第12講空間中的夾角和距離(參考版)
2025-07-02 16:27本頁面
【正文】 （2）求點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到平面的距離，一般轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊上的高；或利用三棱錐的底面與頂點(diǎn)的輪換性轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，即用體積法。④求點(diǎn)到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點(diǎn)在面內(nèi)的射影，.⑤求角與距離的關(guān)鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個(gè)三角形中，通過解三角形最終求得所需的角與距離求距離的關(guān)鍵是化歸。則cosq＝. 圖 1 圖 2 圖 32．空間的距離問題，主要是求空間兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條異面直線之間（限于給出公垂線段的）、平面和它的平行直線、以及兩個(gè)平行平面之間的距離．求距離的一般方法和步驟是：一作——作出表示距離的線段；二證——證明它就是所要求的距離；三算——計(jì)算其值．此外，我們還常用體積法求點(diǎn)到平面的距離．求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點(diǎn)：①注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置.②作線面角的方法除平移外，補(bǔ)形也是常用的方法之一；求線面角的關(guān)鍵是尋找兩“足”（斜足與垂足），而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理.③求二面角高考中每年必考，：根據(jù)定義或圖形特征作；根據(jù)三垂線定理（或其逆定理）作，先找面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可找到面的垂線；作棱的垂面。間接法主要是投影法：即在一個(gè)平面α上的圖形面積為S，它在另一個(gè)平面β上的投影面積為S′，這兩個(gè)平面的夾角為θ，則S′=Scosθ。所謂直接法求二面角，就是作出二面角的平面角來解。（2）求直線與平面所成的角，一般先確定直線與平面的交點(diǎn)（斜足），然后在直線上取一點(diǎn)（除斜足外）作平面的垂線，再連接垂足和斜足（即得直接在平面內(nèi)的射影），最后解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形，求出直線與平面所成的角。方法一是在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線；或過空間任一點(diǎn)分別作兩異面直線的平行線，這樣就作出了兩異面直線所成的角θ，構(gòu)造一個(gè)含θ的三角形，解三角形即可。五．思維總結(jié)空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射影以及與射影有關(guān)的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解這類問題的基本思路是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決．1．空間的角，是對由點(diǎn)、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進(jìn)行定量分析的一個(gè)重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的角θ∈(0，)，直線與平面所成的角θ∈，二面角的大小，可用它們的平面角來度量，其平面角θ∈(0，π)。如求二面角，只有根據(jù)推理過程找到二面角后，進(jìn)行簡單的運(yùn)算，才能求出。點(diǎn)評：求角和距離的基本步驟是作、證、算。在中，故二面角的正切值為。從而為二面角的平面角。（Ⅲ）求三棱錐的體積。題型8：面面角例8．（2006四川理，19）如圖，在長方體中，分別是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)。在具體的問題中，證明和計(jì)算經(jīng)常依附于某種特殊的輔助平面即基面。（3）解：由于線段B1D1被平面A1BC1所平分，則BD1到平面A1BC1的距離相等，則由（2）知點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離等于。d=易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，則cosA1BC1=，則sinA1BC1=，則S=。（1）證明：由于BC1∥AD1，則BC1∥平面ACD1，同理，A
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