【正文】 同樣 , f/xi也 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 【 例 】 測得兩孔中心距坐標(biāo)尺寸為 mmyymmxx yx 0 0 9 ,0 0 2 ???????? ?? 計(jì)算中心距 z )( 22 yxz ??解 中心距 z可以表示為 22 yxzzz x???? ?因?yàn)? 所以 mmyxz 2222 ?????第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 mmzmmzyzxyzxzyxyxyxx662222222222222222?????????????????????????????????????????????????????????????。 lRd 24 ???? （ ） )(), .. .,( 21 in xfxxxfy ??（ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 1． 間接測量的絕對誤差 令 Δxi為 xi的誤差 ,Δy為 y的誤差 ,則 y+Δy=f(x1+Δx1, x2+Δx2, …, xn+Δxn) （ ） 將上式右側(cè)按泰勒 （ Taylor） 級數(shù)展開得 ), . . .,(. . .), . . .,(21221121nnnnxxxxxyxxyxxyxxxfyy????????????????????（ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 略去高次項(xiàng) ,就能夠得到間接測量的絕對誤差 : 或者對式 （ ） 取全微分： ini innxxyxxyxxyxxyy???????????????????? 12211. . .（ . 90） nnxxyxxyxxydy ????????????? ...2211（ . 91） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 若已知各個(gè)直接測量值的誤差為 Δxi,由于這些誤差值都比較小 ,可以用各直接測量量 xi的誤差 Δxidxi,也可得到間接測量的絕對誤差 : ???????????????????? niiinnxxyxxyxxyxxyy12211. . .（ . 92） 上式也稱為函數(shù)系統(tǒng)誤差傳遞公式 ,式中 , (i=1, 2, …, n) ixy??第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 2． 間接測量的相對誤差 利用間接測量的絕對誤差的計(jì)算公式可得間接測量的相對誤差： 3． 間接測量的標(biāo)準(zhǔn)差 標(biāo)準(zhǔn)差是隨機(jī)誤差常用的一種誤差表示方法 ,設(shè)y=f(xi)中的 xi只含有隨機(jī)誤差 ,并分別對各直接測量量 xi進(jìn)行 m次等精度測量 ,結(jié)果有 yxxyyy ini i?????? ?? 1（ . 93） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 ),...,(),...,(),...,(21222122121111nmmmmnnxxxfyxxxfyxxxfy????（ ） 令 Δxik為 xik的誤差 , Δyk為 yk的誤差 ,則對于第 k次測 yk+Δyk =f(x1 k+Δx1 k, x2k+Δx2k, …, xnk+Δxnk) （ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 將上式的右側(cè)按泰勒級數(shù)展開并略去高次項(xiàng) ,可得 ????????????????????niikinknkkk xxyxxyxxyxxyy12211. . .（ ） 將式（ ）兩邊取平方 ,得 ? ?? ? ???????????????????????????????????????njijkikiiniikinknkkkxxxfxfxxyxxyxxyxxyy112222112)(2). . .(（ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 然后將 m次測量結(jié)果相加 ,有 將上式各項(xiàng)除以 m,得 ? ? ? ?? ????? ??????????????????????????????? mkjkikinjijkikiimkniikinik xxxfxxxfxfxxfy1 1112212 ))(2（ ） ? ?????? ?? ???????????????????????????????????????????????????????????? ?? ????)(2)(1))(21)(1111 1221 1112212mxxxfxfxmxfxxxfxxxfxfmxxfmymjkikmkjinjinimkikimkjkikinjijkikiimkniikimkk（ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的定義 ,有 ????????mkkixmkkyxmymi1212)(1)(1?? （ ） （ ） 代入式（ ） ,得 )(2 112122mxxxfxfxf jkikmkjinjixni iy i?????????????????????? ??????（ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 當(dāng) n足夠大時(shí) , 就是隨機(jī)變量 xi和 xj的協(xié)方差 。 由此可見 ,間接測量就是根據(jù)一些直接測量的結(jié)果按一定的關(guān)系式去求得被測量的量 ,因此間接測量量是直接測量量的函數(shù) 。例如在測量導(dǎo)線電阻率 ρ時(shí) ,通常是先測量導(dǎo)線的電阻 R、 導(dǎo)線的長度 l和導(dǎo)線的直徑 d,然后按電阻率的計(jì)算公式 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 將電阻率 ρ計(jì)算出來 。 粗大誤差在 。 出現(xiàn)這類誤差的原因主要是工作人員的失誤 、 計(jì)量儀器設(shè)備的故障以及影響量超出規(guī)定的范圍等 ?？