常微分課后答案第五章(參考版)
2025-06-27 15:00本頁(yè)面
【正文】 線性微分方程組的一般理論 1．試驗(yàn)證是方程組，在任何不包含原點(diǎn)的區(qū)間上的基解矩陣．證明 設(shè)，則由于，所以都是方程組的解，因而是所給方程組的解矩陣．又由于在任何不包含原點(diǎn)的區(qū)間上，（），故是所給方程組的基解矩陣．2．考慮方程組， （）其中是區(qū)間上的連續(xù)矩陣，它的元素為，．如果是（）的任意個(gè)解，那么它們的Wronsky行列式滿足下面的一階線性微分方程．（提示：利用行列式的微分公式，求出的表達(dá)式）；解上面的一階線性微分方程，證明下面的公式：，．證明 ，所以是一階線性微分方程的解．由知，分離變量后兩邊積分求解得，時(shí)就得到，所以，．3．設(shè)為區(qū)間上的連續(xù)實(shí)矩陣，為方程的基解矩陣，而為其一解．試證：對(duì)于方程的任一解必有常數(shù)；為方程的基解矩陣的充要條件是存在非奇異的常數(shù)矩陣，使．證明 由于是方程的解，故有，為方程的解，故．所以 ，所以常數(shù)．“” 是方程的基解矩陣，因此，是方程的基解矩陣，故，且和．所以 ，故是常數(shù)矩陣，設(shè)，則，因此存在非奇異常數(shù)矩陣，使．“”若存在非奇異常數(shù)矩陣，使，則有，所以，即是非奇異矩陣或說(shuō)的各列是線性無(wú)關(guān)的．又，并注意到，有，即．從而是方程的基解矩陣．4．設(shè)為方程（為常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即），證明，其中為某一值．證明 由于為常數(shù)矩陣，故在有定義、連續(xù)，從而它的解也在連續(xù)可導(dǎo)．由為方程的基解矩陣，故，有，并且有，從而對(duì)某個(gè)，有，且，即亦為方程的基解矩陣．由推論2*，存在一個(gè)非奇異常數(shù)矩陣，使得在區(qū)間上，．又因?yàn)椋裕虼?，其中為某一值?．設(shè)分別為在區(qū)間上連續(xù)的矩陣和維列向量．證明方程組存在且最多存在個(gè)線性無(wú)關(guān)解．證明 設(shè)方程組的基解矩陣為，而是方程組的一個(gè)特解，則其通解為，其中是任意的常數(shù)列向量．若不恒為0，則必與線性無(wú)關(guān)，從而，線性無(wú)關(guān)，即方程組存在個(gè)線性無(wú)關(guān)解．又假若是方程組的任意一個(gè)解，則一定有確定的常數(shù)列向量，使得，將其加入，這一組向量就線性相關(guān)，故方程組的任何個(gè)解必線性相關(guān)．從而方程組存在且最多存在個(gè)線性無(wú)關(guān)解．
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