【正文】 這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，公式右邊的多項(xiàng)式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中（r=0,1,2,……,n）叫做 ， 叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，它是展開式的第 項(xiàng)，展開式共有 個(gè)項(xiàng).掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，并能用它們解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題。教科書在研究組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)①，②時(shí)，給出了組合數(shù)定義的解釋證明，即構(gòu)造一個(gè)組合問題的模型，把等式兩邊看成同一個(gè)組合問題的兩種計(jì)算方法，由組合個(gè)數(shù)相等證出要證明的組合等式。計(jì)算公式名 稱排 列組 合定義顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。證明：由于可表示先在個(gè)元素里選個(gè)，再從個(gè)元素里選兩個(gè)（可重復(fù)）的組合數(shù)，所以原式左端可看成在例3指定一人為組長基礎(chǔ)上，再指定一人為副組長（可兼職）的組合數(shù)。把這種選法按取到的人數(shù)分類（…），則選法總數(shù)即為原式左邊。又由組合定義知選法數(shù)為，故等式成立。原式右端可看成直接在個(gè)同學(xué)中選出個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組，在余下的個(gè)同學(xué)中選出個(gè)同學(xué)參加物理興趣小組的選法數(shù)。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：能運(yùn)用組合要領(lǐng)分析簡單的實(shí)際問題，提高分析問題的能力。第三課時(shí)例1．（1）有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）有5種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？解：（1）從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，對應(yīng)于從5個(gè)元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是：，所以，共有60種不同的送法（2）由于有5種不同的書，送給每個(gè)同學(xué)的1本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學(xué)，每人各1本書的不同方法種數(shù)是：，所以，共有125種不同的送法說明：本題兩小題的區(qū)別在于：第（1）小題是從5本不同的書中選出3本分送給3位同學(xué)，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；而第（2）小題中，給每人的書均可以從5種不同的書中任選1種，各人得到那種書相互之間沒有聯(lián)系，要用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算例2．某信號兵用紅、黃、藍(lán)3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？解：分3類：第一類用1面旗表示的信號有種；第二類用2面旗表示的信號有種；第三類用3面旗表示的信號有種，由分類計(jì)數(shù)原理，所求的信號種數(shù)是：，答：一共可以表示15種不同的信號例3．將位司機(jī)、位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，每一輛汽車分別有一位司機(jī)和一位售票員，共有多少種不同的分配方案？分析：解決這個(gè)問題可以分為兩步，第一步：把位司機(jī)分配到四輛不同班次的公共汽車上，即從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素排成一列，有種方法；第二步：把位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，也有種方法，利用分步計(jì)數(shù)原理即得分配方案的種數(shù)解：由分步計(jì)數(shù)原理，分配方案共有（種）答：共有576種不同的分配方案例4．用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解法1：用分步計(jì)數(shù)原理：所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：解法2：符合條件的三位數(shù)可以分成三類：每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)有個(gè)，個(gè)位數(shù)字是0的三位數(shù)有個(gè)，十位數(shù)字是0的三位數(shù)有個(gè)，由分類計(jì)數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：．解法3：從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為，其中以0為排頭的排列數(shù)為，因此符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是．說明：解決排列應(yīng)用題，常用的思考方法有直接法和間接法直接法：通過對問題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸惡头植?，直接?jì)算符合條件的排列數(shù)如解法1，2；間接法：對于有限制條件的排列應(yīng)用題，可先不考慮限制條件，把所有情況的種數(shù)求出來，然后再減去不符合限制條件的情況種數(shù)如解法3．對于有限制條件的排列應(yīng)用題，要恰當(dāng)?shù)卮_定分類與分步的標(biāo)準(zhǔn)，防止重復(fù)與遺漏第四課時(shí)例5．