【正文】 (2)在約束條件即等成本線AB給定的條件下，先看等產(chǎn)量曲線Q3，該曲線處于AB線以外，與AB線既無交點又無切點，所以，等產(chǎn)量曲。14. 畫圖說明廠商在既定成本條件下是如何實現(xiàn)最大產(chǎn)量的最優(yōu)要素組合的。　　mieq \o(n,\s\do4(L，K))2L＋K　　.　Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)＝800　　L(L，K，μ)＝2L＋K＋μ(800－Leq \f(2,3)Keq \f(1,3))將拉格朗日函數(shù)分別對L、K和μ求偏導(dǎo)，得極值的一階條件　　eq \f(?L,?L)＝2－eq \f(2,3)μL－eq \f(1,3)Keq \f(1,3)＝0(1)　　eq \f(?L,?K)＝1－eq \f(1,3)μLeq \f(2,3)K－eq \f(2,3)＝0(2)　　eq \f(?L,?μ)＝800－Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)＝0(3)由式(1)、式(2)可得　　eq \f(K,L)＝eq \f(1,1)即　　　K＝L將K＝L代入約束條件即式(3)，有　　800－Leq \f(2,3)Leq \f(1,3)＝0解得　　L＝800且有　　K＝800再將L*＝K*＝800代入目標(biāo)函數(shù)即成本等式，得最小的成本　　C＝2L＋1K＝C，求得最小成本　　C*＝2800＋1800＝2 400本題的計算結(jié)果表示：在Q＝800時，廠商以L*＝800，K*＝800進行生產(chǎn)的最小成本為C*＝2 400。K＝3 000　　L(L，K，λ)＝Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)＋λ(3 000－2L－K)將拉格朗日函數(shù)分別對L、K和λ求偏導(dǎo)，得極值的一階條件　　eq \f(?L,?L)＝eq \f(2,3)L－eq \f(1,3)Keq \f(1,3)－2λ＝0(1)　　eq \f(?L,?K)＝eq \f(1,3)Leq \f(2,3)K－eq \f(2,3)－λ＝0(2)　　eq \f(?L,?λ)＝3 000－2L－K＝0(3)由式(1)、式(2)可得　　eq \f(K,L)＝eq \f(1,1)即　　　K＝L將K＝L代入約束條件即式(3)，可得　　3 000－2L－L＝0解得　　L*＝1 000且有　　K*＝1 000再將L*＝K*＝1 000代入目標(biāo)函數(shù)即生產(chǎn)函數(shù)，得最大產(chǎn)量　　Q*＝(L*)eq \f(2,3)(K*)eq \f(1,3)＝1 000eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)＝1 000在此略去關(guān)于極大值的二階條件的討論。此外，本題也可以用以下的拉格朗日函數(shù)法來求解。解答：(1)根據(jù)企業(yè)實現(xiàn)給定成本條件下產(chǎn)量最大化的均衡條件　　eq \f(MPL,MPK)＝eq \f(w,r)其中　　MPL＝eq \f(dQ,dL)＝eq \f(2,3)L－eq \f(1,3)Keq \f(1,3)　　MPK＝eq \f(dQ,dK)＝eq \f(1,3)Leq \f(2,3)K－eq \f(2,3)　　w＝2　　r＝1于是有　eq \f(2,3)L－eq \f(1,3)Keq \f(1,3),eq \f(1,3)Leq \f(2,3)K－eq \f(2,3))＝eq \f(2,1)整理得　eq \f(K,L)＝eq \f(1,1)即　　　K＝L再將K＝L代入約束條件2L＋1求：(1)當(dāng)成本C＝3 000時，企業(yè)實現(xiàn)最大產(chǎn)量時的L、K和Q的均衡值。(2)在規(guī)模報酬不變，即α0＝0時，生產(chǎn)函數(shù)可以寫成　　f(L，K)＝α1(LK)eq \f(1,2)＋α2K＋α3L相應(yīng)地，勞動與資本的邊際產(chǎn)量分別為　　MPL(L，K)＝eq \f(?f(L，K),?L)＝eq \f(1,2)α1L－eq \f(1,2)Keq \f(1,2)＋α3　　MPK(L，K)＝eq \f(?f(L，K),?K)＝eq \f(1,2)α1Leq \f(1,2)K－eq \f(1,2)＋α2而且有　　eq \f(?MPL(L，K),?L)＝eq \f(?2f(L，K),?L2)＝－eq \f(1,4)α1L－eq \f(3,2)Keq \f(1,2)　　eq \f(?MPK(L，K),?K)＝eq \f(?2f(L，K),?K2)＝－eq \f(1,4)α1Leq \f(1,2)K－eq \f(3,2)顯然，勞動和資本的邊際產(chǎn)量都是遞減的。f(L，K)＋(1－λ)α0由上式可見，當(dāng)α0＝0時，對于任何的λ＞0，有f(λL， λK)＝λ解答：(1)根據(jù)規(guī)模報酬不變的定義　　f(λL，λK)＝λ(1)當(dāng)滿足什么條件時，該生產(chǎn)函數(shù)表現(xiàn)出規(guī)模報酬不變的特征。