【正文】 型，但其衍射積分本征方程一直未能獲得解析解，所以，其腔內(nèi)行波場(chǎng)的模式特征和形貌不似對(duì)稱共焦腔中那樣能依靠解析解來獲得明確的描述。等價(jià)對(duì)稱共焦腔的存在，使得穩(wěn)定腔內(nèi)行波場(chǎng)的模式特征和形貌，能夠通過與其等價(jià)的對(duì)稱共焦腔的解析解，來獲得較為明確的描述，可見對(duì)稱共焦腔對(duì)于激光器的研制工作具有非常高的重要性。37. 如果使用一個(gè)參數(shù)描述穩(wěn)定諧振腔的衍射損耗大小，你愿意用哪個(gè)，為什么？解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、衍射損耗、損耗描述參數(shù)關(guān)鍵公式： 2πaCNL??2答：可以描述穩(wěn)定諧振腔中衍射損耗大小的參數(shù)有諧振腔單程損耗因子、平均光子壽命、Q 參數(shù)、縱模線寬及菲涅爾數(shù)等參數(shù)。如果須使用一個(gè)參數(shù)來描述穩(wěn)定諧振腔的衍射損耗大小，我愿意使用菲涅爾數(shù)。這是因?yàn)榉€(wěn)定諧振腔中光電場(chǎng)本征函數(shù)解相對(duì)應(yīng)本征值的模，直接決定穩(wěn)定諧振腔對(duì)應(yīng)模式的衍射損耗，而該模函數(shù)為徑向長(zhǎng)橢球函數(shù)，函數(shù)的自變量 C 為：2πaNL??它與菲涅爾數(shù)： 2a??成正比。38. 腔長(zhǎng) L=1m 的雙凹穩(wěn)定腔，兩腔鏡的半徑分別為 R1＝，R2 ＝3m，求其等效共焦腔的腔長(zhǎng)，并畫出等效共焦腔的位置。解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、等價(jià)對(duì)稱共焦腔關(guān)鍵公式： 120g?1122LRg??????????? ???????????? 2121212122 21121 )()]()[( )()( ggLRLRLFgzLL解： 11223gR??????120()9g?該雙凹腔為穩(wěn)定腔。因此，可以該雙凹穩(wěn)定腔的等價(jià)對(duì)稱共焦腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、以雙凹鏡面中心連線為 z 軸建立坐標(biāo)系。假設(shè)該雙凹鏡在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為 z1 和 z2，等價(jià)對(duì)稱共焦腔的腔長(zhǎng) L’為 2F。由：211221212()()LgzgLF???????????得：(m)()5zF?????139。 .(m)4L?等效共焦腔腔鏡的位置如下圖虛線所示： ? 0 z R1 R2 39. 方形孔徑共焦腔氦氖激光器，腔長(zhǎng) L=30cm，腔鏡反射率分別為 r1＝1，r2＝，方形孔邊長(zhǎng) d=2a=，其它損耗以每程 計(jì)，工作波長(zhǎng) =。此激光器能?否作單模運(yùn)轉(zhuǎn)？如果想在共焦鏡面附近加一個(gè)方形小孔闌來選擇 模，小孔的邊0TEM長(zhǎng)應(yīng)為多大？試根據(jù)公式 估算氦氖增益，l 為增益介質(zhì)放電管長(zhǎng)度。0g4e13l d????解題思考：關(guān)鍵概念：橫模、縱模、橫模模斑半徑、縱模頻率、縱模頻率間隔、損耗、增益、單模關(guān)鍵公式： 12lnr??腔 鏡 =i?總=osL???21msosn?????關(guān)鍵思路：增益大于損耗、孔闌大于模斑半徑的模式能振蕩運(yùn)轉(zhuǎn)解： 12lr??腔 鏡 ?=i?總 ?04gln()ld???(1).721????可見，若不考慮孔闌的作用，腔內(nèi)光獲得的增益大于損耗，能振蕩運(yùn)轉(zhuǎn)?；鶛M模鏡面模斑半徑 =osL???=.610(m).26?????一階橫模鏡面模斑半徑 1=2sosm??4421+.().?????方形孔邊長(zhǎng) d=2a=，大于一階橫模在鏡面上的模斑直徑 2 ，在不附加選橫模1s?措施的情況下，此激光器應(yīng)不會(huì)作單橫基模運(yùn)轉(zhuǎn)。