（1）7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：7個(gè)元素的全排列＝5040．（2）7位同學(xué)站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：7654321＝7?。?040．（3）7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：余下的6個(gè)元素的全排列——=720．（4）7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步 甲、乙站在兩端有種；第二步 余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有種，所以，共有=240種排列方法（5）7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法1（直接法）：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有種方法；第二步從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列（全排列）有種方法，所以一共有＝2400種排列方法解法2：（排除法）若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾有種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有種方法，所以，甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有－＋=2400種．說明：對于“在”與“不在”的問題，常常使用“直接法”或“排除法”，對某些特殊元素可以優(yōu)先考慮，如果某女演員的獨(dú)唱節(jié)目一定不能排在第二個(gè)節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？解法一：（從特殊位置考慮）；解法二：（從特殊元素考慮）若選：；若不選：，則共有種；解法三：（間接法）第五課時(shí)例7． 7位同學(xué)站成一排，（1）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？解：先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素與其余的5個(gè)元素（同學(xué)）一起進(jìn)行全排列有種方法；再將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有種方法．所以這樣的排法一共有種（2）甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？解：方法同上，一共有＝720種（3）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？解法一：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的5個(gè)元素中選取2個(gè)元素放在排頭和排尾，有種方法；將剩下的4個(gè)元素進(jìn)行全排列有種方法；最后將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有種方法．所以這樣的排法一共有＝960種方法解法二：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元素，若丙站在排頭或排尾有2種方法，所以，丙不能站在排頭和排尾的排法有種方法解法三：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的四個(gè)位置選擇共有種方法，再將其余的5個(gè)元素進(jìn)行全排列共有種方法，最后將甲、乙兩同學(xué)“松綁”，所以，這樣的排法一共有＝960種方法．（4）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)必須站在一起，另外四個(gè)人也必須站在一起解：將甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，另外四個(gè)人“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，時(shí)一共有2個(gè)元素，∴一共有排法種數(shù)：（種）說明：對于相鄰問題，常用“捆綁法”（先捆后松）．例8．7位同學(xué)站成一排，（1）甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？解法一：（排除法）；解法二：（插空法）先將其余五個(gè)同學(xué)排好有種方法，此時(shí)他們留下六個(gè)位置（就稱為“空”吧），再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個(gè)位置（空）有種方法，所以一共有種方法．（2）甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？解：先將其余四個(gè)同學(xué)排好有種方法，此時(shí)他們留下五個(gè)“空”，再將甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)分別插入這五個(gè)“空”有種方法，所以一共有＝1440種．說明：對于不相鄰問題，常用“插空法”（特殊元素后考慮）．第六課時(shí)例9．5男5女排成一排，按下列要求各有多少種排法：（1）男女相間；（2）女生按指定順序排列解：（1）先將男生排好，有種排法；再將5名女生插在男生之間的6個(gè)“空擋”（包括兩端）中，有種排法故本題的排法有（種）；（2）方法1：；方法2：設(shè)想有10個(gè)位置，先將男生排在其中的任意5個(gè)位置上，有種排法；余下的5個(gè)位置排女生，因?yàn)榕奈恢靡呀?jīng)指定，所以她們只有一種排法故本題的結(jié)論為（種）2007年高考題1．（2007年天津卷）如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有　　390　種（用數(shù)字作答）．2．（2007年江蘇卷）某校開設(shè)9門課程供學(xué)生選修，其中三門由于上課時(shí)間相同，至多選一門，學(xué)校規(guī)定每位同學(xué)選修4門，共有　　75　　種不同選修方案。