【正文】 求：一、二層樓 面的位移幅值、慣性力幅值及柱底截面彎矩值。 （ 2）荷載、位移、慣性力同步 137 多自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng) 例題 解 k k k??11 1 2(1)求剛度系數(shù) k k k? ? ?2 1 1 2 2kk?22 2EI1=∞ m1 EI1=∞ m2 k1 k2 sin?Ft(2)求位移幅值 試求圖示體系的動(dòng)位移幅值。 a 振動(dòng)方程 只有 動(dòng)荷載 P2FPF1P2?FP?F11 k12 k22 質(zhì)體 2 單位位移 ?y21 k11 k21 質(zhì)體 1 單位位移 ?y1my22my11只有 慣性力 22my11my136 多自由度體系振型的正交性和振型矩陣 若荷載為簡(jiǎn)諧荷載，即 F F tF F tP 1 1P 2 2sinsin????則穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的解為 y Y ty Y t1122sinsin????? ?? ?k m Y k Y Fk Y k m Y F211 1 1 12 2 1221 1 22 2 2 2??? ? ?? ? ?代入振動(dòng)方程，得 位移幅值為 DDYY121200??k m FDkF21 1 1 122 1 2???k m kDk k m21 1 1 1 20 22 1 2 2 2?????FkDF k m1 1 21 22 2 2 2?? ?136 多自由度體系振型的正交性和振型矩陣 位移幅值為 DDYY121200?? k m kDk k m21 1 1 1 20 22 1 2 2 2?????0????若 k m kDk k m21 1 1 1 20 22 1 2 2 2?????則 ★ n個(gè)自由度體系有 n個(gè)共振區(qū) 頻率方程 （ 1）共振問題 136 多自由度體系振型的正交性和振型矩陣 FFFtF tP 1 1P 2 2sinsin????荷載 ? ?? ?y t YyttY t1122sinsin????位移 tm y mm y m tYY21 1 1 122 2 2 2s ins in????????慣性力 ★ 荷載、位移、慣性力同時(shí)達(dá)到幅值。 試求圖示體系的頻率和振型， m1 k k k??11 1 2解 (1)求剛度系數(shù) k k k? ? ?2 1 1 2 2m2 m3 k1 k2 k3 k k k??22 2 3 kk?33 3? ? ?3 2 2 3 3k k k??31 13 0kk1 k21 k11 k31 1 k12 k22 k32 1 k13 k23 k33 135 多自由度體系的自由振動(dòng) (2)形成剛度矩陣和質(zhì)量矩陣 ? ?k k kkK k k kk k k?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?11 12 1321 22 2331 32 3320 5 05 8 3150 3 3? ?mM m mm? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1230 0 2 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1? ? ? ? kKM??????? ? ? ? ???220 2 5 05 8 3150 3 3mk???215135 多自由度體系的自由振動(dòng) 解得 . , . , .? ? ?? ? ?1 2 31 2 9 3 6 6 8 0 1 3 0 2 7. , . , .k k km m m? ? ????1 2 30 2 9 3 6 0 6 6 7 3 0 9 3 1將 ω=ω 1代入振型方程 ,得 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?K M Y??? 121 0(2)求振型 ...YkYY?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?11213117 41 4 5 0 05 6 70 7 3 0150 3 1 70 7 0展開 135 多自由度體系的自由振動(dòng) 令 Y31=1，解得 同理，可求得第二、第三振型 ? ? ? ? ? ?TT() ..? ? ? ?2 1 2 2 2 3 2 0 9 2 4 1 2 2 7 1Y Y Y Y? ? ? ? ? ?TT() ..? ? ?3 1 3 2 3 3 3 2 7 6 0 3 3 4 2 1Y Y Y Y? ? ? ? ? ?TT() ..??1 1 1 2 1 3 1 0 1 6 3 0 5 6 9 1Y Y Y Y135 多自由度體系的自由振動(dòng) 1 第一振型 1 第二振型 1 第三振型 135 多自由度體系的自由振動(dòng) 2柔度法 a 振動(dòng)方程 在慣性力的作用下，質(zhì)體的位移等于實(shí)際動(dòng)位移。 , , , n? ? ?12135 多自由度體系的自由振動(dòng) 將 ω=ωi代入振型方程，得 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?()???2 0iiK M Yn個(gè)方程不獨(dú)立，一般令 其中一個(gè)元素為 1，得到振型向量的其它元素。 ω 2:第二頻率 。 135 多自由度體系的自由振動(dòng) 1剛度法 —— 兩個(gè)自由度 y1y222my11myFR1(t)≡0 FR2(t)≡0 1 k12 k22 質(zhì)體 2 單位位移 y?21 k11 k21 質(zhì)體 1 單位位移 y?1my22my11只有 慣性力 22my11my002221212221211111??????ykykymykykym???? 在慣性力和質(zhì)點(diǎn)位移的作用下，附加約束上的反力為零。 動(dòng)荷載 動(dòng)位移 彈性力 阻尼力 慣性力 2sinsinsinc ossin?????????Ftatka tc a tm a t ★ 動(dòng)荷載與慣性力平衡。 ★ 與慣性力相比 ,彈性力與阻尼 力很小 。 ★ 動(dòng)荷載與阻尼力平衡。 動(dòng)荷載的作用相當(dāng)于靜載 ★ 動(dòng)荷載振動(dòng)很慢 。 ★ 最大位移處，動(dòng)荷載與彈性 力平衡 。 