【正文】 殘余誤差校核法 ① 用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差：。若殘余誤差有如圖 2－ 16d 所示的變化規(guī)律，則應懷疑 同時存在線性系統(tǒng)誤差和周期性 系統(tǒng)誤差。 若殘余誤差數(shù)值有規(guī)律地遞增或 遞減，且在測量開始與結束時誤 差符號相反，則存在線性系統(tǒng)誤 差（圖 2－ 16b）。 以測量先后的順序號 i為橫坐標，殘差值為縱坐標，畫出殘差散點圖，根據(jù)參差散點圖可以判斷有無系統(tǒng)誤差。 第二 節(jié) 系 統(tǒng)誤 差 （一）測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法 實驗對比法：實驗對比法是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進行不同條件的測量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，這種方法適用于發(fā)現(xiàn)不變的系統(tǒng)誤差。 由于它在數(shù)據(jù)處理中只影響算術平均值，而不影響殘差及標準差，所以除了要設法找出該恒定系統(tǒng)誤差的大小和符號，對其算術平均值加以修正外，不會影響其他數(shù)據(jù)處理的過程。 xxi?0? 0?iooiooii xxxxv ???? ???????? )()(0?0?0???? ?????? ??? ??? zni ini ini i xnnxxnx 1101 111xi?x??i?i?)( ??? ????? iiii xxv0????i i?iv第二 節(jié) 系 統(tǒng)誤 差 （三）兩種系統(tǒng)誤差的處理 ① 定值系統(tǒng)誤差 ② 變化系統(tǒng)誤差 五、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn) 由于形成系統(tǒng)誤差的原因復雜，目前尚沒有能夠適用于發(fā)現(xiàn)各種系統(tǒng)誤差的普遍方法。當子樣定容 n足夠大時，隨機誤差 對 的影響可忽略不計，而變化系統(tǒng)誤差 則以算術平均值 反映在 之中，視 的符號而使有所增減 。 由上式可看出， 不影響殘差計算，因而也不影響標準誤差 σ 的計算，即 并不引起隨機誤差分布密度曲線的形狀及其分布范圍的變化，只引起分布密度曲線的位置變化（ 平移值）。 四、系統(tǒng)誤差對測量結果的影響 （一）定值系統(tǒng)誤差的影響 設有一組常量測量數(shù)據(jù) 中分別存在定值系統(tǒng)誤差 和隨機誤差 ，真值記為 。 例如，微安表的指針偏轉角與偏轉力距間不嚴格保持線性關系，而表盤仍采用均勻刻度所產(chǎn)生的誤差就屬于復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。此誤差變化規(guī)律符合正弦曲線規(guī)律，當指針在 和 時誤差為零，而在 和 時誤差絕對值達最大。 L?mmL)1( ?? KmmLKL )1( ??? Kmm LKLK ?????K第二 節(jié) 系 統(tǒng)誤 差 ② 周期變化的系統(tǒng)誤差：在整個測量過程中，隨某因素作周期變化的系統(tǒng)誤差。 例如，刻度值為 1mm的標準刻尺，存在刻劃誤差 ，每一刻度間距實際為 ，若用它與另一長度比較，得到比值為 ，則被測長度的實際值為 。它對每一測量值的影響均為一個常量，屬于最常見的一類系統(tǒng)誤差。 （一）恒定 (定值 )系統(tǒng)誤差 恒定（定值）系統(tǒng)誤差是指在整個測量過程中，誤差的大小和符號始終是不變的。圖中設 為被測量的 真實值，在多次重復測量中系統(tǒng)誤差為固定值 ⊿ ，而隨機誤差為對稱分布，分布范圍為 ， 并以系統(tǒng)誤差 ⊿ 為中心而變化。曲線 a為不變的系統(tǒng)誤差， 曲線 b為線性變化的系統(tǒng)誤差，曲線 c為非線性 變化的系統(tǒng)誤差，曲線 d為周期性變化的系統(tǒng)誤 差，曲線 e為復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。由系統(tǒng)誤差的特征可知，在多次重復測量同一值時，系統(tǒng)誤差不具有抵償性，它是固定的或服從一定函數(shù)規(guī)律的誤差，從廣義上講，系統(tǒng)誤差即是服從某一確定規(guī)律變化的誤差。 測量人員固有的測量習性引起的誤差等。 測量時的實際溫度對標準溫度的偏差、測量過程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差等。 第二 節(jié) 系 統(tǒng)誤 差 二、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因 系統(tǒng)誤差是有固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，這些因素是可以掌握的。例如某臺新儀器，因缺乏檢定手段和標準，只對測量精密度（如重復性和穩(wěn)定性）作檢定，驗收合格。由于系統(tǒng)誤差和隨機誤差同時存在測量數(shù)據(jù)之中，而且不易被發(fā)現(xiàn)，多次重復測量又不能減小它對測量結果的影響，這種潛伏使得系統(tǒng)誤差比隨機誤差具有更大的危險性，因此研究系統(tǒng)誤差的特征與規(guī)律性，用一定的方法發(fā)現(xiàn)和減小或消除系統(tǒng)誤差，就顯得十分重要，否則對隨機誤差的嚴格數(shù)學處理將失去意義。實際上測量過程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng)誤差數(shù)值還比較大。 (278) 它的數(shù)學期望為： (279) 它的方差和標準差分別為： (280) (281) F分布也是一種重要分布，在檢驗統(tǒng)計假設和方差分析中經(jīng)常應用。 ? ? ? v 2? ?vt ???v)(tf2/)1(2)1()2()2 1()( ??????? vvtvvvtf?dtvtvvvE v 2/)1(2)1()2()2 1(????? ????? ??22 ?? v v?2?? v v???v第一 節(jié) 隨機 誤 差 （六） F分布 若 具有自由度為 的卡埃平方分布函數(shù)， 具有自由度為 的卡埃平方分布函數(shù)，定義新的隨機變量為 (277) 隨機變量 F稱為自由度為 、 的 F變量?？梢宰C明，當自由度較小時， t分布與正態(tài)分布有明顯區(qū)別，但當自由度 時， t分布曲線趨于正態(tài)分布曲線。 （五） t 分布 2? )( 2?f??????????????000)()2(2)(222122222?????當當evfvv?? 為)2(v? ? ??? ??? 0 2212222 2)()2(2 vdevE vv ??? ?v22 ??v2??2?2? vvv第一 節(jié) 隨機 誤 差 令 和 是獨立的隨機變量， 具有自由度為 的 分布函數(shù)， 具有標準化正態(tài)分布函數(shù)，則定義新的隨機變量為 (272) 隨機變量 t稱自由度為 的學生氏 t變量?？梢宰C明當 足夠大時，曲線趨近正態(tài)曲線。 它的數(shù)學期望為： (269) 它的方差和標準差分別為： (270) (271) 在本書最小二乘法中要用到 分布，此外它也是 t 分布和 F 分布的基礎。 分布的分布密度 如圖 28所示。定義一個新的隨機變量 (267) 隨機變量 稱為自由度為的卡埃平方變量。 在測量工作中，除上述的非正態(tài)分布外，還有直角分布、截尾正態(tài)分布、雙峰正態(tài)分布及二點分布等，在此不做一一敘述。實際測量中，若整個測量過程必須進行兩次才能完成，而每次測量的隨機誤差服從相同的均勻分布，則總的測量誤差為三角形分布誤差。均勻分布的分布密度 （圖 25）和分布函數(shù) 分別為： （ 252） （ 253） 它的數(shù)學期望為： （ 254） 它的方差和標準差分別為： （ 255） （ 256） (二 )反正弦分布 反正弦分布實際上是一種隨機誤差的函數(shù)分布規(guī)律，其特點是該隨機誤差與某一角度成正弦關系。下面介紹幾種常見的非正態(tài)分布。 例 212 求例 211的加權算術平均值的標準差。 已知各組測量結果的殘余誤差為： 將各組 單位權比，則有： 上式中各組新值已為等精度測量列的測量結果，相應的殘差也成為等精度測量列的殘余誤差，則可用等精度測量時的 Bessel公式推導得到： (250) 將式（ 250）代入式（ 249）得 (251) ??mi ip1 ix?ip x?xxv ix i ??ixxpxpvp iiixi i ??111221????????mvpmmiximii殘差??????? miimixix pmvp i112)1(?第一 節(jié) 隨機 誤 差 用式（ 251）可由各組測量結果的殘余誤差求得加權算術平均值的標準差，但是只有組數(shù) m足夠多時，才能得到較為精確的 值。 第一 節(jié) 隨機 誤 差 （五）加權算術平均值的標準差 對同一個被測量進行 m 組不等精度測量，得到 m 個測量結果為： 若已知單位權測得值的標準差 σ ，則由式（ 240）知 全部（ m n個）測得值的算術平均值 的標準差為： 比較上面兩式可得： (248) 因為 代入式（ 248）得 (249) , 21 mxxx ?miniix ,2,1 ??? ??x??? miixn1????? miiixx nni1?????? ??? mi imi iii npnp 11?????? miimiiixxpppi11???第一 節(jié) 隨機 誤 差 當各組測得的總權數(shù) 為已知時，可由任一組的標準差 和相應的權 ，或者由單位權的標準差 σ 求得加權算術平均值的標準差 。 證明之： 設 取方差 以權數(shù)字 表示上式中的方差 ， 則 由此可知 ， 單位權化以后得到的新值 的權數(shù) 為 1， 用這種方法可以把不等精度的各組測量結果皆進行了單位權化 ， 使該測量列轉化為等精度測量列 。單位權化的實質(zhì)，是使任何一個量值乘以自身權數(shù)的平方根，得到新的量值權數(shù)為 1。由于測得值的方差 的權數(shù)為 1在此有特殊用途，故稱等于 1的權為單位權，而 為具有單位權的測得值方差， 為具有單位權的測得值標準差。因此，具有同一方差 的等精度單次測量值的權數(shù)為 1。 mmmmmmpppxpxpxpnnnxnxnxnx??????????????????212211212211?????miimiiipxpx11pppp m ???? ?21mxmpxpxmiimii ???? ?? 11??????? miimioiiopxxpxx11)(0x ix第一 節(jié) 隨機 誤 差 例 211 工作基準米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準器比較，得到工作基準米尺的平均長度為 (三次測量的 )， (兩次測量的 )， (五次測量的 )，求最后測量結果。 解：由式 (242)得 因此各組的權可取為 （三）加權算術平均值 若對同一被測量進行 m組不等精度測量，得到 m個測量結果為： ，設相應的測量次數(shù)為 n1,n2,… , nm，即： (243) 根據(jù)等精度測量算術平均值原理，全部測量的算術平均值 應為： mmmmxmmmmxmmmmxxxx,321321?????????4:1:16)( 1:)( 1:)( 11:1:1:: 222232 22 1321???xxxppp ???4,