12c ＋ 6. ∴ l g a ＋ l g b ＝ 0 ， ∴ ab ＝ 1 ， ∴ a b c ＝ c . 由圖知 10 c 1 2 ， ∴ a b c ∈ ( 1 0 , 1 2 ) ． 答案 C 考題分析 本小題考查了分段函數的特征及性質．考查了對數函數及其運算．重點考查了解決問題的方法即數形結合的思想方法．體現(xiàn)了對知識和能力的雙重考查． 易錯提醒 ( 1 ) 找不到問題解決的突破口．即想不到用數形結合． ( 2 ) f ( x ) 的圖象的特征不清，忽視對 ( 1 ,0 ) 和 ( 1 0 ,1 ) 這兩個特殊點的分析． ( 3 ) 不會借助圖形進行分析． 思想方法概述 1 ． 數形結合的數學思想：包含 “ 以形助數 ” 和 “ 以數 輔形 ” 兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來 闡明數之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數作為目的，比如應用函數的圖象來直觀地說明函數的性質；二是借助于數的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質． 2 ．運用數形結合思想分析解決問題時，要遵循三個原 則： ( 1 ) 等價性原則．在數形結合時，代數性質和幾何性質的轉換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞．有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數的一般性，這時圖形的性質只能是一種直觀而淺顯的說明，要注意其帶來的負面效應． ( 2 ) 雙方性原則．既要進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數抽象探求，僅對代數問題進行幾何分析容易出錯． ( 3 ) 簡 單性原則．不要為了 “ 數形結合 ” 而數形結合．具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當設參、用參、建立關系、做好轉化；三要挖掘隱含條件，準確界定參變量的取值范圍，特別是運用函數圖象時應設法選擇動直線與定二次曲線． 3 ．數形結合思想解決的問題常有以下幾種： ( 1 ) 構建函數模型并結合其圖象求參數的取值范圍； ( 2 ) 構建函數模型并結合其圖象研究方程根的范圍； ( 3 ) 構建函數模型并結合其圖象研究量與量之間的大小關系； ( 4 ) 構建函數模型并結合其幾何意義研究函數的最值問題和證明不等式； ( 5 ) 構建立體幾何模型研究代數問題； ( 6 ) 構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題； ( 7 ) 構建方程模型，求根的個數； ( 8 ) 研究圖形的形狀、位置關系、性質等． 4 ．數形結合思想是解答高考數學試題的一種常用方法 與技巧，特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們在平時學習中加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度．具體操作時，應注意以下幾
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