若以在共焦鏡面附近加一個(gè)方形小孔闌來作選 模措施，孔闌邊長(zhǎng) S 須超過基橫0TEM模鏡面模斑直徑 2 保證基橫模即可振蕩運(yùn)轉(zhuǎn)，同時(shí)又小于一階橫模鏡面模斑直徑 2 來os? 1s阻止一階以上的高階橫模振蕩運(yùn)轉(zhuǎn)。所以，要求單橫模運(yùn)轉(zhuǎn)的選模孔闌邊長(zhǎng) S 的取值范圍應(yīng)為： ?40. 腔長(zhǎng) L 的對(duì)稱雙凹腔，反射鏡曲率半徑為 R=，工作波長(zhǎng)為 ，求鏡面上的基模高?斯光束的光斑半徑。41. 今有一平面反射鏡和一曲率半徑為 R=1m 的凹面反射鏡，問：應(yīng)如何構(gòu)成一平凹穩(wěn)定腔以獲得最小的基模遠(yuǎn)場(chǎng)角；畫出光束發(fā)散角與腔長(zhǎng) L 的關(guān)系曲線。解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、等價(jià)對(duì)稱共焦腔關(guān)鍵公式： 2 2 21/4 1/41 121/e 21()()[ ]2[])(RLgLL???????????120g?122LRg??????解：假設(shè)該平面反射鏡和凹面反射鏡組成的平凹穩(wěn)定腔腔長(zhǎng)為 L。 1122LgR??????穩(wěn)定腔要求： 120()1gL????即：該穩(wěn)定腔的等價(jià)對(duì)稱共焦腔的基模遠(yuǎn)場(chǎng)角： 2 21/4121/e 4()2[]()gLL??????????光束發(fā)散角與腔長(zhǎng) L 的關(guān)系曲線如下圖所示：將其視為腔長(zhǎng) L 的函數(shù)。由： 21/e 5/4120[()]d??????得： (m)L而： 2 5/41/41/e 5/()4[(1)].(1)[(][]LLdL?????????所以，最小的基模遠(yuǎn)場(chǎng)角為： 21/(1)LL????????42. 試導(dǎo)出如下腔型所對(duì)應(yīng)的共軛共焦腔結(jié)構(gòu)和輸出光參數(shù)。 R=1m L= 解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定性條件、穩(wěn)定腔、共軛共焦腔、等價(jià)對(duì)稱共焦腔，輸出光參數(shù)：束腰大小和位置、發(fā)散角關(guān)鍵公式： 120g?1122LRg??????2112122 21221 2111220()()()())()[]()(])LLgzRLRLgLF????????????????2 1/4 1/41221/4 1/412 1221/e 12()[][L()()()gLgRRL???????????????解： ??????10(.7)g?可見，如圖腔型為穩(wěn)定腔。共軛共焦腔即對(duì)稱共焦腔。因此，可以該腔型腔鏡面中心連線為 z 軸以其等價(jià)對(duì)稱共焦腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，同時(shí)假設(shè)該腔型的兩腔鏡在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為 z1 和 z2，等價(jià)對(duì)稱共焦腔的腔長(zhǎng)為 2F，束腰為 ，全發(fā)散角為 。0?21/e?211222112221/41220 1/41221/e().3(m)0().()39。.9m()[](m)()LgzgLFLgL?????????????????.rad??????可見，該腔輸出光束腰大小為 米，位于束腰該腔的平面腔鏡上，?。與該腔等價(jià)的共軛共焦腔長(zhǎng)為 米，腔中心位于平面腔鏡上。(rad)?43. 試求出方形鏡共焦腔面上 模的節(jié)線位置，這些節(jié)線是等距分布的嗎？30TEM44. 求圓形鏡共焦腔 和 模在鏡面上光斑的節(jié)線位置。20245. 腔長(zhǎng) L= 的球面腔，腔鏡曲率半徑分別為 R1= 和 R2=1m。試證明該腔為穩(wěn)定腔；求出它的等價(jià)共焦腔的參數(shù)；在圖上畫出等價(jià)共焦腔的具體位置。解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、等價(jià)對(duì)稱共焦腔關(guān)鍵公式： 120g?1122LRg??????????? ???????????? 