雙曲線的定義與標準方程(參考版)
2024-11-13 02:17本頁面
【正文】 | PF 2 |＝ 16. 1． 遇到動點到兩定點距離之差問題 ， 要聯(lián)想應用雙曲線定義解題 ， 點 P在雙曲線上 ， 有 ||PF1|－|PF2||＝ 2a， 充分利用這一隱含條件 ， 是解決問題的重要技巧 ． 2． 求雙曲線的標準方程主要有：一是沒有給出坐標系 ， 必須建立坐標系 ， 根據(jù)雙曲線的定義確定出方程；二是給出標準形式 ， 要先判斷出焦點的位置 ， 如果焦點不確定要分類討論 ， 采用待定系數(shù)法求方程或用形如 mx2＋ ny2＝ 1(mn0)的形式求解 ． 方法感悟 3． 應用雙曲線的定義解題 ， 要分清是雙曲線的哪一支 ， 是否兩支都符合要求 ， 結(jié)合已知條件進行判斷 ． 。 | PF 2 |＝ 1 00 ， ∴ | PF 1 | ，求 △ F 1 PF 2 的面積． △ F1MF2與橢圓類似，集中了雙曲線的定義、余弦定理、三角恒等變換等知識． 解： 如圖所示，由x29－y216＝ 1 ，得 a ＝ 3 ， b ＝ 4 ， ∴ c ＝ 5. 由雙曲線定義及勾股定理得 | PF 1 |－ | PF 2 |＝ 177。 、 1 2 0 176。r2＝4 c2－ 4 a22 ? 1 － c o s θ ?， 所以 S △ F1MF2＝? c2－ a2? s in θ1 － c o s θ＝b2t a nθ2. 因為 0 θ π ， 0θ2π2， 在 (0 ，π2) 內(nèi)，1t a nθ2是減函數(shù)． 因此當 θ 增大時， S △ F1MF2＝b2t a nθ2減?。? 【名師點評】 ( 1 ) 由于三角形面積 S △ F1MF2＝12r1r2s in θ ，所以只要求出 r1r2即可，因此可考慮到雙曲線定義及余弦定理求出 r1r2，體現(xiàn)了數(shù)學中的整體思想． ( 2 ) 本題由 θ ＝ 6 0 176。r 2 s i n θ . 由雙曲線定義及余弦定理，有 ????? ? r 1 － r 2 ?2＝ 4 a2， ①r21 ＋ r22 － 2 r 1 ＝ 9 3 . 同理可求得若 ∠ F 1 MF 2 ＝ 1 2 0 176。 ， 在 △ F 1 MF 2 中， 由余弦定理得 | F 1 F 2 |2＝ r21 ＋ r22 － 2 r 1 r 2 co s 6 0 176。r2＝ 16 ， 即 | F1F2|2－ 4 S △ F1MF2＝ 16 ， 也即 52 － 16 ＝ 4 S △ F1MF2， 求得 S △ F1MF2＝ 9. 由雙曲線定義，有 r1－ r2＝ 2 a ＝ 4 ， 兩邊平方得 r21＋ r
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