【正文】 1 , ( ) 0 .( ) ( 0 , 1 ) , ( 1 , ) .x g x x g xgx ??? ? ? ? ???當(dāng) 時 當(dāng) 時所 以 在 單 調(diào) 增 加 在 單 調(diào) 減 少 而 ( 1 ) 0 , 0 , ( ) 0 , ( ) 2 x g。 ⑵ ( 1 ) ( ) 2 2 3 0xxf x f x a b? ? ? ? ? ? ? 當(dāng) 0, 0ab??時， 3()22x ab??，則 ( )2ax b??； 當(dāng) 0, 0ab??時， 3()22x ab??，則 ( )2ax b??。 21 ．解： ⑴ 當(dāng) 0, 0ab??時，任意 1 2 1 2,x x R x x??，則1 2 1 212( ) ( ) ( 2 2 ) ( 3 3 )x x x xf x f x a b? ? ? ? ? ∵ 1 2 1 22 2 , 0 ( 2 2 ) 0x x x xaa? ? ? ? ?， 1 2 1 23 3 , 0 ( 3 3 ) 0x x x xbb? ? ? ? ?， ∴ 12( ) ( ) 0f x f x??，函數(shù) ()fx在 R 上是增函數(shù)。0)(1 1,0)( 2 ??? xhxxh 可得 從而當(dāng) .1ln)(,01ln)(,1,0 ??????? x xxfx xxfxx 即且 （上海文） 21．（ 14 分）已知函數(shù) ( ) 2 3xxf x a b? ? ? ?，其中常數(shù) ,ab滿足 0ab? 。(1) ,2ff???? ????即 1, 1,22ba b???? ? ???? 解得 1a? ， 1b? ． （ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）知 ln 1f ( )1xx xx???，所以 )1ln2(1 11ln)(22 xxxxx xxf ?????? 考慮函數(shù) ( ) 2lnh x x??xx 12? ( 0)x? ，則 2020 年高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編（共十七部分） 22222 )1()1(22)(xxx xxxxh ???????? 所以當(dāng) 1?x 時， ,0)1(,0)( ??? hxh 而 故 當(dāng) )1,0(?x 時， 。 當(dāng) 21a?? ? 時，解不等式 2 51 2 1 3 2 1 .2a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?得 綜合（ i）（ ii）得 a 的取值范圍是 5( , 2 1).2? ? ? …………12 分 （全國新課標(biāo)文） （ 21）（本小題滿分 12 分） 已知函數(shù) ln()1a x bfx xx???，曲線 ()y f x? 在點 (1, (1))f 處的切線方程為2 3 0xy? ? ? ． （ I）求 a， b 的值； （ II）證明：當(dāng) x0，且 1x? 時， ln()1xfx x? ?． （ 21）解： （ Ⅰ ）221( ln )39。( ) 0 2 1 2 x x ax a? ? ? ? ?得 2020 年高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編（共十七部分） （ i）當(dāng) 2 1 2 1 , ( )a f x? ? ? ? ? 時沒有極小值； （ ii）當(dāng) 2 1 2 1 , 39。( ) 3 6 3 6 .f x x ax a? ? ? ? …………2 分 由 ( 0) 12 4 , 39。 于是當(dāng) 0m? 時，對任意的 12[ , ] , ( ) ( ) ( 1 )x x x f x g x m x? ? ? ?恒成立， 綜上， m 的取值范圍是 1( ,0).4? （全國大綱文） 21．（本小題滿分 l2 分）（注意： 在試題卷上作答無效． ． ． ． ． ． ． ． ． ） 已知函數(shù) ? ?32( ) 3 ( 3 6 ) 1 2 4f x x a x a x a a R? ? ? ? ? ? ? （ I）證明：曲線 ( ) 0y f x x??在 處的切線過點（ 2， 2）； （ II）若 0()f x x x?在 處取得極小值， 0 (1,3)x ? ，求 a 的取值范圍。 20．本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識，同時考 查綜合運用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理論證的能力，以及函數(shù)與方程和特殊與一般的思想，（滿分 13 分） 解：（ Ⅰ ） 2( ) 3 4 , ( ) 2 3 .f x x a x b g x x??? ? ? ? ? 由于曲線 ( ) ( )y f x y g x??