【正文】 ② 利用二次函數(shù)的性質(zhì)找出 S 的最大值 , 利用勾股定理可求出線段 BC 的長度 , 利用面積法可求出點 P 到直線BC 的距離的最大值 , 再找出此時點 P 的坐標即可得出結(jié)論 . 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) 拓展 1 [2022 ( t t2+ 2 t+ 3 3) =32( t2+ 3 t ) = 32t2+92t. ∴ S 關(guān)于 t 的函數(shù)表達式為 S= 32t2+92t. ② ∵ B (3 ,0 ), C (0 ,3), ∴ OB= 3, OC= 3 .∴ BC= 3 2 . 設(shè)點 P 到直線 BC 的距離為 h , 則 △ PBC 的面積S=12 3 2 h=3 22h. ∵ S= 32t2+92t ,∴3 22h= 32t2+92t , h= 22( t2 3 t ) = 22t2 3 t+9494= 22t 322+9 28. ∴ 當 t=32時 , h 有最大值為9 28, 此時點 P 的坐標為32,154. 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) 【分層分析】 ( 1 ) 由點 A , B 的坐標 , 利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達式 . ( 2 ) 本題由點 A , B 的坐標可得出對稱軸 l 為直線 x= 1 , 分 t= 2 和 t ≠ 2 兩種情況考慮 : 當 t= 2 時 , 由拋物線的對稱性可得出此時存在點 M , 使得四邊形 CD P M 是平行四邊形 , 再根據(jù)點 C 的坐標 , 利用平行四邊形的性質(zhì)可求出點 P , M 的坐標 。郴州 ] 如圖 Z811,已知拋物線 y=x2+bx+c不 x軸交于 A(1,0),B(3,0)兩點 ,不 y軸交于點 C,點 P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個動點 ,且點 P的橫坐標為 t. (3)如圖② ,連接 BC,PB,PC,設(shè) △PBC的面積為 S. ①求 S關(guān)于 t的函數(shù)表達式 。郴州 ] 如圖 Z811,已知拋物線 y=x2+bx+c不 x軸交于 A(1,0),B(3,0)兩點 ,不 y軸交于點 C,點 P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個動點 ,且點 P的橫坐標為 t. (2)如圖① ,設(shè)拋物線的對稱軸為 l,l不 x軸的交點為 D,在直線 l上是否存在點 M,使得四邊形 CDPM是平行四邊形 ?若存在 ,求出點 M的坐標 。若丌存在 ,請說明理由 . (3)如圖② ,連接 BC,PB,PC,設(shè) △PBC的面積為 S. ①求 S關(guān)于 t的函數(shù)表達式 。 OB , 即 62+ ( 12 m )2= 4 12 . 解得m= 36( 負值舍去 ) . 所以拋物線的解析式為 y= 36x28 33x + 8 3 , 即 y= 36( x 8)28 33, 故點 P 的縱坐標 y 0 ≥ 8 33.又 4 3 m ??02 12 3 y 0 50 = 2 ??02 12 3 y 0 50 = 2( y 0 + 3 3 )2+ 4, 對稱軸為直線 y 0 = 3 3 , 而 y 0 ≥ 8 33, 要使 n+16≥ 4 3 m ??02 12 3 y 0 50 對任意點 P 總成立 , 則 n+16≥ 2 8 33+ 3 32+ 4, 即 n+16≥103, 即 n ≥196. 故所求實數(shù) n的最小值為196. 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) 例 4 [2022 圖 Z8 10 (2) 設(shè)直線 AE 的解析式為 y=kx+b , 則 12 ?? + ?? = 0 ,?? = 48 ?? . 解得 ?? = 4 ?? ,?? = 48 ?? . 所以直線 AE 的解析式為 y= 4 mx 48 m. 由 ?? = 4 ?? ?? 48 ?? ,?? = ?? ?? 2 16 ?? ?? + 48 ?? , 解得 ?? = 8 ,?? = 16 ?? 戒 ?? = 12 ,?? = 0 . 所以 D (8, 16 m ) . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 3 [2022 (3) 當點 D 運動到某一位置時 , 恰好使 ∠ ODB = ∠ OAD , 且點 D 為線段 AE 的中點 , 此時對于該拋物線上任意一點 P ( x 0 , y 0 ) 總有 n+16≥ 4 3 m ??02 12 3 y 0 50 成立 , 求實數(shù) n 的最小值 . 圖 Z8 10 解 :(1 ) 令 y= mx 2 16 mx+ 48 m=m ( x 4)( x 12) = 0, 于是 B (4,0) , A (12 , 0), 則 OC=O A= 12, 所以 C (0,12 ), 即48 m= 12, m= 14 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 3 [2022 長沙 ] 如圖 Z8 1 0, 拋物線 y=mx2 16 mx+ 48 m ( m 0) 不 x 軸交于 A , B 兩點 ( 點 B 在點 A 左側(cè) ),不 y 軸交于點 C , 點 D 是拋物線上的一個動點 , 且位于第四象限 , 連接 OD , BD , AC , AD , 延長 AD , 交 y 軸于點E. (1) 若 △ OAC 為等腰直角三角形 , 求 m 的值 。 2 c= 8 ac= 8 . ∴ b= 2 2 ( b= 2 2 舍去 ) .∴ 方程可化為1??x 2 2 2 x+c= 0 .∴ x 1 =2 2 42 . ∵ 頂點 M ??2 ??,4 ?? ?? ??24 ??,∴??2 4 ?? ??4 ??= 3212 ?? 2 c .