【正文】 s1?20?10?2解答： 60s/.5/??????，??2251LgR?????1 1/4 / m。2112()(1.)????????212().(.).52121()()0.[]LRRLf?????19. 某二氧化碳激光器采用平、凹腔，L=50cm，R=2m，2a=1cm， 。試證明該腔為穩(wěn)定腔；?2?80cmL?它的等價(jià)共焦腔的參數(shù)；在圖上畫(huà)出等價(jià)共焦腔的具體位置。17. 求圓形鏡共焦腔 和 模在鏡面上光斑的節(jié)線(xiàn)位置。3am16. 試求出方形鏡共焦腔面上 模的節(jié)線(xiàn)位置，這些節(jié)線(xiàn)是等距分布的嗎？30TE解答：厄米特多項(xiàng)式的零點(diǎn)決定場(chǎng)的節(jié)線(xiàn)，m 階厄米特多項(xiàng)式有 m 個(gè)零點(diǎn)，因此 模沿30TEMx 方向有 3 條節(jié)線(xiàn)，沿 y 方向有 0 條節(jié)線(xiàn)。g4e13l d????解答：把 L=30cm，d=2 = 代入氦氖激光器增益公式a得到激光每程獲得的增益 ?腔的菲涅耳數(shù)27(.6)???由書(shū)中方形鏡共焦腔的單程功率損耗圖，可知 時(shí)腔中各模式的單程損耗約為N?量級(jí)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于增益，因此不可以作單模運(yùn)轉(zhuǎn)。此激光器能否作單模運(yùn)轉(zhuǎn)？如果想在共焦鏡面附近加一個(gè)方形小孔闌來(lái)選擇模，小孔的邊長(zhǎng)應(yīng)為多大？試根據(jù)圖 作一大略的估計(jì)。在這種情況下，對(duì)于在由光軸組成的平面內(nèi)傳輸?shù)淖游绻饩€(xiàn)，式（）中的 ，對(duì)于在于此垂直的(Rcos)/2f??平面內(nèi)傳輸?shù)幕∈腹饩€(xiàn)， ， 為光軸與球面鏡法線(xiàn)的夾角。解答：由已知 ，1R??2代入穩(wěn)定性條件 120R?????????解得 12mL14. 圖 所示三鏡環(huán)形腔，已知 ，試畫(huà)出其等效透鏡序列圖，并求球面鏡的曲率半徑 Rl在什么范圍內(nèi)該腔是穩(wěn)定腔。12. 試求平凹、雙凹、凹凸共軸球面腔鏡的穩(wěn)定性條件。解答：11．試?yán)猛稻仃囎C明共焦腔為穩(wěn)定腔，即任意傍軸光線(xiàn)在其中可以往返無(wú)限多次，而且兩次往返即自行閉合。R1R2R1d2d圖 解答： 211221100 dddABRRCDR? ???????? ??? ????? ?????????????????? ? 121212 2112122 1211124 4()BgDARddddRRRR??????????????????????????????? 由 ，可得120g?2114d??9. 考慮圖 所示的非穩(wěn)定諧振腔，反射鏡 的反射率 ， ??（1）試求出共軛像點(diǎn) 和 的位置，并在光學(xué)諧振腔圖上把他們標(biāo)出；（2）試畫(huà)出光學(xué)1P諧振腔內(nèi)的場(chǎng)變化，指出來(lái)自光束限制器的波陣面。2(/)K=解答：，其中cABnCD????????????? 1 020(1/)nkr????212 212 202022/krBgARRnRnkr???? ?????????? ????????其中用到 k?2 由 ，有12g039。5. ， 的對(duì)稱(chēng)腔，相鄰縱模的頻率差為多少？10Rm?4L解答：根據(jù)題意有： ??????=（ ）（ cm）6. 腔內(nèi)有其它元件的兩鏡腔中，除兩個(gè)反射鏡外的其余部分的變換矩陣為 ，腔鏡ABCD曲率半徑為 、 ，證明：穩(wěn)定性條件為 ，其中 ；1R2 120g?11/gR??。將位于第一個(gè) HeNe 激光器平鏡處的束腰，變換到第二個(gè) HeNe 激光器平鏡處。R 1m R 圖 解答：第一步：由于 ，圖示的兩個(gè)諧振腔都是穩(wěn)定的。 R=1m L= 圖 解答：由于 ，所以圖示的腔是穩(wěn)定的。29. 能否得到穩(wěn)定諧振腔橫模的解析表示，為什么？不能30. 出 3 光線(xiàn)的傳輸矩陣。因?yàn)楦唠A模的模斑之間的光場(chǎng)之間沒(méi)有恒定的相位關(guān)系。隨著橫模階數(shù)的提高，強(qiáng)度分布不均勻，光束的發(fā)散角增大，且損耗較大。25 試由行波場(chǎng)導(dǎo)出圓形鏡共焦腔內(nèi)的波前表示。