常微分課后答案第五章-wenkub
2023-07-09 15:00:59 本頁面
【正文】 常數(shù)矩陣，使，則有，所以，即是非奇異矩陣或說的各列是線性無關(guān)的．又，并注意到，有，即．從而是方程的基解矩陣．4．設(shè)為方程（為常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即），證明，其中為某一值．證明 由于為常數(shù)矩陣，故在有定義、連續(xù)，從而它的解也在連續(xù)可導(dǎo)．由為方程的基解矩陣，故，有，并且有，從而對某個，有，且，即亦為方程的基解矩陣．由推論2*，存在一個非奇異常數(shù)矩陣，使得在區(qū)間上，．又因為，所以．因此，其中為某一值．5．設(shè)分別為在區(qū)間上連續(xù)的矩陣和維列向量．證明方程組存在且最多存在個線性無關(guān)解．證明 設(shè)方程組的基解矩陣為，而是方程組的一個特解，則其通解為，其中是任意的常數(shù)列向量．若不恒為0，則必與線性無關(guān)，從而，線性無關(guān)，即方程組存在個線性無關(guān)解．又假若是方程組的任意一個解，則一定有確定的常數(shù)列向量，使得，將其加入，這一組向量就線性相關(guān)，故方程組的任何個解必線性相關(guān)．從而方程組存在且最多存在個線性無關(guān)解．6．試證非齊線性微分方程組的疊加原理：設(shè)分別是方程組，的解，則是方程組的解．證明 因為分別是方程組，的解，故，所以有 ，所以是方程組的解．7．考慮方程組，其中，．試驗證是的基解矩陣；試求的滿足初始條件的解．證明 ，成立．而，所以是的基解矩陣．，這樣，由定理8，方程組滿足初始條件的解就是 ，對應(yīng)的齊線性方程組滿足初始條件的解就是，所以，所求方程組的滿足初始條件的解為．8．試求，其中，滿足初始條件的解．解 由上題知，且這里 ，所以，所求方程組的滿足初始條件的解為．9．試求下列方程的通解：，；；．解 易知對應(yīng)的齊線性方程的基本解組為，用公式（）來求方程的一個解．這時，取，有 所以方程的通解為 ．由于特征方程的根是，故對應(yīng)的齊線性方程的基本解組為，．原方程的一個特解由公式（）有（取），其中 ， ， ， ．所以 ，故通解．特征方程，得到特征根，故對應(yīng)的齊線性方程的基本解組為，．取，由（），得特解 ，所以得
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