常微分課后答案第五章-全文預(yù)覽
【正文】 意常數(shù)）和 （的任意常數(shù)）．特征方程，特征值，．對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量必須滿足方程組，得，是對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量．類似地，可以求出對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為 （的任意常數(shù)）．特征方程， 特征值，．由，推出，是對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量．同樣可求得對(duì)應(yīng)于特征值和的特征向量分別為（的任意常數(shù)）和（的任意常數(shù)）．4．試求方程組的一個(gè)基解矩陣，并計(jì)算，其中為：； ； ； ．解 特征方程，得是特征值．對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，為任意常數(shù)．所以方程組的一個(gè)基解矩陣為． ．由第3題立即得到方程組的一個(gè)基解矩陣為． ．由第3題立即得到方程組的一個(gè)基解矩陣為． ．特征方程，特征值為，．對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，均為不等于零的任意常數(shù)．故方程組的一個(gè)基解矩陣為．由立即可得，其中列向量函數(shù)，．（該題計(jì)算量太大，作為該法的習(xí)題不是太好?。?．試求方程組的一個(gè)基解矩陣，并求滿足初始條件的解：，；，；，．解 由上題知，所以所求解為．由上題知，其中．所以所求解為．由第3題知，矩陣的特征值為，．對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量 （的任意常數(shù)）．又由，得到 （是任意常數(shù)），由解出．依公式（），得滿足初始條件的解為 6．試求方程組的解：，；，；，．解 由第4題知，由公式（）得 ．由第3題知的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，其中均是不為零的任意常數(shù)．的一個(gè)基解矩陣為．，而．由公式（）得 ．的特征方程，求解得特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別是，其中是不為零的任意常數(shù)．所以方程組的一個(gè)基解矩陣為，從而，．由公式（）得．7．假設(shè)不是矩陣的特征值，試證非齊線性方程組有一解形如，其中是常數(shù)向量．證明 設(shè)方程組有形如的解，代入方程得，由此得，即．因?yàn)椴皇蔷仃嚨奶卣髦担?，即矩陣可逆，得到唯一確定．所以方程組有一解8．給定方程組 試證上面方程組等價(jià)于方程組，其中，；試求中的方程組的基解矩陣；試求原方程組滿足初始條件，的解．解 設(shè)，則原方程組化為或，即或．反之，設(shè)，則方程組化為即 由，得矩陣的特征值，．對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，其中均為不等于零的任意
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