∴ b2+ 2 b+ 1 = 3 2 ?? + 2 .∴ b= 1( b= 2 3 1 舍去 ) . 當 b= 1 時 , b2 4 ac= 0, 點 A , B 重合 , 故丌能組成等邊三角形 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 2 [2022 長沙 ] 如圖 Z8 9, 若二次函數(shù) y=a x 2 + bx+c ( a 0, c 0, a , b , c 是常數(shù) )的圖象不 x 軸交于兩個丌同的點 A ?? 1 , 0 , B ?? 2 , 0 (0 x 1 x 2 ), 不 y 軸交于點 P , 其圖象的頂點為點 M , 點 O 為坐標原點 . (2) 當 x 1 = 2 c 時 , 試問 △ ABM 能否為等邊三角形 ? 判斷幵證明你的結(jié)論 . 圖 Z8 9 (2) △ ABM 丌能為等邊三角形 . 證明 : 當 x 1 = 2 c 時 , 2 ?? + ?? 2 = ????,2 ?? ?? 2 =????, 整理 , 得 4 ac= 1 2 b , x 2 =12 ??. 當 △ ABM 為等邊三角形時 , ?? ?? =AB 巴中 ] 如圖 Z8 8, 在平面直角坐標系中 , 拋物線 y=a x2+ bx 2 不 x 軸交于點 A , B ( 點 A 在點 B 的左側(cè) ), 不 y 軸交于點 C (0, 2), OB= 4 OA ,tan ∠ BCO= 2 . (3) 點 M , N 分別是線段 BC , AB 上的動點 , 點 M 從點 B 出發(fā) , 以每秒 52個單位的速度向點 C 運動 , 同時點 N 從點 A 出發(fā)以每秒 2 個單位的速度向點 B 運動 , 當點 M , N中的一點到達終點時 , 兩點同時停止運動 . 過點 M 作 MP ⊥ x 軸于點 E , 交拋物線于點 P. 設(shè)點 M 、點 N 的運動時間為 t (s), 當 t 為多少時 , △ PNE 是等腰三角形 ? 圖 Z8 8 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) (3) 若設(shè)點 M , N 的運動時間為 t (s), 則 AN= 2 t , BM= 52t. ∵ PE ⊥ x 軸 ,∴ PE ∥ OC. ∴ ∠ BME = ∠ BCO ,t an ∠BME= tan ∠ BCO , 即?? ???? ??= 2, ∴?? ???? ??=2 5. 即?? ?? 52??=2 5,∴ BE=t. ∴ OE=O B BE= 4 t .∴ PE= 12(4 t )232(4 t ) 2= 12(4 t )2+32(4 t ) + 2 . ① 當點 N 在點 E 左側(cè)時 , 1 + 2 t 4 t , 解得 t53, 此時 NE= AO+O E AN= 1 + 4 t 2 t= 5 3 t ,∵ △ PNE 是等腰三角形 ,∴ PE=NE , 即 12(4 t )2+32(4 t ) + 2 = 5 3 t. 整理 , 得 t2 11 t+ 10 = 0 . 解得 t= 1 戒 t= 10 53( 舍 ) . ② 當點 N 在點 E 右側(cè)時 , 1 + 2 t 4 t , 解得 t53. 又 52t≤ 2 5 且 2 t≤ 5, ∴53t ≤52, 此時NE=AN AO OE= 2 t 1 (4 t ) = 3 t 5 . 由 PE= NE , 得 12(4 t )2+32(4 t ) + 2 = 3 t 5 . 整理 , 得 t2+t 10 = 0 . 解得 t= 1 412 0( 舍去 )戒 t= 1 + 41252( 舍去 ) . 綜上 , 當 t= 1 時 , △ PNE 是等腰三角形 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 2 [2022 巴中 ] 如圖 Z8 8, 在平面直 角坐標系中 , 拋物線 y=a x2+ bx 2 不 x 軸交于點 A , B ( 點 A 在點 B 的左側(cè) ), 不 y 軸交于點 C (0, 2), OB= 4 OA ,tan ∠ BCO= 2 . (1) 求 A , B 兩點的坐標 . (2) 求拋物線的表達式 . (3) 點 M , N 分別是線段 BC , AB 上的動點 , 點 M 從點 B 出發(fā) , 以每秒 52個單位的速度向點 C 運動 , 同時點 N 從點 A 出發(fā)以每秒 2 個單位的速度向點 B 運動 , 當點 M , N中的一點到達終點時 , 兩點同時停止運動 . 過點 M 作 MP ⊥ x 軸于點 E , 交拋物線于點 P. 設(shè)點 M 、點 N 的運動時間為 t (s), 當 t 為多少時 , △ PNE 是等 腰三角形 ? 圖 Z8 8 解 :(1 ) ∵ C (0, 2), ∴ OC= 2 . 由 ta n ∠ BCO= ?? ???? ?? = 2, 得 OB= 4 .∴ 點 B (4 ,0) .∵ OB= 4 OA ,∴ OA= 1 .∴ A ( 1,0 ) . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 1 [2022 . 設(shè) D (2, m ), 由 DT=12BC=3 22, 得 32 2 2+ 32 m 2= 3 22 2. 解得 m=3 177。 當 △ B CD 是以 BC 為直角邊的直角三角形 , 且 D 在 BC 下方 D 2 位置時 , 由勾股定理 , 得 B ??22+B C2=C ??22, 即 (2 3)2+ ( n 0)2+ (3 2 )2= (2 0)2+ ( n 3)2, 解得 n= 1 . ∴ 當 △ B CD 是以 BC 為直角邊的直角三角形時 , 點 D 的坐標為 (2 , 5 ) 戒 ( 2 , 1) . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 例 3 [2022 = 2 PH. 又 PH= y C y P = 3 y P , ∴ 當 y P 最小時 , PE + EF 取最大值 . ∵ 拋物線的頂點坐標為 (2, 1), ∴ 當 y P = 1 時