高等數(shù)學下冊資料期末復(fù)習試題及答案(已修改)
2025-07-06 03:36 本頁面
【正文】 一、填空題（共21分 每小題3分）1．曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為．2．直線與直線的夾角為．3．設(shè)函數(shù)，則．4．設(shè)級數(shù)收斂，則．5．設(shè)周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達式為 則它的傅里葉級數(shù)在處收斂于． 6．全微分方程的通解為?。?．寫出微分方程的特解的形式．二、解答題（共18分 每小題6分）1．求過點且垂直于直線的平面方程．解：設(shè)所求平面的法向量為，則 (4分)所求平面方程為 (6分)2．將積分化為柱面坐標系下的三次積分，其中是曲面 及所圍成的區(qū)域． 解： (3分) (6分)3．計算二重積分，其中閉區(qū)域解 三、解答題（共35分 每題7分）1．設(shè)，而，求．解： (3分) (6分) (7分)2．函數(shù)由方程所確定，求．解：令， (2分)則 (5分) ， ． (7分)3．計算曲線積分，其中是在圓周上由到點的有向弧段．解：添加有向輔助線段，有向輔助線段與有向弧段圍成的閉區(qū)域記為，根據(jù)格林公式 (5分) (7分)4．設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，其中是連續(xù)可微函數(shù)且滿足，求．解： 由 得 ， 即 (3分) 所以 ， (6分) 代入初始條件，解得，所以． (7分)5．判斷級數(shù)的斂散性．解： 因為 (3分) (6分)故該級數(shù)收斂． (7分)四、（7分）計算曲面積分，其中是上半球面的上側(cè)．解：添加輔助曲面，取下側(cè)，則在由和所圍成的空間閉區(qū)域上應(yīng)用高斯公式得 (4分) (6分) ． (7分) 五、（6分）在半徑為的圓的內(nèi)接三角形中，求其面積為最大的三角形．解：設(shè)三角形各邊所對圓心角分別為，則， 且面積為， 令 (3分)由 (4分)得．此時，其邊長為． 由于實際問題存在最大值且駐點唯一，故當內(nèi)接三角形為等邊三角形時其面積最大． (6分)六、（8分）求級數(shù)的收斂域，并求其和函數(shù)．解： ，故收斂半徑為． (2分)當時，根據(jù)萊布尼茨判別法，級數(shù)收斂； 當時， 級數(shù)為調(diào)和級數(shù)，發(fā)散．故原級數(shù)的收斂域為． (5分)設(shè)和為，即，求導得， (6分)再積分得 ， (8分)七、（5分）設(shè)函數(shù)在正實軸上連續(xù)，且等式對任何成立．如果，求．解：等式兩邊對求偏導得 (2分)上式對任何仍成立．令，且因，故有． (3分)由于上式右邊可導，所以左邊也可導．兩邊求導，得 即．故通解為?。敃r，故．因此所求的函數(shù)為 ． (5分)八． （5分）已知， 是某二階線性非齊次微分方程的三個解，求此微分方程．解1：由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理知與是對應(yīng)齊次方程的兩個線性無 關(guān)的解，是非齊次方程的一個特解，故可設(shè)此方程為 將代入上式，得，因此所求的微分方程為 解2：由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理知與是對應(yīng)齊次方程的兩個線性無 關(guān)的解，是非齊次方程的一個特解，故是所 求微分方程的通解，從而有 ， 消去，得所求的微分方程為 06高數(shù)B一、填空題（共30分 每小題3分）1．坐標面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲
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