數(shù)值逼近答案以及試題(參考版)
2025-06-28 02:18本頁(yè)面
【正文】 解：若求積公式對(duì)精確成立，則必滿足方程組：，解之得：，由于當(dāng)時(shí)，求積公式仍精確成立，但當(dāng)時(shí)，求積公式不再精確成立，故該求積公式具有3次代數(shù)精度。13．假定在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求證，證明：因在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則：，兩邊積分得：，因在上連續(xù)，故存在，使，即：。解：將區(qū)間n等分，其節(jié)點(diǎn)，在每個(gè)小區(qū)間上采用辛卜生公式得：，以及： ，于是：即：。，則積分區(qū)間要多少等分才能保證計(jì)算結(jié)果有五位有效數(shù)字？解：欲使，其中，只須，即積分區(qū)間要68等分才能保證計(jì)算結(jié)果有五位有效數(shù)字。又若令，則由得：。證畢。再由：和得：。：證明：由于牛頓柯特斯公式的代數(shù)精度，故在區(qū)間上使用牛頓柯特斯公式對(duì)精確成立，即：，也就是：或，寫成矩陣形式即為：4．證明，若不是整數(shù)，且，則；若不是整數(shù)，且，則。證明：因?yàn)閷?duì)，都有，從而由的線性性質(zhì)以及任意有：。因此，對(duì)任意個(gè)數(shù)，廣義多項(xiàng)式在上至少有一個(gè)零點(diǎn)。不妨設(shè)，又由恒正，故。證明：用反證法。證：取，則故：。于是原方程組有唯一解。證明：原方程組的矩陣形式為：為證明上述方程組有唯一解，僅需證明對(duì)應(yīng)的齊次方程組只有零解。 對(duì)于區(qū)間，作變換，則當(dāng)時(shí)，以代入得，其首項(xiàng)系數(shù)為，于是是在上的次首一多項(xiàng)式，且在個(gè)點(diǎn)處輪流取得其最大值與最小值， 故上的最小零偏差次代數(shù)多項(xiàng)式為。12．構(gòu)造區(qū)間上的最小零偏差次代數(shù)多項(xiàng)式。這時(shí)在上任取個(gè)不同的點(diǎn)，就可以看作以這個(gè)點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的關(guān)于自身的拉格朗日插值多項(xiàng)式。四 最佳逼近6．證明的最佳一致逼近次多項(xiàng)式就是在上的某個(gè)次拉格朗日插值多項(xiàng)式。證：因 19．證明：。事實(shí)上：考慮在上是一個(gè)二次多項(xiàng)式，可以寫成：，若記為未知量，則：，再由得，故，再由得：再由為已知，從而由，可求得，且由遞推關(guān)系知是唯一確定的。這樣總共有個(gè)方程，而待定系數(shù)有個(gè)，于是可以有很多。解：由于在每個(gè)小區(qū)間上，有3個(gè)待定系數(shù)，于是在上共有個(gè)待定系數(shù)。解：先構(gòu)造次數(shù)不高于的多項(xiàng)式滿足下列2n個(gè)條件：滿足上述條件的的多項(xiàng)式可以寫成：其中A為待定系數(shù)，再由條件得：即：再構(gòu)造次數(shù)不高于的多項(xiàng)式滿足下列2n個(gè)條件：，令：它滿足上述條件中除外的所有其他條件，于是再由所以，于是：于是所求的埃爾米特插值多項(xiàng)式為三 樣條插值和曲線擬合12．若是實(shí)軸上個(gè)由小到大排列的點(diǎn)，考慮一個(gè)上的函數(shù)，它在上是一個(gè)二次多項(xiàng)式，并且是已知值，
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