常微分課后答案第五章(已修改)
2025-07-06 15:00 本頁面
【正文】 第五章 線性微分方程組167。 存在唯一性定理 1．給定方程組 ， ． （*）試驗證，分別是方程組（*）的滿足初始條件，的解；試驗證是方程組（*）的滿足初始條件的解，其中是任意常數(shù)．證明 ，顯然．，所以，分別是方程組（*）的滿足初始條件，的解．，又，所以是方程組（*）的滿足初始條件的解，其中是任意常數(shù)．2．將下面的初值問題化為與之等價的一階方程組的初值問題：，；，，；，，． （提示：令）解 設(shè)，則，即與該初值問題等價的一階方程組的初值問題為設(shè)，則，，則得等價的一階方程組的初值問題為，．令，有 ，為與原初值問題等價的一階方程組的初值問題．3．試用逐步逼近法求方程組， 滿足初始條件的第三次近似解．解 ，，第三次近似解為 ．167。 線性微分方程組的一般理論 1．試驗證是方程組，在任何不包含原點的區(qū)間上的基解矩陣．證明 設(shè)，則由于，所以都是方程組的解，因而是所給方程組的解矩陣．又由于在任何不包含原點的區(qū)間上，（），故是所給方程組的基解矩陣．2．考慮方程組， （）其中是區(qū)間上的連續(xù)矩陣，它的元素為，．如果是（）的任意個解，那么它們的Wronsky行列式滿足下面的一階線性微分方程．（提示：利用行列式的微分公式，求出的表達式）；解上面的一階線性微分方程，證明下面的公式：，．證明 ，所以是一階線性微分方程的解．由知，分離變量后兩邊積分求解得，時就得到，所以，．3．設(shè)為區(qū)間上的連續(xù)實矩陣，為方程的基解矩陣，而為其一解．試證：對于方程的任一解必有常數(shù)；為方程的基解矩陣的充要條件是存在非奇異的常數(shù)矩陣，使．證明 由于是方程的解，故有，為方程的解，故．所以 ，所以常數(shù)．“” 是方程的基解矩陣，因此，是方程的基解矩陣，故，且和．所以 ，故是常數(shù)矩陣，設(shè)，則，因此存
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