2121212122 21121 )()]()[( )()( ggLRLRLFgzLL解： 112275LgR??????1270()5g??可見，該腔為穩(wěn)定腔?？梢栽撾p腔的等價(jià)對(duì)稱共焦腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、以雙凹鏡面中心連線為 z 軸建立坐標(biāo)系。假設(shè)該雙凹鏡在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為 z1 和 z2，等價(jià)對(duì)稱共焦腔的腔長(zhǎng) L’為 2F。由：211221212()()LgzgLF???????????得：(m)()zF?????39。(m)L?等效共焦腔腔鏡的位置如下圖虛線所示： ? 0 z R1 R2 46. 某二氧化碳激光器采用平、凹腔，L=50cm ，R=2m， 2a=1cm， 。??、 、 、 、 、 各為多少。s1?20?10?247. 試證明，在所有 相同而 R 不同的對(duì)稱球面鏡穩(wěn)定腔中，共焦腔的衍射損耗最低。?La/2L 表示腔長(zhǎng)， 為腔鏡的曲率半徑，a 為鏡面半徑。21R?48. 推導(dǎo)出平 凹穩(wěn)定腔基模在鏡面上光斑大小的表示式，做出：（1）當(dāng) R=100cm 時(shí)，、 隨 L 而變化的曲線；（2）當(dāng) L=100cm 時(shí)， 、 隨 R 而變化的曲線。s?s1?249. 平凹腔中凹面鏡曲率半徑為 R，腔長(zhǎng) L=，光波長(zhǎng)為 ，求此平凹腔產(chǎn)生的基模高?斯光束的束腰半徑。解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定性條件、穩(wěn)定腔等價(jià)對(duì)稱共焦腔、基模、束腰半徑關(guān)鍵公式： 120g?1122LRg??????2112122 21221 2111220()()()())()[]()(])LLgzRLRLgLF????????????????1/4 1/4122()[]g???????解：假設(shè)第一個(gè)腔鏡為凹面鏡，第二個(gè)腔鏡為平面鏡。 ??????10(.8)g??可見，為穩(wěn)定腔。因此，可以該平凹腔兩腔鏡面中心連線為 z 軸以其等價(jià)對(duì)稱共焦腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，同時(shí)假設(shè)該平凹腔的兩腔鏡在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為 z1 和 z2，等價(jià)對(duì)稱共焦腔的腔長(zhǎng)為 2F，束腰為 。0?1/41220()[]????????可見，此平凹腔產(chǎn)生的基模高斯光束的束腰半徑為 米。50. 試證明經(jīng)過焦距為 F 的薄透鏡，高斯光束的 q 參數(shù)傳播滿足 ABCD 定律。51. 若 A 激光器的激光束經(jīng)透鏡變換匹配地射入 B 激光器，B 激光器的激光束能不能匹配地射入 A 激光器，為什么？解題思考：關(guān)鍵概念：模式、模式匹配解題關(guān)鍵點(diǎn)：光線可逆答：假若 A 激光器的激光束經(jīng)透鏡變換匹配地射入 B 激光器，則 B 激光器的激光束也能匹配地射入 A 激光器。這是因?yàn)楣饩€可逆。所謂 A 激光器的激光束經(jīng)透鏡變換匹配地射入 B 激光器，實(shí)際上是 A 激光器的激光束腰，經(jīng)過 A 和 B 激光器激光束腰間的光學(xué)元器件的高斯光束變換，被變換到 B 激光器的激光束腰位置上，且與 B 激光器的激光束腰大小相等。因?yàn)楣饩€可逆，B 激光器的激光束腰，經(jīng)過 A 和 B 激光器激光束腰間的光學(xué)元器件的高斯光束變換，應(yīng)被變換到 A 激光器的激光束腰位置上，且與 A 激光器的激光束腰大小相等，B 激光器的激光束匹配地射入 A 激光器。52. 已知一高斯光束束腰半徑為?0，束腰與焦距為 f 的薄透鏡相距為 l，經(jīng)透鏡變換后傳輸距離 l1，又經(jīng)一折射率為 n，長(zhǎng) L 的透明介質(zhì)后輸出（如下圖所示） ，求：1)高斯光束在介質(zhì)出射面處的 q 參數(shù)和光斑半徑；2)若將介質(zhì)移到薄透鏡處，即 l1＝0 (不考慮可能存在的間隙)，求輸出高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角 ；?