共焦腔模式理論表明，任何一個(gè)共焦腔與無(wú)窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià)，而任何一個(gè)穩(wěn)定球面腔唯一地等價(jià)于一個(gè)共焦腔。所以選用菲涅爾參數(shù)。?22 穩(wěn)定球面諧振腔旁軸光線(xiàn)的單程相對(duì)功率損耗 11/γ2，它與單程衍射損耗因子之間有何關(guān)系？解答：23 如果使用一個(gè)參數(shù)描述穩(wěn)定諧振腔的衍射損耗大小，你愿意用哪個(gè)，為什么？解答：選用菲涅爾數(shù) N 來(lái)表示。即 表示腔內(nèi)經(jīng)單程度e??????1qqU??1iqqeU?????e??越后自再現(xiàn)模的振幅衰減。55. 已知高斯光束的束腰半徑為?0，求：1）A 點(diǎn)與束腰相距為 z，求光斑半徑 ?(z)；2）如果測(cè)量到 A 點(diǎn)光斑光強(qiáng)下降到最大值的 處的半徑為 ?p，求 ?p 和 ?(z)的關(guān)系。則兩諧振腔高斯光束束腰間的光器件組的傳播矩陣為：=ABCD???????210L??????1R0l??????1f??????????????41???0l???1f????????2()(.? ???? ???? ?由 ABCD 定律： ，102AqBCD??其中： 0iq???得： 20i???21021()()(??????可得實(shí)數(shù)方程組： ()(.)1..64l llf fllf f??????????解得： (m)5lf????在兩個(gè)諧振腔之間、距第二個(gè)諧振腔的左側(cè)腔鏡 34 厘米處插入焦距為 45 厘米的透鏡，即可實(shí)現(xiàn)兩者模式匹配。20?121221122 221/4421220().5(m)0().5()[].30(m).23()LgzgLFg???????????????????可見(jiàn)第二個(gè)諧振腔高斯光束的束腰也位于其平面腔鏡上。對(duì)于第二個(gè)諧振腔： ??????10(.5)g???可見(jiàn)，第二個(gè)諧振腔也為穩(wěn)定腔。因此，可以第一個(gè)諧振腔兩腔鏡面中心連線(xiàn)為 z 軸以其等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，同時(shí)假設(shè)該平凹腔的兩腔鏡在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為 z11 和 z12，等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔的腔長(zhǎng)為 2F1，束腰為 。解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定性條件、穩(wěn)定腔等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔、高斯光束束腰、q 參數(shù)、高斯光束的薄透鏡變換、模式匹配、傳播矩陣關(guān)鍵公式： 120g?1122LgR??????2112122 21221 2111220()()()())()[]()(])LLgzRLRLgLF????????????????1/4 1/4122()[]g???????各向同性自由空間傳播傳輸矩陣： ，透鏡透射傳播矩陣： ， 01L??????01f???????ABCD 定律： 12AqBCD??0iRqzz??2R???關(guān)鍵點(diǎn)：第二個(gè)諧振腔的左側(cè)腔鏡對(duì)入射高斯光束也起透鏡變換作用。12AqBCD??20(1)iLlfnf?????2201()()lff???????201[(1)()()lLlLfnfn?????2200(1)()]iiLlLlfnffn????所以 39。52. 已知一高斯光束束腰半徑為?0，束腰與焦距為 f 的薄透鏡相距為 l，經(jīng)透鏡變換后傳輸距離 l1，又經(jīng)一折射率為 n，長(zhǎng) L 的透明介質(zhì)后輸出（如下圖所示） ，求：1)高斯光束在介質(zhì)出射面處的 q 參數(shù)和光斑半徑；2)若將介質(zhì)移到薄透鏡處，即 l1＝0 (不考慮可能存在的間隙)，求輸出高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角 ；?