后繼函數(shù)與極限環(huán)的穩(wěn)定性(參考版)
2025-05-19 03:06本頁(yè)面
【正文】 而且有些時(shí)候，還可以判斷奇點(diǎn)的全局穩(wěn)定性. 就像例1，我們首先判斷出了系統(tǒng)僅有唯一的一個(gè)奇點(diǎn)，而且是不穩(wěn)定的，所以才有下述的結(jié)論，倘若我們計(jì)算出來(lái)的是系統(tǒng)僅有唯一的一個(gè)奇點(diǎn)，而且這個(gè)奇點(diǎn)是穩(wěn)定的，還可以證明其特征值數(shù)是小于零的，也就是如果系統(tǒng)存在極限環(huán)，則一定是穩(wěn)定的，從而與奇點(diǎn)穩(wěn)定產(chǎn)生矛盾，進(jìn)而說(shuō)明系統(tǒng)不存在極限環(huán)，所以這個(gè)奇點(diǎn)是全局穩(wěn)定的.。事實(shí)上，由這里是因?yàn)樵谏希?。由環(huán)域定理知，系統(tǒng)在環(huán)域至少存在一個(gè)閉軌線，顯然它是環(huán)繞單位圓周的。若不然，假設(shè)存在一個(gè)閉軌與單位圓周相交，如圖（3）所示 由于選取的函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)在單位圓周上的全導(dǎo)數(shù)大于零，所以系統(tǒng)軌線通過(guò)圓周的方向都應(yīng)該是指向圓周外側(cè)的，所以從上圖可以看出，其閉軌的軌線方向與圓周上軌線的方向矛盾，所以軌線與園周邊不想交. 另一方面，引入極坐標(biāo) ，則這里是因?yàn)?。? 證明如下系統(tǒng)在全平面存在唯一的閉軌線，并且它是雙曲的穩(wěn)定極限環(huán)，單位圓周位于所圍區(qū)域。如果還能證明這個(gè)唯一的奇點(diǎn)是穩(wěn)定的，離它最近的極限環(huán)必然是不穩(wěn)定的，也與特征值數(shù)矛盾，這就說(shuō)明了極限環(huán)的不存在性。例如，如果求得一個(gè)系統(tǒng)僅有一個(gè)奇點(diǎn)，而且還能估計(jì)出系統(tǒng)若存在一個(gè)極限環(huán)，則極限環(huán)的特征值
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