【正文】 歸納一下，晶體的宏觀對稱類型共計 11+11+7+2+1＝ 32 就是晶體的 32種點群。這是因為 這三種都包括在上面的推導(dǎo)中。 (3)加對稱中心，由于 偶次軸與對稱中心組合可產(chǎn)生反映面 ，所以只有對僅有奇次軸對稱性的軸型加對稱中心才得到新的組合： L1+C＝ C； L3＋ C＝ L3(L3C). (4)四次反軸情況。i ＝ m水平 綜上所述， 總存在一個水平反映面 , 這類前面已經(jīng)討論過 剩下 L33L2情況，我們注意到這時相鄰 2次軸間夾角為 60o，垂直于 2次軸的平面必平分另外兩個 2次軸的夾角，即： L33L2+Pd=L33L2+P_L2=L33L23PC 當(dāng)反映面穿過主軸和 2次軸時不產(chǎn)生新的對稱類型。（ P（ P b．穿過主軸，與 2次軸垂直或穿過 2次軸 在主軸是偶次軸時， P穿過 2次軸 L2，則 P 在幾個軸組合時，反映面只有兩種加法 :穿過主軸．平分相鄰二次軸間夾角；穿過主軸．垂直或穿過 2次軸 . a. 平分相鄰 2次軸間夾角（ diagonal) 這樣共得 : L439。在加反映面時必須不引起 11種以外新軸型的產(chǎn)生。這樣， 與點陣不矛盾的三種正多面體的軸的組合是允許的，但是立方體與正八面體軸的組合是一樣的，所以高次軸的組合僅兩種： ： 3L44L36L2， ： 3L24L3 綜上所述， 晶體所允許的旋轉(zhuǎn)軸的組合為： L1， L2 ， L3, L4， L6， L22L2 ， L33L2， L44L2， L66L2， 3L24L3 ， 3L44L36L2 ， 這些軸的組合共 11種，稱為對映對稱類型，因為光有旋轉(zhuǎn)軸而無反軸（包括 1次反軸即對稱中心和 2次反軸即反映面）的晶體和分子必有互成鏡像的對映體。 由圖可知，五種正多面體中，正三角二十面體和正五角十二面體有五次軸， 在晶體中不可能出現(xiàn) （但分子對稱性不受此限制，如 C60分子正好具有正三角二十面體的對稱性； 6L510L315L2。 這樣兩個高次軸相交必然產(chǎn)生凸正多面體。 在有幾個高次軸組合時，如 Ln和 Lm（ m,n2） ,高次軸 Ln和 Lm相交于 O點，則在 Ln周圍必能找到 n個 Lm，在每個 Lm上距 O點等距離的地方取一點，連接這些點一定會得到一個正 n邊形?；D(zhuǎn)角 2 β相應(yīng)地為 60o， 90o，120o， 180o， 360o。 每個 2次軸均可看作兩相互垂直的反映面的連續(xù)動作，把兩個反映面重合于兩個 L2決定的平面中，另兩個反映面將垂直于此平面（圖中紙面） 。因此推導(dǎo)從軸的組合開始是比較明了的方法 1．旋轉(zhuǎn)軸的組合。 晶體 32點群的推導(dǎo) 綜上所述， 晶體的宏觀對稱性允許有 L1， L2， L3, L4，L6， L4， m和 i。 正五邊形和正 n邊形 (n＞ 6)不能鋪滿平面，因而不能形成相應(yīng)的平面格子，換言之，點陣只允許 1, 2, 3， 4， 6次旋轉(zhuǎn)軸。 如果在點陣中出現(xiàn) n次旋轉(zhuǎn)軸，則在垂直于 Ln的平面點陣中便有正 n邊形格子的幾何形象 。 σh，因此群是 D5h。因而群是 D5d。 ，沒有 σh。 例 9．二茂鐵 A. 交錯構(gòu)型 ，如圖所示，但還有其它無關(guān)的對稱元素，因此群不是 S10。 C6軸和位于環(huán)平面內(nèi)的C2軸，因此群是 D6型的。軸之間穿過，因而點群是 D2d。 σh，因此排除了 D2h。找不到更高階的真軸， 但是在垂直于 S4C2軸的平面中還有兩個等價的 C2?軸。 但還有許多其他對稱元素，它們與S4軸無關(guān)， 因此我們進行步驟 4。 可以指出，這個分子不含有對稱中心或任何對稱面， 但它不是不對稱的 。 群是 C2h. 例 5 1,3,5,7四甲基環(huán)辛四烯 S4軸． 