高等數(shù)學(xué)下冊資料期末復(fù)習(xí)試題及答案(參考版)
2025-06-27 03:36本頁面
【正文】 之后再根據(jù)相應(yīng)的齊次方程的通解而構(gòu)造出原問題的通解。 解：積分曲面的方程為，它在面上的投影為閉區(qū)域 （2分） 又 所以 = （4分） == （5分） = （6分）9．求微分方程的通解。 （2分）作拉格朗日函數(shù) （4分）由方程組 （5分） 進而解得唯一可能的極值點，由問題的本身意義知，該點就是所求的最大值 點。 （4分） 從而所求立體的體積為 （6分）3．設(shè)，而，求．解： (2分) (4分) (6分)4．計算三重積分，其中是曲面 及平面所圍成的區(qū)域（提示：利用柱面坐標(biāo)計算）． 解： (2分) （5分） （6分）5．求內(nèi)接于半徑為的球而體積為最大的長方體的體積。5．微分方程的通解為_____________．三、解答題（共54分 每小題6分） 1．設(shè)平面過點且垂直于兩平面： ： 求此平面的方程．解：設(shè)所求平面的法向量為，則 (4分)所求平面方程為 (6分)2．求兩個底圓半徑都等于2的直交圓柱面所圍成的立體的體積。9．求微分方程的通解。 解：積分曲面的方程為，它在面上的投影為閉區(qū)域 （2分） 又 所以 = （4分） == （5分） （6分）8．將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)。故該問題的最大體積為 （6分）解法2：從條件中解出z代入目標(biāo)函數(shù)中，再用無條件極值的辦法求解。 解法1：設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則題設(shè)問題歸結(jié)為約束條件 下，求函數(shù)（均大于0）的最大值。一、填空題（共21分 每小題3分）1．曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為．2．直線與直線的夾角為．3．設(shè)函數(shù)，則．4．設(shè)級數(shù)收斂，則．5．設(shè)周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達(dá)式為 則它的傅里葉級數(shù)在處收斂于． 6．全微分方程的通解為?。?．寫出微分方程的特解的形式．二、解答題（共18分 每小題6分）1．求過點且垂直于直線的平面方程．解：設(shè)所求平面的法向量為，則 (4分)所求平面方程為 (6分)2．將積分化為柱面坐標(biāo)系下的三次積分，其中是曲面 及所圍成的區(qū)域． 解： (3分) (6分)3．計算二重積分，其中閉區(qū)域解 三、解答題（共35分 每題7分）1．設(shè)，而，求．解： (3分) (6分) (7分)2．函數(shù)由方程所確定，求．解：令， (2分)則 (5分) ， ． (7分)3．計算曲線積分，其中是在圓周上由到點的有向弧段．解：添加有向輔助線段，有向輔助線段與有向弧段圍成的閉區(qū)域記為，根據(jù)格林公式 (5分) (7分)4．設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，其中是連續(xù)可微
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