偟膩碚f ,估計(jì)值 并不精密 ,因此 ,用貝賽爾公式求出的標(biāo)準(zhǔn)偏差的有效數(shù)字最多取兩位 ,如果其首位為 8或 9,有效數(shù)字取 1位即可 。這是因?yàn)?n大 ,σσ小 ,說明估計(jì)值 密集在標(biāo)準(zhǔn)偏差周圍的比較多 。 我們同樣可以用估計(jì)量 的標(biāo)準(zhǔn)偏差 σσ來表征估計(jì)量 的精密度 , 即 或者 ????????n2??? ?（ ） ? ?12 ?? n???（ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 當(dāng) n=8時(shí) , 當(dāng) n=100時(shí) , ?????????1412412????n 由上述計(jì)算可以得出兩個(gè)結(jié)論： 當(dāng)測量次數(shù) n有限 ,并用貝賽爾公式對標(biāo)準(zhǔn)偏差進(jìn)行估計(jì)時(shí) ,其估計(jì)量 本身也是一個(gè)隨機(jī)變量 。 同時(shí)也說明 , 要提高測量結(jié)果 的精密度 ,不能單靠無限地增加計(jì)量次數(shù) ,而應(yīng)在增加計(jì)量次數(shù)的同時(shí) ,減小標(biāo)準(zhǔn)偏差 σ,也就是說要改善計(jì)量方法 ,采用精度較高的儀器 。 隨計(jì)量次數(shù) n的增加而減小 ,并且開始較快 ,逐漸變慢 ,當(dāng) n等于 5時(shí) ,曲線變化已比較緩慢 ,當(dāng) n大于 10的時(shí)候 ,變化得更慢 。 ?????niix vnnn12)1(1?? （ ） n/1n/1xnx第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 計(jì)量平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 與計(jì)量次數(shù) n之間的關(guān)系曲線如圖 。 在 n次測量的等精度測量列中 ,算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為單次測量標(biāo)準(zhǔn)差的 倍 。 根據(jù)概率論原理可知 ,正態(tài)分布和的分布仍為正態(tài)分布 ,且其方差為各正態(tài)分布的方差和 。 這種分散性說明了算術(shù)平均值的不可靠性 ,分散性的參數(shù) ,可以作為算術(shù)平均值精度的評定標(biāo)準(zhǔn) 。 ??x?第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 如果在相同條件下對同一量值作多組重復(fù)的等精度測量 ,則每組測量列都有一個(gè)算術(shù)平均值 。 (1) 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 σ。 標(biāo)準(zhǔn)偏差 σ的無偏估計(jì)是 2?S2?S????????????? ?????22121?nnn? （ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 令 )2()21(21nnnk??????則 ?? ? ?? k??（ ） 根據(jù)貝塞爾公式求得的 ,乘以修正系數(shù) kσ,即可對其有偏性進(jìn)行修正 。 盡管樣本方差 是標(biāo)準(zhǔn)偏差平方 σ2的無偏估計(jì) ,即E( )=σ2,但是樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差 Sσ不是標(biāo)準(zhǔn)偏差 σ的無偏估計(jì) ,因?yàn)?E(Sσ)≠σ。 (3) 用貝塞爾公式計(jì)算 。 的估計(jì)公式為 ???kii kRR1/ ??kmdR,? ??（ 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 (2) 標(biāo)準(zhǔn)偏差的極大似然估計(jì) 。 所以 ,當(dāng) n10時(shí) ,為了提高用極差估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差的精度 ， 應(yīng)該采用分組處理方法 。 這種估計(jì)方法因?yàn)橛鞋F(xiàn)成數(shù)據(jù)表 (見表 ) 可查 ,因此十分簡單 。用 表示標(biāo)準(zhǔn)偏差 σ的估計(jì)值 。 對同一測量列若按大小數(shù)值 （ 取相同計(jì)量單位 ） 進(jìn)行排列 ,則有 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 δlimσθρ （ ） 相應(yīng)的置信概率為 %68%%50% （ ） 對于不同測量列 ,比較其精度時(shí) ,應(yīng)取相同置信概率所對應(yīng)的精度參數(shù) （ 例如取標(biāo)準(zhǔn)偏差 ） 進(jìn)行比較 ,數(shù)值大的精度低 ,數(shù)值小的精度高 。 記作 R=|xmaxxmin|（ ） 顯然 ,極差只用到了兩個(gè)數(shù)據(jù) ,大多數(shù)的中間信息沒有利用 ,而且沒有反映計(jì)量次數(shù)的影響 ,體現(xiàn)不了誤差的隨機(jī)性及其概率 。 嚴(yán)格地講 ,最大絕對誤差 U應(yīng)當(dāng)與極限誤差 δlim有所區(qū)別 ,因?yàn)樽畲蠼^對誤差的定義符號 sup是絕對不會(huì)超過的意思 ,而極限誤差 δlim的 3σ定義說明測量誤差還有可能超過 δlim,只是概率很小 。 在自然科學(xué)的不少領(lǐng)域的科學(xué)研究中 ,用或然誤差來表示隨機(jī)誤差也比較普遍 ,這主要是因?yàn)樗闹眯鸥怕实臄?shù)值比較圓整 、 直觀 。 因此 ,與或然誤差 177。如果考慮測量誤差的正負(fù)號 ,或然誤差 ρ同樣可以把帶有正誤差的測得值及帶有負(fù)誤差的測得值 ,按測量誤差大小被 +ρ和 ρ等分 ,即 ????????????21)(21)(dfP（ ） （ ） 第 3章