【正文】 教學(xué)重點(diǎn)：如何靈活運(yùn)用展開(kāi)式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解題教學(xué)難點(diǎn)：如何靈活運(yùn)用展開(kāi)式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解題授課類(lèi)型：新授課 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 第一課時(shí)一、復(fù)習(xí)引入：1．二項(xiàng)式定理及其特例：（1），（2）.2．二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式： 3．求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí)，要根據(jù)通項(xiàng)公式討論對(duì)的限制；求有理項(xiàng)時(shí)要注意到指數(shù)及項(xiàng)數(shù)的整數(shù)性 二、講解新課：1二項(xiàng)式系數(shù)表（楊輝三角）展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)依次取…時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)表，表中每行兩端都是，除以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和 2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)是，…，．可以看成以為自變量的函數(shù)定義域是，例當(dāng)時(shí)，其圖象是個(gè)孤立的點(diǎn)（如圖）（1）對(duì)稱(chēng)性．與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等（∵）．直線(xiàn)是圖象的對(duì)稱(chēng)軸．（2）增減性與最大值．∵，∴相對(duì)于的增減情況由決定，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大．由對(duì)稱(chēng)性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，中。過(guò)程與方法：培養(yǎng)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，抽象概括及分析解決問(wèn)題的能力。教材的探求過(guò)程將歸納推理與演繹推理有機(jī)結(jié)合起來(lái)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的極好載體，教學(xué)過(guò)程中，要讓學(xué)生充分體驗(yàn)到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問(wèn)題的解決方法。教學(xué)重點(diǎn)：二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式的掌握及運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)：二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式的掌握及運(yùn)用授課類(lèi)型：新授課 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 第一課時(shí)一、復(fù)習(xí)引入： ⑴；⑵⑶的各項(xiàng)都是次式，即展開(kāi)式應(yīng)有下面形式的各項(xiàng)：，展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)：上面?zhèn)€括號(hào)中，每個(gè)都不取的情況有種，即種，的系數(shù)是；恰有個(gè)取的情況有種，的系數(shù)是，恰有個(gè)取的情況有種，的系數(shù)是，恰有個(gè)取的情況有種，的系數(shù)是，有都取的情況有種，的系數(shù)是，∴．二、講解新課：二項(xiàng)式定理：⑴的展開(kāi)式的各項(xiàng)都是次式，即展開(kāi)式應(yīng)有下面形式的各項(xiàng)：，…，…，⑵展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)： 每個(gè)都不取的情況有種，即種，的系數(shù)是；恰有個(gè)取的情況有種，的系數(shù)是，……，恰有個(gè)取的情況有種，的系數(shù)是，……，有都取的情況有種，的系數(shù)是，∴，這個(gè)公式所表示的定理叫二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫的二項(xiàng)展開(kāi)式，⑶它有項(xiàng)，各項(xiàng)的系數(shù)叫二項(xiàng)式系數(shù)，⑷叫二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)．⑸二項(xiàng)式定理中，設(shè)，則三、講解范例：例1．展開(kāi)．解一： ．解二：．例2．展開(kāi)．解：．第二課時(shí)例3．求的展開(kāi)式中的倒數(shù)第項(xiàng)解：的展開(kāi)式中共項(xiàng)，它的倒數(shù)第項(xiàng)是第項(xiàng)，．例4．求（1），（2）的展開(kāi)式中的第項(xiàng)．解：（1）， （2）．點(diǎn)評(píng)：，的展開(kāi)后結(jié)果相同，但展開(kāi)式中的第項(xiàng)不相同例5．（1）求的展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)；（2）求的展開(kāi)式的中間兩項(xiàng)解：∵，∴（1）當(dāng)時(shí)展開(kāi)式是常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)為；（2）的展開(kāi)式共項(xiàng)，它的中間兩項(xiàng)分別是第項(xiàng)、第項(xiàng)， 第三課時(shí)例6．（1）求的展開(kāi)式的第4項(xiàng)的系數(shù)；（2）求的展開(kāi)式中的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)解：的展開(kāi)式的第四項(xiàng)是，∴的展開(kāi)式的第四項(xiàng)的系數(shù)是．（2）∵的展開(kāi)式的通項(xiàng)是，∴，∴的系數(shù)，的二項(xiàng)式系數(shù)．例7．求的展開(kāi)式中的系數(shù)分析：要把上式展開(kāi)，必須先把三項(xiàng)中的某兩項(xiàng)結(jié)合起來(lái)，看成一項(xiàng)，才可以用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，然后再用一次二項(xiàng)式定理，也可以先把三項(xiàng)式分解成兩個(gè)二項(xiàng)式的積，再用二項(xiàng)式定理展開(kāi)解：（法一），顯然，上式中只有第四項(xiàng)中含的項(xiàng)，∴展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)是（法二）：∴展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)是．例8．