與 在點（ 2， 0）處有相同的切線， 故有 ( 2) ( 2) 0 , ( 2) ( 2) g f g??? ? ? ? 2020 年高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編（共十七部分） 由此得 8 8 2 0 , 2 ,1 2 8 1 , 5 .a b a aa b b? ? ? ? ? ?????? ? ? ???解 得 所以 2, 5ab?? ? ，切線 l 的方程為 20xy? ? ? （ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）得 32( ) 4 5 2f x x x x? ? ? ?，所以 32( ) ( ) 3 2 .f x g x x x x? ? ? ? 依題意，方程 2( 3 2 ) 0x x x m? ? ? ?有三個互不相同的實數(shù) 120, ,xx， 故 12,xx是方程 2 3 2 0x x m? ? ? ?的兩相異的實根。 （湖北文） 20．（本小題滿分 13 分） 設(shè)函數(shù)32( ) 2f x x ax bx a? ? ? ?，2( ) 3 2gx x? ? ?，其中xR?， a、 b 為常數(shù)，已知曲線()y f?與y g在點（ 2,0）處有相同的切線 l。 所以，當(dāng) 100 , ( )x f x? 時 在區(qū)間 [20， 200]上取得最大值 10000.3 綜上，當(dāng) 100x? 時， ()fx在區(qū)間 [0， 200]上取得最大值 10000 33333 ?。 19．本小題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識，同時考查運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。 （ I）當(dāng)0 200x??時，求函數(shù) v（ x）的表達(dá)式； （ II）當(dāng)車流密度 x 為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛 /小時）( ) ( )f xvx??可以達(dá)到最大，并求出最大值。 綜上，當(dāng) a=1 時，存在最小的實數(shù) m=1，最大的實數(shù) M=2，使得對每一個 [ , ]t mM? ，直線 y=t 與曲線 1( )( [ , ])y f x x ee??都有公共點。 據(jù)經(jīng)可得，若 1,2mM??? ??，則對每一個 [ , ]t mM? ，直線 y=t 與曲線 1( )( [ , ])y f x x ee??都有公 共點。()fx 0 + ()fx 22 e? 單調(diào)遞減 極小值 1 單調(diào)遞增 2 又 212 2 , 39。( ) l n .f x x x x f x x? ? ? ? ? 由（ II）可得，當(dāng) x 在區(qū)間 1( , )ee內(nèi)變化時， 39。( ) 0 f x x f x x? ? ? ? ? ?時 由 得 由 得 2020 年高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編（共十七部分） 綜上，當(dāng) 0a? 時，函數(shù) ()fx的單調(diào) 遞增區(qū)間為 (1, )?? ， 單調(diào)遞減區(qū)間為（ 0， 1）； 當(dāng) 0a? 時，函數(shù) ()fx的單調(diào)遞增區(qū)間為（ 0， 1）， 單調(diào)遞減區(qū)間為 (1, )?? 。 （ 2）當(dāng) 0 , 39。(x)0 得 x1, 由 f39。 解：（ I）由 ( ) 2 2,f e b??得 （ II）由（ I）可得 ( ) 2 ln .f x ax ax x? ? ? ? 從而 39。 （ I）求實數(shù) b 的值； （ II）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ III）當(dāng) a=1 時，是否同時存在實數(shù) m 和 M（ mM），使得對每一個 t∈ [m， M]，直線y=t 與曲線 y=f（ x）（ x∈ [1e， e]）都有公共點？若存在，求出最小的實數(shù) m 和最大的實數(shù) M；若不存在，說明理由。 令 39。y?2160 16 rr ? ???+8cr? = 328 [( 2) 20]crr? ??,所以令 39。 當(dāng) x ∈ （ 1， +∞）時， ()gx? ＞ 0， ()gx 是增函數(shù)，故（ 1， +∞）是 ()gx 的單調(diào)遞增區(qū)間， 因此， x =1 是 ()gx 的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點， 所以 ()gx 的最小值為 (1) ? (2) 1( ) lng x xx ? ? ? 