的要求，分步完成選 3 個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)這件事，依據(jù)的是分步乘法計(jì)數(shù)原理；解法 2 以 O 是否出現(xiàn)以及出現(xiàn)的位置為標(biāo)準(zhǔn)，分類完成這件事情，依據(jù)的是分類加法計(jì)數(shù)原理；解法 3 是一種逆向思考方法：先求出從10個(gè)不同數(shù)字中選3個(gè)不重復(fù)數(shù)字的排列數(shù)，然后從中減去百位是。 (3）.解：用計(jì)算器可得：由（ 2 ) ( 3 ）我們看到，．那么，這個(gè)結(jié)果有沒有一般性呢？即.排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式： =.即 = 例2．解方程：3． 解：由排列數(shù)公式得：，∵，∴ ，即，解得 或，∵，且，∴原方程的解為．例3．解不等式：．解：原不等式即，也就是，化簡得：，解得或，又∵，且，所以，原不等式的解集為．例4．求證：（1）；（2）．證明：（1），∴原式成立（2）右邊 ∴原式成立說明：（1）解含排列數(shù)的方程和不等式時(shí)要注意排列數(shù)中，且這些限制條件，要注意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍；（2）公式常用來求值，特別是均為已知時(shí)，公式=，常用來證明或化簡例5．化簡：⑴；⑵⑴解：原式⑵提示：由，得， 原式 說明：．第二課時(shí)例1．(課本例2)．某年全國足球甲級（A組）聯(lián)賽共有14個(gè)隊(duì)參加，每隊(duì)要與其余各隊(duì)在主、客場分別比賽一次，共進(jìn)行多少場比賽？解：任意兩隊(duì)間進(jìn)行1次主場比賽與 1 次客場比賽，對應(yīng)于從14個(gè)元素中任取2個(gè)元素的一個(gè)排列．因此，比賽的總場次是=1413=182. 例2．(課本例3)．(1）從5本不同的書中選 3 本送給 3 名同學(xué)，每人各 1 本，共有多少種不同的送法？ (2）從5種不同的書中買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？解：(1）從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，對應(yīng)于從5個(gè)不同元素中任取 3 個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是=543=60. (2）由于有5種不同的書，送給每個(gè)同學(xué)的1本書都有 5 種不同的選購方法，因此送給 3 名同學(xué)每人各 1 本書的不同方法種數(shù)是555=125. 例 8 中兩個(gè)問題的區(qū)別在于： ( 1 ）是從 5 本不同的書中選出 3 本分送 3 名同學(xué)，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的書可能相同，因此不符合使用排列數(shù)公式的條件，只能用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算．例3．(課本例4)．用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析：在本問題的。過程與方法：能運(yùn)用所學(xué)的排列知識，正確地解決的實(shí)際問題情感、態(tài)度與價(jià)值觀：能運(yùn)用所學(xué)的排列知識，正確地解決的實(shí)際問題.教學(xué)重點(diǎn)：排列、排列數(shù)的概念教學(xué)難點(diǎn)：排列數(shù)公式的推導(dǎo) 授課類型：新授課 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 第一課時(shí)一、復(fù)習(xí)引入： 1分類加法計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，……，在第n類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有 種不同的方法：做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，……，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有 種不同的方法 分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題,區(qū)別在于:分類加法計(jì)數(shù)原理針對的是“分類”問題,其中各種方法相互獨(dú)立,每一種方法只屬于某一類,用其中任何一種方法都可以做完這件事。從甲地到丁地有4條路可通, 從丁地到丙地有2條路可通。 ( 2 ）從書架的第 1 , 2 , 3 層各取 1 本書，可以分成3個(gè)步驟完成：第 1 步從第 1 層取 1 本計(jì)算機(jī)書，有 4 種方法；第 2 步從第 2 層取1本文藝書，有 3 種方法；第 3 步從第3層取1 本體育書，有 2 種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是=432=24 .（3）。 ( 2 ）從 A 村去 B 村的道路有 3 條，從 B 村去 C 村的道路有 2 條，從 A 村經(jīng) B 的路線有＿條．第二課時(shí)2 分步乘法計(jì)數(shù)原理（1）提出問題：用前6個(gè)大寫英文字母和1—9九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以,…，,…的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個(gè)不同的號碼？用列舉法可以列出所有可能的號碼： 我們還可以這樣來思考：由于前 6 個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與 9 個(gè)數(shù)字中的任何一個(gè)組成一個(gè)號碼，而且它們各不相同，因此共有 69 = 54 個(gè)不同的號碼．探究：你能說說這個(gè)問題的特征嗎？（2）發(fā)現(xiàn)新知分步乘法計(jì)數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法. 那么完成這件事共有