已知 的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為，求展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)最小值分析：展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是關(guān)于的關(guān)系式，由展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為，可得，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的二次函數(shù)求解解：展開(kāi)式中含的項(xiàng)為∴，即，展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，∵， ∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，取最小值，但，∴ 時(shí)，即項(xiàng)的系數(shù)最小，最小值為，此時(shí)．第四課時(shí)例9．已知的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列，（1）證明展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；（2）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng) 解：由題意：，即，∴舍去） ∴①若是常數(shù)項(xiàng)，則，即，∵，這不可能，∴展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；②若是有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)，∴，∴ ，即 展開(kāi)式中有三項(xiàng)有理項(xiàng)，分別是：， 例10．求的近似值，使誤差小于．解：，展開(kāi)式中第三項(xiàng)為，小于，以后各項(xiàng)的絕對(duì)值更小，可忽略不計(jì)，∴，一般地當(dāng)較小時(shí) 四、課堂練習(xí)：..+1項(xiàng).，并求第4項(xiàng)的系數(shù).：（1）；（2）.：（1）；（2） 7．展開(kāi)式中的第項(xiàng)為，求． 8．求展開(kāi)式的中間項(xiàng)答案：1. 2. 3. ，第4項(xiàng)的系數(shù) 5. （1）；（2）.6. （1）；（2） 7. 展開(kāi)式中的第項(xiàng)為 8. 展開(kāi)式的中間項(xiàng)為 五、小結(jié) ：二項(xiàng)式定理的探索思路:觀(guān)察——?dú)w納——猜想——證明；二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式的特點(diǎn) 六、課后作業(yè)： P36 . 2. 七、板書(shū)設(shè)計(jì)（略） 八、教學(xué)反思： (a+b) ｎ = 這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，公式右邊的多項(xiàng)式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中（r=0,1,2,……,n）叫做 ， 叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，它是展開(kāi)式的第 項(xiàng)，展開(kāi)式共有 個(gè)項(xiàng).掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，并能用它們解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題。本文試給幾例以說(shuō)明。教科書(shū)在研究組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)①，②時(shí)，給出了組合數(shù)定義的解釋證明，即構(gòu)造一個(gè)組合問(wèn)題的模型，把等式兩邊看成同一個(gè)組合問(wèn)題的兩種計(jì)算方法，由組合個(gè)數(shù)相等證出要證明的組合等式。性質(zhì)計(jì)算公式符號(hào)名 稱(chēng)排 列組 合定義相同點(diǎn)顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。若組長(zhǎng)和副組長(zhǎng)是同一個(gè)人，則有種選法；若組長(zhǎng)和副組長(zhǎng)不是同一個(gè)人，則有種選法。證明：由于可表示先在個(gè)元素里選個(gè)，再?gòu)膫€(gè)元素里選兩個(gè)（可重復(fù)）的組合數(shù)，所以原式左端可看成在例3指定一人為組長(zhǎng)基礎(chǔ)上，再指定一人為副組長(zhǎng)（可兼職）的組合數(shù)。顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。把這種選法按取到的人數(shù)分類(lèi)（…），則選法總數(shù)即為原式左邊。證明：左邊=…=…，其中可表示先在個(gè)元素里選個(gè)，再?gòu)膫€(gè)元素里選一個(gè)的組合數(shù)。又由組合定義知選法數(shù)為，故等式成立。例15．證明：…（其中）。原式右端可看成直接在個(gè)同學(xué)中選出個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組，在余下的個(gè)同學(xué)中選出個(gè)同學(xué)參加物理興趣小組的選法數(shù)。變式：按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？（1）甲、乙、丙三人必須當(dāng)選； （2）甲、乙、丙三人不能當(dāng)選；（3）甲必須當(dāng)選，乙、丙不能當(dāng)選； （4）甲、乙、丙三人只有一人當(dāng)選；（5）甲、乙、丙三人至多2人當(dāng)選； （6）甲、乙、丙三人至少1人當(dāng)選；例9．（1）6本不同的書(shū)分給甲、乙、丙3同學(xué)，每人各得2本，有多少種不同的分法？解：．（2）從5個(gè)男生和4個(gè)女生中選出4名學(xué)生參加一次會(huì)議，要求至少有2名男生和1名女生參加，有多少種選法？解：?jiǎn)栴}可以分成2類(lèi)：第一類(lèi) 2名男生和2名女生參加，有中選法；第二類(lèi) 3名男生和1名女生參加，有中選法依據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，共有100種選法錯(cuò)解：種選法引導(dǎo)學(xué)生用直接法檢驗(yàn)，可知重復(fù)的很多例10．4名男生和6名女生組成至少有1個(gè)男生參加的三人社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組，問(wèn)組成方法共有多少種？解法一：（直接法）小組構(gòu)成有三種情形：3男，2男1女，1男2女，分別有，所以，一共有++＝100種方法．解法二：（間接法）第四課時(shí)組合數(shù)的性質(zhì)1：．一般地，從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素后，剩下個(gè)元素．因?yàn)閺膎個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的每一個(gè)組合，與剩下的n m個(gè)元素的每一個(gè)組合一一對(duì)應(yīng)，所以從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，等于從這n個(gè)元素中取出n m個(gè)元素的組合數(shù)，即：．在這里，主要體現(xiàn)：“取法”與“剩法”是“一一對(duì)應(yīng)”的思想證明：∵又 ，∴說(shuō)明：①規(guī)定：；②等式特點(diǎn)：等式兩邊下標(biāo)同，上標(biāo)之和等于下標(biāo)；③此性質(zhì)作用：當(dāng)時(shí)，計(jì)算可變?yōu)橛?jì)算，能夠使運(yùn)算簡(jiǎn)化.例如＝＝=2002； ④或．2．組合數(shù)的性質(zhì)2：＝+．