設(shè) 11( ) ( ) ( ) l nh x g x g x xxx? ? ? ? ?，則 22( 1)() xhx x?? ??， 當(dāng) 1x? 時， (1) 0h ? ，即 1( ) ( )g x gx?， 當(dāng) (0,1) (1, )x ? ? ??時， ( ) 0hx? ? ， 因此， ()hx 在 (0, )?? 內(nèi)單調(diào)遞減， 當(dāng) 01x??時， ( ) (1) 0h x h?? 即 1( ) ( ).g x gx? （ 3）由（ 1）知 ()gx 的最小值為 1，所以， 1( ) ( )g a g x a??，對任意 0x? ，成立 1( ) 1 ,ga a? ? ? 即 1,Ina? 從而得 0 ae??。 , ,nnP Q P Q P Q記 kP 點的坐標(biāo)為( , 0) ( 1, 2,..., )kx k n? . （ Ⅰ ）試求 1x 與 1kx? 的關(guān)系 (2 )kn?? （ Ⅱ ）求 1 1 2 2 3 3 ... nnP Q P Q P Q P Q? ? ? ?． 【分析】（ 1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求切線方程，然后再求切線與 x 軸的交點坐標(biāo)；（ 2）嘗試求出通項 ||nnPQ 的表達(dá)式，然后再求和． 【解】（ Ⅰ ）設(shè) 11( ,0)kkPx?? ，由 xye?? 得 111( , )kxkkQ x e ??? 點處切線方程為 11 1()kkxx ky e e x x?? ?? ? ? 由 0y? 得 1 1( 2 )kkx x k n?? ? ? ?。 （四川文） 22．（本小題共 l4 分） 已知 函數(shù) 21()32f x x??， ()h x x? ． （ Ⅰ ）設(shè)函數(shù) F(x)＝ 18f(x)－ x2[h(x)]2，求 F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值； （ Ⅱ ）設(shè) a?R ，解關(guān)于 x 的方程 33l g [ ( 1 ) ] 2 l g ( ) 2 l g ( 4 )24f x h a x h x? ? ? ? ? ?； （ Ⅲ ）設(shè) *n?N ，證明： 1( ) ( ) [ (1 ) ( 2 ) ( ) ]6f n h n h h h n? ? ? ? ?． 本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明、解方程等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法及推理運算、分析問題、解決問題的能力． 解 ：（ Ⅰ ） 2 2 3( ) 18 ( ) [ ( ) ] 12 9( 0)F x f x x h x x x x? ? ? ? ? ? ?， 2( ) 3 12F x x?? ? ? ?． 令 ( ) 0Fx???，得 2x? （ 2x?? 舍去）． 當(dāng) (0,2)x? 時． ( ) 0Fx? ? ；當(dāng) (2, )x? ?? 時， ( ) 0Fx? ? ， 故當(dāng) [0,2)x? 時， ()Fx為增函數(shù)；當(dāng) [2, )x? ?? 時， ()Fx為減函數(shù)． 2x? 為 ()Fx的極大值點，且 (2 ) 8 2 4 9 2 5F ? ? ? ? ?． 2020 年高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編（共十七部分） （ Ⅱ ）方法一：原方程可化為4 2 233l o g [ ( 1 ) ] l o g ( ) l o g ( 4 )24f x h a x h x? ? ? ? ? ?， 即為4 2 2 2l o g ( 1 ) l o g l o g 4 l o g 4axx a x x x?? ? ? ? ? ? ?，且 ,1 4,xax??? ??? ① 當(dāng) 14a??時， 1 xa?? ，則 14axx x????，即 2 6 4 0x x a? ? ? ?， 36 4( 4) 20 4 0aa? ? ? ? ? ? ?，此時 6 2 0 4 352 axa??? ? ? ?， ∵ 1 xa?? ， 此時方程僅有一解 35xa? ? ? ． ② 當(dāng) 4a? 時， 14x?? ，由 14axx x????，得 2 6 4 0x x a? ? ? ? ，36 4( 4) 20 4aa? ? ? ? ? ?， 若 45a??，則 0?? ，方程有兩解 35xa? ? ? ； 若 5a? 時，則 0?? ，方程有一解 3x? ； 若 1a? 或 5a? ，原方程無解． 方法二：原方程可化為 4 2 2l og ( 1 ) l og ( 4 ) l og ( )x h x h a x? ? ? ? ?， 即2 2 21 l o g ( 1 ) l o g 4 l o g2 x x a x? ? ? ? ?，1 0 ,4 0