沒有附加的獨立對稱元素；一組甲基基團破壞了所有的垂直面和存在于 C8H8本身之內(nèi)的水平 C2軸。 4. C2軸仍然存在，而且沒有其他真軸。仍然沒有其他真軸。因而 群是 C2。但有兩個垂直面（它們位于 C2軸之間），因而 群是 D2d。 C=C=C軸方向的 C2軸為參考軸 ，我們來找 σh。還有兩個垂直于這個軸的 C2軸， 如圖所示。 ， 有一個位于沿 C=C=C軸方向的 C2軸。 最明顯的，可能是穿過 H2C=C=C和 C=C=CH2兩組原子的對稱面 。 例 （ C=C=C）的 S4軸 。 有三個垂直面，每個通過一個氫原子。 因為有兩個垂直面，其中之一是分子平面，所以它屬于 C2v群。 沒有其他 C2軸。 例 1. H2O 3. H2O不具有非真軸 。 對稱中心 i在正方體中心 σ h σ d z y x 正八面體 與 正方體的 對稱性完全相同 . 只要將 正八面體放入正方體 , 讓 正八面體的 6個頂點對準(zhǔn) 正方體的 6個面心 , 即可看出這一點 . 當(dāng)然 , 正八面體 與 正方體的 棱不是平行的 , 面也不是平行的 , 相互之間轉(zhuǎn)過一定角度 . 例如 , 正方體 體對角線方向的 S6 （其中含 C3）在 正八面體上穿過三角形的面心 . 處于坐標(biāo)平面上的鏡面是 σh . 這樣的鏡面共有 3個 (圖中只畫出一個 )。 這樣的方向共有 4個 (圖中只畫出一個 )。 Td 群 : 金剛烷 (隱氫圖 ) 沿著每一條 C3去看 , 看到的是這樣 : 沿著每一條 C2去看 , 看到的是這樣 : Td 群 (LiCH3)4 隱氫圖 Li CH3 Td 群 P4O10 P4O6 Oh 群 : 屬于該群的分子 ，對稱性與 正八面體或正方體 完全相同 . SF6 立方烷 下面從 正方體看 Oh群的 48個對稱操作： E 8C3 6C2 6C4 3C2（ =C42） i 6S4 8S6 3σh 6σd 穿過每兩個相對棱心有一條 C2 。 從正四面體上可以清楚地看出 Td 群的對稱性 . 也可以把它放進一個正方體中去看 . 不過要記?。耗阋^察的是正四面體的對稱性，而不是正方體的對稱性 ! Y X 在 Td群中 , 你可以找到一個四面體結(jié)構(gòu) . 打開 P4分子，對照以下講解自己進行操作： 從正四面體的每個頂點到對面的正三角形中點有一條 C3穿過 , 所以共有 4條 C3,可作出8個 C3對稱操作。 x y z 何其相似！ C2 C2 C2 三條 C2旋轉(zhuǎn)軸分別從每個 N–N鍵中心穿過通向 Co. Dnh : 在 Dn 基礎(chǔ)上，還有垂直于主軸的鏡面 σh . D2h 群 ： N2O4 D2h群： 乙烯 主軸垂直于熒光屏 . σh在熒光屏上 . D3h 群 ： 乙烷重疊型 D4h群： XeF4 D6h群： 苯 D?h群： I3 Dnd: 在 Dn基礎(chǔ)上 , 增加了 n個包含主軸且平分二次副軸夾角的鏡面 σd. D2d : 丙二烯 D2d : B2Cl4 D3d : 乙烷交錯型 D4d ：單質(zhì)硫 D5d : 交錯型二茂鐵 俯視圖 立方群： 包括 Td 、 Th 、 Oh 、 Ih 等 . 這類點群的共同特點是有多條高次 (大于二次 )旋轉(zhuǎn)軸相交 . Td 群： 屬于該群的分子 ，對稱性與 正四面體 完全相同 。 (3) 立方群 ：包括 Td 、 Th 、 Oh 、 Ih 等 。 分子點群 分子中全部對稱操作的集合構(gòu)成分子點群 (point groups ). 分子點群可以歸為四類 : (1) 單軸群 : 包括 Cn 、 Cnh 、 Cnv 。 若在主軸 Cn上附加有 n個 C2軸，它們位于垂直于 Cn軸的平面上， 分子屬于 Dn， Dnh和Dnd群之一， 若除了 Cn和 n個 C2之外沒有對稱元素，群是 Dn， 若還有 1個水平的對稱面，群是 Dnh。 可能沒有一個單一的高階軸而代替的是三個 C2軸 ，在這種情況下 ， 觀察其中是否有一個在某種意義上是幾何唯一的 ， 例如和唯一的分子軸共線 ． 