以上的推導(dǎo)過程表明該生產(chǎn)函數(shù)在短期生產(chǎn)中受邊際報酬遞減規(guī)律的支配。類似地，假定在短期生產(chǎn)中，勞動投入量不變，以eq \o(L,\s\up6(－))表示；而資本投入量可變，以K表示。(2)假定在短期生產(chǎn)中，資本投入量不變，以eq \o(K,\s\up6(－))表示；而勞動投入量可變，以L表示。判斷：(1)在長期生產(chǎn)中，該生產(chǎn)函數(shù)的規(guī)模報酬屬于哪一種類型？(2)在短期生產(chǎn)中，該生產(chǎn)函數(shù)是否受邊際報酬遞減規(guī)律的支配？解答：(1)因為Q＝f(L，K)＝ALeq \f(1,3)Keq \f(2,3)， 于是有　　f(λL，λK)＝A(λL)eq \f(1,3)(λK)eq \f(2,3)＝Aλeq \f(1,3)＋eq \f(2,3)Leq \f(1,3)Keq \f(2,3)＝λALeq \f(1,3)Keq \f(2,3)＝λ當(dāng)PL＝1，PK＝1，Q＝1 000時，將其擴展線方程K＝3L，代入生產(chǎn)函數(shù)，得　　K＝3L＝1 000于是，有K＝1 000，L＝eq \f(1 000,3)。L2＝1 000于是，有L＝10eq \r(3,2)，K＝5eq \r(3,2)。(c)關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)Q＝KL2。(b)關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)Q＝eq \f(KL,K＋L)。(2)(a)關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)Q＝5Leq \f(1,3)Keq \f(2,3)?！　PL＝2KL　　MPK＝L2由最優(yōu)要素組合的均衡條件eq \f(MPL,MPK)＝eq \f(PL,PK)，可得　　eq \f(2KL,L2)＝eq \f(PL,PK)即廠商長期生產(chǎn)的擴展線方程為　　K＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PL,2PK)))L(d)關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)Q＝min(3L， K)?！　PL＝eq \f(K(K＋L)－KL,(K＋L)2)＝eq \f(K2,(K＋L)2)　　MPK＝eq \f(L(K＋L)－KL,(K＋L)2)＝eq \f(L2,(K＋L)2)由最優(yōu)要素組合的均衡條件eq \f(MPL,MPK)＝eq \f(PL,PK)，可得　　eq \f(K2/(K＋L)2,L2/(K＋L)2)＝eq \f(PL,PK)整理得　　eq \f(K2,L2)＝eq \f(PL,PK)即廠商長期生產(chǎn)的擴展線方程為　　K＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PL,PK)))eq \f(1,2)解答：(1)(a)關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)Q＝5Leq \f(1,3)Keq \f(2,3)。求：(1)廠商長期生產(chǎn)的擴展線方程。解答：因為 Q＝f(L，K)＝ALαKβ　　f(λL，λK)＝A(λL)α(λK)β＝λα＋βALαKβ所以當(dāng)α＋β1時，該生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報酬遞增；當(dāng)α＋β＝1時，該生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報酬不變；當(dāng)α＋β1時，該生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報酬遞減。＝ALαKβ。(2)由于該生產(chǎn)函數(shù)為固定投入比例，即L與K之間沒有替代關(guān)系，所以，邊際技術(shù)替代率MRTSLK＝0。圖4—2當(dāng)產(chǎn)量Q＝50時，有5L＝2K＝50，即L＝10，K＝25。 (3)分析該生產(chǎn)函數(shù)的規(guī)模報酬情況。 (1)作出Q＝50時的等產(chǎn)量曲線。K＝＋＝可見，對于一次齊次的該生產(chǎn)函數(shù)來說，若按歐拉分配定理分配實物報酬，則所生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好分完，不會有剩余。K＝－(2)因為　　MPL＝eq \f(dQ,dL)＝－　　MPK＝eq \f(dQ,dK)＝－所以，根據(jù)歐拉分配定理，被分配掉的實物總量為　　MPL＝λ＝。由此可得，生產(chǎn)要素L投入量的合理區(qū)間為[4,7]。解得L＝－eq \f(5,3)和L＝7。L＝0不合理，舍去，故取L＝4。在生產(chǎn)要素L投入量的合理區(qū)間的左端，有AP＝MP，于是，有35＋8L－L2＝35＋16L－3L2。求：(1)該企業(yè)的平均產(chǎn)量函數(shù)和邊際產(chǎn)量函數(shù)。