解題思考：關(guān)鍵概念：高斯光束、q 參數(shù)、高斯光束的薄透鏡變換、傳播矩陣、遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角關(guān)鍵公式：各向同性自由空間傳播傳輸矩陣： ，透鏡透射傳播矩陣：10L??????，平面界面透射傳播矩陣：10f??????? 12n?????ABCD 定律： 12AqBCD??})({π)(1m2zqIz???0iRq??2Rz?? 21/e0πRz???關(guān)鍵點(diǎn)：以光線(xiàn)傳播順序?qū)ο鄳?yīng)光學(xué)元件的傳播矩陣進(jìn)行逆序乘積。所謂 A 激光器的激光束經(jīng)透鏡變換匹配地射入 B 激光器，實(shí)際上是 A 激光器的激光束腰，經(jīng)過(guò) A 和 B 激光器激光束腰間的光學(xué)元器件的高斯光束變換，被變換到 B 激光器的激光束腰位置上，且與 B 激光器的激光束腰大小相等。51. 若 A 激光器的激光束經(jīng)透鏡變換匹配地射入 B 激光器，B 激光器的激光束能不能匹配地射入 A 激光器，為什么？解題思考：關(guān)鍵概念：模式、模式匹配解題關(guān)鍵點(diǎn)：光線(xiàn)可逆答：假若 A 激光器的激光束經(jīng)透鏡變換匹配地射入 B 激光器，則 B 激光器的激光束也能匹配地射入 A 激光器。0?1/41220()[]????????可見(jiàn)，此平凹腔產(chǎn)生的基模高斯光束的束腰半徑為 米。 ??????10(.8)g??可見(jiàn)，為穩(wěn)定腔。s?s1?249. 平凹腔中凹面鏡曲率半徑為 R，腔長(zhǎng) L=，光波長(zhǎng)為 ，求此平凹腔產(chǎn)生的基模高?斯光束的束腰半徑。?La/2L 表示腔長(zhǎng)， 為腔鏡的曲率半徑，a 為鏡面半徑。??、 、 、 、 、 各為多少。由：211221212()()LgzgLF???????????得：(m)()zF?????39?？梢栽撾p腔的等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、以雙凹鏡面中心連線(xiàn)為 z 軸建立坐標(biāo)系。試證明該腔為穩(wěn)定腔；求出它的等價(jià)共焦腔的參數(shù)；在圖上畫(huà)出等價(jià)共焦腔的具體位置。(rad)?43. 試求出方形鏡共焦腔面上 模的節(jié)線(xiàn)位置，這些節(jié)線(xiàn)是等距分布的嗎？30TEM44. 求圓形鏡共焦腔 和 模在鏡面上光斑的節(jié)線(xiàn)位置。.9m()[](m)()LgzgLFLgL?????????????????.rad??????可見(jiàn)，該腔輸出光束腰大小為 米，位于束腰該腔的平面腔鏡上，?。因此，可以該腔型腔鏡面中心連線(xiàn)為 z 軸以其等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，同時(shí)假設(shè)該腔型的兩腔鏡在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為 z1 和 z2，等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔的腔長(zhǎng)為 2F，束腰為 ，全發(fā)散角為 。 R=1m L= 解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定性條件、穩(wěn)定腔、共軛共焦腔、等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔，輸出光參數(shù)：束腰大小和位置、發(fā)散角關(guān)鍵公式： 120g?1122LRg??????2112122 21221 2111220()()()())()[]()(])LLgzRLRLgLF????????????????2 1/4 1/41221/4 1/412 1221/e 12()[][L()()()gLgRRL???????????????解： ??????10(.7)g?可見(jiàn)，如圖腔型為穩(wěn)定腔。 1122LgR??????穩(wěn)定腔要求： 120()1gL????即：該穩(wěn)定腔的等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔的基模遠(yuǎn)場(chǎng)角： 2 21/4121/e 4()2[]()gLL??????????光束發(fā)散角與腔長(zhǎng) L 的關(guān)系曲線(xiàn)如下圖所示：將其視為腔長(zhǎng) L 的函數(shù)。