這種情況發(fā)生在 丙二烯分子 （ 以后要講的例子 ） 。 若存在其他附加的操作，就要和 Dn， Dnh， Dnd型的群打交道， 屬于這些群的分子較少 ，分子屬于這些群之一的結(jié)論被接受之前應(yīng)進行徹底的核對。 若找到一個偶階非真軸（實際上只有 S4， S6和S8是常見的），但找不到對稱面， 或除了被非真軸自動要求在的一個或幾個共線的真軸以外找不到任何真軸， 群是 S4， S6和 S8… ， 一個 S4軸要求一個C2軸；一個 S6軸要求一個 C3軸；一個 S8軸要求 C4和C2軸。 所有的立方群 T， O, Th, O h, Td要求四個 C3軸， I, Ih則要求十個 C3軸和六個 C5軸， 這些多重的 C3和 C5是尋找的關(guān)鍵， 實際上只有建立在 中心四面體，八面體，立方八面體，立方體或二十面體 上的分子才合乎條件，而且它們的圖象通常是很顯著的。 實際上這是一種告訴我們“怎樣去做”的方法，這種方法和推導(dǎo)各種群所作論證之間的密切關(guān)系應(yīng)是明了的 , 下列諸步驟將系統(tǒng)地引出正確的分類。 十、分子對稱性的 系統(tǒng)分類法 對于任意分子完全而不重復(fù)的對稱操作集合組成一個數(shù)學(xué)群，并知道 :在實際分子中將會遇到的各種群或群的類型。 最后還有一個稱為 Th的群 ， 把包含一對 C2軸的一組平面 σ h(與平面 σ d相反 ， 它包含一個 C2軸并二等分一對 C2軸 。 ? Oh群有一個 24階的純轉(zhuǎn)動子群 O。 ? Td群有一個 12階的純轉(zhuǎn)動子群 T。 ?有 15個 C2軸，它們在每種情況下等分相對的棱邊； ?有 15個鏡面； ?總共有 120個操作，它們組成了下列的類： E， 12 C5 ， 12 C5 2， 20 C3 ， 15 C2 , i， 12 S10， 12 S10 3， 20 S6， 15σ；由它們組成的群稱為 Ih群 。 其對稱元素和操作如下。 ?最后我們轉(zhuǎn)到 五邊形的十二面體和二十面體 ． 這兩種多面體具有相同的對稱性。 為什么稱為 σh? 通過觀察將證明，立方體恰好具有與八面體相同的對稱操作集合；它也屬于點群 Oh，值得指出， 立方體和八面體是非常緊密地聯(lián)系著的。 (Ⅸ )六個對稱面 ，它們通過兩個頂點并平分相對的棱邊，其中每個生成一個操作 σd。 (Ⅶ )一個反演中心 ，它生成一個操作 i，這個操作也被每個 S6軸生成。操作。 (Ⅳ )六個平分相對棱邊的 C239。 八面體具有下列對稱元素和操作： (Ⅰ )三個 S4軸 ，每個通過一對相對的頂點．每個生成操作 S4, C2,S43 (Ⅱ )三個與 S4共線的 C2, 所生成的 C2軸，所生成的操作已在 (Ⅰ )中計算了。4個 C32。3個 C2。3個 S4。 (Ⅳ )六個對稱面 , 其中每個生成一個對稱操作。 (Ⅱ ) 與 x， y和 z軸重合的三個 C2軸 ，其中每個都生成一個C2操作 , 但這些操作已被 S4所生成。 檢查四面體發(fā)現(xiàn)如下對稱元素和操作。 因此，顯然這五種柏拉圖體是僅有可能的多面體 。這僅有的五邊形連接復(fù)制產(chǎn)生一個十二面體。 )，因為四個或四個以上的五邊形不能適當(dāng)?shù)睾显谝黄?4 108 ＝ 432。 用正五邊形 (內(nèi)角 108o)組成多面體只有一種可能性，即三個五邊形相遇于一個公共角頂 (3 108 。 對于下一個更高的正多邊形，即 正方形 ，只有一種可能性，即 三個正方形具有一個公共角頂，由此產(chǎn)生一個立方體 。這種排列是平面形，因而不能形成正多面體的一部分。 ＝ 360。 3．五個三角形共用一個公共角頂。 利用等邊三角形，我們有如下的可能性： 1．三個三角形共用一個公共角頂。 為了構(gòu)成一個多面體、三個或三個以上所要求的表面必須相遇于一點。