一般地，從這n+1個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)是，這些組合可以分為兩類(lèi)：一類(lèi)含有元素，一類(lèi)不含有．含有的組合是從這n個(gè)元素中取出m 1個(gè)元素與組成的，共有個(gè)；不含有的組合是從這n個(gè)元素中取出m個(gè)元素組成的，共有個(gè)．根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，可以得到組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)．在這里，主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想，“含與不含其元素”的分類(lèi)思想．證明： ∴＝+． 說(shuō)明：①公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與大的相同的一個(gè)組合數(shù)； ②此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡(jiǎn)化運(yùn)算 例11．一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小不同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球，（1）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？（2）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？（3）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？解：（1）,或，；（2）；（3）．例12．（1）計(jì)算：；（2）求證：＝++．解：（1）原式；證明：（2）右邊左邊例13．解方程：（1）；（2）解方程：．解：（1）由原方程得或，∴或， 又由得且，∴原方程的解為或上述求解過(guò)程中的不等式組可以不解,直接把和代入檢驗(yàn),這樣運(yùn)算量小得多.（2）原方程可化為，即，∴，∴，∴，解得或， 經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解 第五課時(shí)例14．證明：。情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：能運(yùn)用組合要領(lǐng)分析簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，提高分析問(wèn)題的能力。明確組合與排列的聯(lián)系與區(qū)別，能判斷一個(gè)問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題。第三課時(shí)例1．（1）有5本不同的書(shū)，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）有5種不同的書(shū)，要買(mǎi)3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？解：（1）從5本不同的書(shū)中選出3本分別送給3名同學(xué)，對(duì)應(yīng)于從5個(gè)元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是：，所以，共有60種不同的送法（2）由于有5種不同的書(shū)，送給每個(gè)同學(xué)的1本書(shū)都有5種不同的選購(gòu)方法，因此送給3名同學(xué)，每人各1本書(shū)的不同方法種數(shù)是：，所以，共有125種不同的送法說(shuō)明：本題兩小題的區(qū)別在于：第（1）小題是從5本不同的書(shū)中選出3本分送給3位同學(xué)，各人得到的書(shū)不同，屬于求排列數(shù)問(wèn)題；而第（2）小題中，給每人的書(shū)均可以從5種不同的書(shū)中任選1種，各人得到那種書(shū)相互之間沒(méi)有聯(lián)系，要用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算例2．某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號(hào)，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號(hào)，一共可以表示多少種不同的信號(hào)？解：分3類(lèi)：第一類(lèi)用1面旗表示的信號(hào)有種；第二類(lèi)用2面旗表示的信號(hào)有種；第三類(lèi)用3面旗表示的信號(hào)有種，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，所求的信號(hào)種數(shù)是：，答：一共可以表示15種不同的信號(hào)例3．將位司機(jī)、位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車(chē)上，每一輛汽車(chē)分別有一位司機(jī)和一位售票員，共有多少種不同的分配方案？分析：解決這個(gè)問(wèn)題可以分為兩步，第一步：把位司機(jī)分配到四輛不同班次的公共汽車(chē)上，即從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素排成一列，有種方法；第二步：把位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車(chē)上，也有種方法，利用分步計(jì)數(shù)原理即得分配方案的種數(shù)解：由分步計(jì)數(shù)原理，分配方案共有（種）答：共有576種不同的分配方案例4．用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解法1：用分步計(jì)數(shù)原理：所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：解法2：符合條件的三位數(shù)可以分成三類(lèi)：每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)有個(gè)，個(gè)位數(shù)字是0的三位數(shù)有個(gè)，十位數(shù)字是0的三位數(shù)有個(gè)，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：．解法3：從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為，其中以0為排頭的排列數(shù)為，因此符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是．說(shuō)明：解決排列應(yīng)用題，常用的思考方法有直接法和間接法直接法：通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)和分步，直接計(jì)算符合條件的排列數(shù)如解法1，2；間接法：對(duì)于有限制條件的排列應(yīng)用題，可先不考慮限制條件，把所有情況的種數(shù)求出來(lái)，然后再減去不符合限制條件的情況種數(shù)如解法3．對(duì)于有限制條件的排列應(yīng)用題，要恰當(dāng)?shù)卮_定分類(lèi)與分步的標(biāo)準(zhǔn)，防止重復(fù)與遺漏第四課時(shí)例5．（1）7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？解：?jiǎn)栴}可以看作：7個(gè)元素的全排列＝5040．（2）7位同學(xué)站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：7654321＝7?。?040．（3）7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有