解題思考：關(guān)鍵概念：高斯光束、q 參數(shù)、高斯光束的薄透鏡變換、傳播矩陣、遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角關(guān)鍵公式：各向同性自由空間傳播傳輸矩陣： ，透鏡透射傳播矩陣：10L??????，平面界面透射傳播矩陣：10f??????? 12n?????ABCD 定律： 12AqBCD??})({π)(1m2zqIz???0iRq??2Rz?? 21/e0πRz???關(guān)鍵點(diǎn)：以光線傳播順序?qū)ο鄳?yīng)光學(xué)元件的傳播矩陣進(jìn)行逆序乘積。解：(1) 110iRqz??20??高斯光束傳輸通過的對(duì)應(yīng)光器件組的傳播矩陣為：=10ABCDn??????????L???01n???1l???0f????1l???11llLff?????????由 ABCD 定律，高斯光束在介質(zhì)出射面處的 q 參數(shù)：12AqBCD??202220()illLLfnfni??????2201()()lff???????201 1[(1))(()l llLLffnfnf???????2 20 01 1()(()]i il lffff????而： 21q?202022()ilffilLLllnfn??????2201 1()[()]l lff?????201 1[())(()l llLLffnfnf???2 20 01 1()(()]i il lffff???????由： })(1{π)(1m2zqIz?高斯光束在介質(zhì)出射面處的光斑半徑： 110()()(llLffnff?????102lLlfnff(2) 將介質(zhì)移到薄透鏡處，即 l1＝0，高斯光束傳輸通過的對(duì)應(yīng)光器件組的傳播矩陣為：=10ABCDn??????????L???1n???f????10l???1Llfnf????由 ABCD 定律，高斯光束在介質(zhì)出射面處的 q 參數(shù)：39。12AqBCD??20(1)iLlfnf?????2201()()lff???????201[(1)()()lLlLfnfn?????2200(1)()]iiLlLlfnffn????所以 39。20q?220()(1)lff??????0[(1)()]illfnffn??由： 200Riqz???輸出高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角 ：21/e0πRz????02?220()(1)1lffLLlnn?????53. 兩支 HeNe 激光器都采用平凹腔，尺寸如圖所示，請(qǐng)問在何處插入焦距為多少的透鏡可以實(shí)現(xiàn)而者的模式匹配。解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定性條件、穩(wěn)定腔等價(jià)對(duì)稱共焦腔、高斯光束束腰、q 參數(shù)、高斯光束的薄透鏡變換、模式匹配、傳播矩陣關(guān)鍵公式： 120g?1122LgR??????2112122 21221 2111220()()()())()[]()(])LLgzRLRLgLF????????????????1/4 1/4122()[]g???????各向同性自由空間傳播傳輸矩陣： ，透鏡透射傳播矩陣： ， 01L??????01f???????ABCD 定律： 12AqBCD??0iRqzz??2R???關(guān)鍵點(diǎn)：第二個(gè)諧振腔的左側(cè)腔鏡對(duì)入射高斯光束也起透鏡變換作用。解：對(duì)于第一個(gè)諧振腔： ??????0(.7)g???可見，第一個(gè)諧振腔為穩(wěn)定腔。因此，可以第一個(gè)諧振腔兩腔鏡面中心連線為 z 軸以其等價(jià)對(duì)稱共焦腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，同時(shí)假設(shè)該平凹腔的兩腔鏡在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為 z11 和 z12，等價(jià)對(duì)稱共焦腔的腔長(zhǎng)為 2F1，束腰為 。10?121122122211/44121210()(m)()0.()[]