41. 今有一平面反射鏡和一曲率半徑為 R=1m 的凹面反射鏡，問(wèn)：應(yīng)如何構(gòu)成一平凹穩(wěn)定腔以獲得最小的基模遠(yuǎn)場(chǎng)角；畫(huà)出光束發(fā)散角與腔長(zhǎng) L 的關(guān)系曲線(xiàn)。若以在共焦鏡面附近加一個(gè)方形小孔闌來(lái)作選 模措施，孔闌邊長(zhǎng) S 須超過(guò)基橫0TEM模鏡面模斑直徑 2 保證基橫模即可振蕩運(yùn)轉(zhuǎn)，同時(shí)又小于一階橫模鏡面模斑直徑 2 來(lái)os? 1s阻止一階以上的高階橫模振蕩運(yùn)轉(zhuǎn)。0g4e13l d????解題思考：關(guān)鍵概念：橫模、縱模、橫模模斑半徑、縱模頻率、縱模頻率間隔、損耗、增益、單模關(guān)鍵公式： 12lnr??腔 鏡 =i?總=osL???21msosn?????關(guān)鍵思路：增益大于損耗、孔闌大于模斑半徑的模式能振蕩運(yùn)轉(zhuǎn)解： 12lr??腔 鏡 ?=i?總 ?04gln()ld???(1).721????可見(jiàn)，若不考慮孔闌的作用，腔內(nèi)光獲得的增益大于損耗，能振蕩運(yùn)轉(zhuǎn)。 .(m)4L?等效共焦腔腔鏡的位置如下圖虛線(xiàn)所示： ? 0 z R1 R2 39. 方形孔徑共焦腔氦氖激光器，腔長(zhǎng) L=30cm，腔鏡反射率分別為 r1＝1，r2＝，方形孔邊長(zhǎng) d=2a=，其它損耗以每程 計(jì)，工作波長(zhǎng) =。假設(shè)該雙凹鏡在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為 z1 和 z2，等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔的腔長(zhǎng) L’為 2F。解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔關(guān)鍵公式： 120g?1122LRg??????????? ???????????? 2121212122 21121 )()]()[( )()( ggLRLRLFgzLL解： 11223gR??????120()9g?該雙凹腔為穩(wěn)定腔。這是因?yàn)榉€(wěn)定諧振腔中光電場(chǎng)本征函數(shù)解相對(duì)應(yīng)本征值的模，直接決定穩(wěn)定諧振腔對(duì)應(yīng)模式的衍射損耗，而該模函數(shù)為徑向長(zhǎng)橢球函數(shù)，函數(shù)的自變量 C 為：2πaNL??它與菲涅爾數(shù)： 2a??成正比。37. 如果使用一個(gè)參數(shù)描述穩(wěn)定諧振腔的衍射損耗大小，你愿意用哪個(gè)，為什么？解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、衍射損耗、損耗描述參數(shù)關(guān)鍵公式： 2πaCNL??2答：可以描述穩(wěn)定諧振腔中衍射損耗大小的參數(shù)有諧振腔單程損耗因子、平均光子壽命、Q 參數(shù)、縱模線(xiàn)寬及菲涅爾數(shù)等參數(shù)。穩(wěn)定腔是一類(lèi)常用的激光器腔型，但其衍射積分本征方程一直未能獲得解析解，所以，其腔內(nèi)行波場(chǎng)的模式特征和形貌不似對(duì)稱(chēng)共焦腔中那樣能依靠解析解來(lái)獲得明確的描述。（2）模式頻率方形鏡對(duì)稱(chēng)共焦腔模式場(chǎng)對(duì)應(yīng)相位的幅角解為： π(1)2mnkL??各階橫模的諧振頻率為： )]1(2[cmnq ??nm??圓形鏡對(duì)稱(chēng)共焦腔模式場(chǎng)對(duì)應(yīng)相位的幅角解為： π(21)plkL??各階橫模的諧振頻率為： )]12([c??lpqplq??因穩(wěn)定諧振腔與其等價(jià)的對(duì)稱(chēng)共焦腔在模式場(chǎng)上的相似性，方形鏡和圓形鏡組成的穩(wěn)定諧振腔的模式頻率，也應(yīng)有類(lèi)似的區(qū)別。圓形鏡對(duì)稱(chēng)共焦腔模式場(chǎng)強(qiáng)的解主要由超橢球函數(shù)構(gòu)成，在腔的菲涅爾數(shù) N 值較大的情況下，可以近似表示為拉蓋爾多項(xiàng)式的形式，具有圓對(duì)稱(chēng)性。區(qū)別主要表現(xiàn)在兩者的模式場(chǎng)解上。若相遇，不會(huì)干涉。若相遇，則