【正文】 6．試證非齊線性微分方程組的疊加原理：設(shè)分別是方程組，的解，則是方程組的解．證明 因?yàn)榉謩e是方程組，的解，故，所以有 ，所以是方程組的解．7．考慮方程組，其中，．試驗(yàn)證是的基解矩陣；試求的滿足初始條件的解．證明 ，成立．而，所以是的基解矩陣．，這樣，由定理8，方程組滿足初始條件的解就是 ，對(duì)應(yīng)的齊線性方程組滿足初始條件的解就是，所以，所求方程組的滿足初始條件的解為．8．試求，其中，滿足初始條件的解．解 由上題知，且這里 ，所以，所求方程組的滿足初始條件的解為．9．試求下列方程的通解：，；；．解 易知對(duì)應(yīng)的齊線性方程的基本解組為，用公式（）來(lái)求方程的一個(gè)解．這時(shí)，取，有 所以方程的通解為 ．由于特征方程的根是，故對(duì)應(yīng)的齊線性方程的基本解組為，．原方程的一個(gè)特解由公式（）有（?。?，其中 ， ， ， ．所以 ，故通解．特征方程，得到特征根，故對(duì)應(yīng)的齊線性方程的基本解組為，．取，由（），得特解 ，所以得到通解．10．給定方程，其中在上連續(xù)，試?yán)贸?shù)變易公式，證明：若在上有界，則上面方程的每一個(gè)解在上有界；若當(dāng)時(shí)，則上面方程的每一個(gè)解，滿足（當(dāng)時(shí)）．證明 對(duì)應(yīng)的特征方程有特征根，故對(duì)應(yīng)的齊線性方程的基本解組，．由公式（）得原方程的一個(gè)特解（）為 ，所以方程的任一解可寫為．由于在上有界，故，有．又由于，從而當(dāng)時(shí)， ，即方程的每一個(gè)解在上有界．當(dāng)時(shí)，故由知，若有界，則，若無(wú)界，由于在連續(xù)，故為無(wú)窮大量，因此，即總有．同理．從而對(duì)方程的每一個(gè)解，有．11．給定方程組，這里是區(qū)間上的連續(xù)矩陣．設(shè)是它的一個(gè)基解矩陣，維向量函數(shù)在上連續(xù)，．試證明初值問(wèn)題： （*）的唯一解是積分方程組 （**）的連續(xù)解．反之，（**）的連續(xù)解也是初值問(wèn)題（*）的解．證明 是初值問(wèn)題（*）的解，故，這說(shuō)明是的向