K＝2240＋5160＝1 280即生產(chǎn)480單位產(chǎn)量的最小成本為1 280。(2)由Q＝2L＝3K，且Q＝480，可得　　L＝240，K＝160又因為PL＝2，PK＝5，所以有　　C＝PL求：(1)當(dāng)產(chǎn)量Q＝36時，L與K值分別是多少？(2)如果生產(chǎn)要素的價格分別為PL＝2，PK＝5，則生產(chǎn)480單位產(chǎn)量時的最小成本是多少？解答：(1)生產(chǎn)函數(shù)Q＝min{2L， 3K}表示該函數(shù)是一個固定投入比例的生產(chǎn)函數(shù)，所以，廠商進行生產(chǎn)時，總有Q＝2L＝3K。很顯然，規(guī)模報酬分析可視為長期生產(chǎn)的分析視角。很顯然，邊際報酬分析可視為短期生產(chǎn)的分析視角。解答：邊際報酬變化是指在生產(chǎn)過程中一種可變要素投入量每增加一個單位時所引起的總產(chǎn)量的變化量，即邊際產(chǎn)量的變化，而其他生產(chǎn)要素均為固定生產(chǎn)要素，固定要素的投入數(shù)量是保持不變的。很顯然，當(dāng)APL＝MPL＝10時，APL一定達到其自身的極大值，此時勞動投入量為L＝10。(3)當(dāng)勞動的平均產(chǎn)量APL達到最大值時，一定有APL＝MPL。關(guān)于邊際產(chǎn)量的最大值：由勞動的邊際產(chǎn)量函數(shù)MPL＝20－L可知，邊際產(chǎn)量曲線是一條斜率為負(fù)的直線。(3)什么時候APL＝MPL？它的值又是多少？解答：(1)由生產(chǎn)函數(shù)Q＝2KL－－，且K＝10，可得短期生產(chǎn)函數(shù)為　　Q＝20L－－102＝20L－－50于是，根據(jù)總產(chǎn)量、平均產(chǎn)量和邊際產(chǎn)量的定義，有以下函數(shù)勞動的總產(chǎn)量函數(shù)：TPL＝20L－－50勞動的平均產(chǎn)量函數(shù)：APL＝eq \f(TPL,L)＝20－－eq \f(50,L)勞動的邊際產(chǎn)量函數(shù)：MPL＝eq \f(dTPL,dL)＝20－L(2)關(guān)于總產(chǎn)量的最大值：令eq \f(dTPL,dL)＝0，即eq \f(dTPL,dL)＝20－L＝0解得　　L＝20且　　　eq \f(d2TPL,dL2)＝－1＜0所以，當(dāng)勞動投入量L＝20時，勞動的總產(chǎn)量TPL達到極大值。(1)寫出在短期生產(chǎn)中該廠商關(guān)于勞動的總產(chǎn)量TPL函數(shù)、勞動的平均產(chǎn)量APL函數(shù)和勞動的邊際產(chǎn)量MPL函數(shù)。因此，在圖4—1中，在L＝L2時，APL曲線與MPL曲線相交于APL曲線的最高點C′，而且與C′點相對應(yīng)的是TPL曲線上的切點C。該切線是由原點出發(fā)與TPL曲線上所有的點的連線中斜率最大的一條連線，故該切點對應(yīng)的是APL的最大值點。關(guān)于APL曲線。換言之，在L＝L3時，MPL曲線達到零值的B點與TPL曲線達到最大值的B′點是相互對應(yīng)的。關(guān)于TPL曲線。圖4—1由圖4—1可見，在短期生產(chǎn)的邊際報酬遞減規(guī)律的作用下，MPL曲線呈現(xiàn)出先上升達到最高點A以后又下降的趨勢。2. 用圖說明短期生產(chǎn)函數(shù)Q＝f(L， eq \o(K,\s\up6(－)))的TPL曲線、APL曲線和MPL曲線的特征及其相互之間的關(guān)系。(2)該生產(chǎn)函數(shù)是否表現(xiàn)出邊際報酬遞減？如果是，是從第幾單位的可變要素投入量開始的？解答：(1)利用短期生產(chǎn)的總產(chǎn)量(TP)、平均產(chǎn)量(AP)和邊際產(chǎn)量(MP)之間的關(guān)系，可以完成對該表的填空，其結(jié)果如表4—2所示：表4—2可變要素的數(shù)量可變要素的總產(chǎn)量可變要素的平均產(chǎn)量可變要素的邊際產(chǎn)量12　　22212　　610324　　812448122456012126661167701048708\f(34)0963　　7－7　　(2)所謂邊際報酬遞減是指短期生產(chǎn)中一種可變要素的邊際產(chǎn)量在達到最高點以后開始逐步下降的這樣一種普遍的生產(chǎn)現(xiàn)象。唯有如此作圖，才符合(3)中理論分析的要求。于是，大多數(shù)低檔物品的總效應(yīng)與價格成反方向變化，相應(yīng)的需求曲線向右下方傾斜，低檔物品中少數(shù)的特殊商品即吉芬物品的總效應(yīng)與價格成同方向的變化，相應(yīng)的需求曲線向右上方傾斜。在此略去關(guān)于這兩類商品的具體的圖示分析。最后，由于正常物品的替代效應(yīng)和收入效應(yīng)都分別與價格成反方向變化，所以，正常物品的總效應(yīng)與價格一定成反方向變化，由此可知，正常物品的需求曲線是向右下方傾斜的。圖3—9然后，作一條平行于預(yù)算線AB′且與原有的無差異曲線U1相切的補償預(yù)算線FG(以虛線表示)，相應(yīng)的效用最