134 阻尼對(duì)振動(dòng)的影響 2222221( 1 ) 4??? ??????2210 ?????? ??? 得dd ★ β的最大值并不發(fā)生在 ?/? =1處 。 ? ?大、 ??小 。 ★ ?/? 1時(shí)， ?? 0， 做極微小的振動(dòng)，動(dòng)位移 ? 0 。 試求：質(zhì)體的質(zhì)量 、 對(duì)數(shù)衰減率 、 阻尼比 。突然釋放 。 解 （ 1）質(zhì)體振幅 2IF m A??? ?4 2 342 16 1 4 81 MlA mEI lE I? ??????l/2 sinMt?M 圖 1 l/4 PM圖 M M 42I 41 6 1 4 8MF m Al???? ? ? ?靜位移 動(dòng)力系數(shù) 133 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng) （ 2）兩端的轉(zhuǎn)角位移振幅 2I441 7 7 6 8116 833 4Rl l lF M ME I E I E I ?????? ? ?42 4I1 3 8 411 6 6 86 4Ll l lF M ME I E I E I ?????? ? ?IFMl/2 l/2 動(dòng)力系數(shù) ★ 力不作用在質(zhì)點(diǎn)上時(shí)，體系沒有統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù) 133 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng) 2 一般動(dòng)荷載： 將動(dòng)荷載分成一系列瞬時(shí)沖量 ? ? ? ? ? ? ? ?0P dd ( ) s in s invFy t t tm? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?P0 dFv m??? ?（ 1）在 τ時(shí)刻瞬時(shí)沖量 ? ? ? ?P dSF? ? ? ??的作用下質(zhì)體獲得速度 （ 2）質(zhì)體以這個(gè)速度作為初速度 ,開始 作自由振動(dòng) t時(shí)刻的動(dòng)位移為 ? ? ? ?P01( ) si n dty t F tm ? ? ? ?????（ 3）將時(shí)刻 t之前的每一個(gè)瞬時(shí)沖量的反應(yīng)進(jìn)行疊加 d??t? ?PFttt ??133 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng) ? ?0000P 0001c os si n ( ) si ntyvvy y t t F t dm? ? ? ? ? ?????? ? ? ??若則? ? ? ?P01( ) si n dty t F tm ? ? ? ?????零初始條件下，單自由度體系在任意荷載下的動(dòng)位移公式 杜哈梅積分 (Duhamel) （ 1）突加荷載 FP(t) FP0 t P02 ( 1 c o s ) ( 1 c o s )stFy t y tm ???? ? ? ?m a x[ ( ) ] 2styty? ??133 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng) （ 2）短時(shí)荷載 FP(t) FP0 t u ? ?stst( 1 c os ) 02 sin sin ( )22?? ?? ? ????? ? ? ???y t t uyt uuy t t u? ?2 s in 1 22 1 2u T u TuT?? ????? ???（ 3）線性漸增荷載 FP(t) FP0 t tr ? ?st rrst r rr1 si n11 si n si nty t t ttyy t t t t tt?????? ??????????? ????? ? ? ???????????133 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng) ★ 1 ? 2； ★ 如果升載時(shí)間很短 ( tr T/4)， ? 接近 2， 相當(dāng)于突加荷載； ★ 如果升載時(shí)間很長(zhǎng) ( tr 4T)， ? 接近 1， 相當(dāng)于靜荷載。 2???解 （ 1）質(zhì)體振幅 22I / 4 4F m A m A A? ? ?? ? ?343A a F E I? I 45F A F???（ 2）動(dòng)彎矩幅值圖 IPM M F M??F/5 Fa/5 F11Fa/10 M圖 133 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng) m l/2 I s tA F y???348lEI? ?2st 16MlyEI?已知 :EI=常數(shù)。 在挑梁上有一電動(dòng)機(jī)，擾力 ? ?P sin ??F t F t1m 解 （ 1）自振圓頻率 3 3l E I? ?4 8 1 5 7 2 1 2 3 1 6 0 5 2 4 4 1 6 2 .6 /k m s? ? ? ? ?? ?43 86 101 3 3 2 . 1 1 0 9 . 8 7 8 / 14815721Nm0k E I l? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??133 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng) 240 16 40 04013116 05 24 / 412? ? ?????st54 .9 2 4 .0 14 8 1 5 7 2 2 4 0 7 8 69 .9 7 1 09 .8m0 .0 1 cmFyk??? ? ????22211164001140131 3??????????2 60 40 / sn? ? ???（ 2）頻率比 （ 3）靜位移和動(dòng)力系數(shù) st 22324. 01 116400240786140131240 786 984 00 9 10 c mAy ????? ? ? ????? ? ?（ 4）梁端最大動(dòng)位移 133 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng) （ 5）固定端最大動(dòng)彎矩 2st 24