【正文】 ?2的 最大似然估計量 隨機誤差項的方差的最大似然估計量可通過對數(shù)似然函數(shù) 202211 ? ?ln2niiin Y X? ? ? ?? ?? ? ? ??2（ 2 ） （ ）求得。 ?2又稱為 總體方差 。 ? 要求： ? （ 1）這是一個時間序列回歸還是橫截面序列回歸？ ? （ 2）如何解釋截距的意義，它有經(jīng)濟含義嗎？如何解釋斜率？ ? （ 3）能否求出真實的總體回歸函數(shù)？ ? （ 4）根據(jù)需求的價格彈性定義：彈性 =斜率 （ X/Y），依據(jù)上述回歸結果，你能求出對咖啡需求的價格彈性嗎？如果不能，計算此彈性還需要其他什么信息？ tt XY 47 ???習 題 答 案 ? ⑵ 截距 0美元時，美國平均消費量為每天每人 ，這個數(shù)字沒有經(jīng)濟意義；斜率 ，在時刻 t，價格上升 1美元 /磅，則平均每天每人消費量減少 ； ? ⑶不能； ? ⑷不能；在同一條需求曲線上不同點的價格彈性不同，若要求出，須給出具體的值及與之對應的值。（ why??） 幾點說明： 四、普通最小二乘參數(shù)估計量的性質(zhì) 由于最小二乘估計量擁有一個 “ 好 ” 的估計量所應具備的小樣本特性，它自然也擁有大樣本特性 。 3）在小樣本性質(zhì)不滿足的情況下， 應擴大樣本容量，考察大樣本性質(zhì)。 1??OLS ??????????????????????????????????????? ????? ????XYXXYYXXXXnYXYXniiininiiiniiniiniii10212121111??)()()(????0??四、普通最小二乘參數(shù)估計量的性質(zhì) ???????? ?????22221)(?iiiiiiiiiiixYxxYxxYYxxyx?證 : 令 ?? 2iii xxk???2iiixYx? ?? ?? iiiii YkYxx21??則 ? ?? ??????? iiiiiii YwYkXnXYkYnXY )1(1?? 10 ??同理 四、普通最小二乘參數(shù)估計量的性質(zhì) 估計參數(shù) 和 的均值等于總體參數(shù)真值 0?? 1??證： ? ? ? ? ???????? iiiiiiiiii kXkkXkYk ??????? 10101 )(?易知 02 ??? ??iii xxk ? ? 1ii Xk故 ???iik ??? 11??? ????? 1111 )()()?( ?????? iiii EkkEE同樣地，容易得出 ? ? ?????0000 )()()()?( ?????? iiii EwEwEE? 四、普通最小二乘參數(shù)估計量的性質(zhì) 1)(22222???????????????iiiiiiiiiiiixxXxxxXxxxXxXk四、普通最小二乘參數(shù)估計量的性質(zhì) ： 利用 OLS估計的參數(shù) 和 的方差最小 ( 1 ) 先 求 0?? 與 1?? 的 方 差 ? ?? ????? )v a r ()v a r ()v a r ()?v a r ( 21021 iiiiiii kXkYk ?????? ?? ?????? 221020 )/1()v a r ()v a r ()?v a r ( ????? iiiiii kXnXwYw22222222 21121 ?? ????????????????????????????? ????????? ? ???iiiii xxXkXnnkXkXnn22222222221??? ????? ??????????? ??iiiii xnXxnXnxxXn?? ? ??????????22222iiixxx ??0?? 1??四、普通最小二乘參數(shù)估計量的性質(zhì) （ 2）證明最小方差性 假設 *1?? 是其他估計方法得到的關于 ? 1 的線性無偏估計量： ?? iiYc*1??其中 ， ci=vi+di， di為不全為零的常數(shù) 則容易證明 )?v a r ()?v a r ( 1*1 ?? ?同理， 可 證 明 ? 0 的 最 小 二 乘 估 計 量 0?? 具 有 最 的 小 方 差 四、普通最小二乘參數(shù)估計量的性質(zhì) 1）滿足線性性、無偏性、有效性三個小樣本性質(zhì)的參數(shù)估計量稱為 最佳 線性無偏估計量（ best linear unbiased estimator， BLUE）。 四、普通最小二乘參數(shù)估計量的性質(zhì) ?漸近無偏性 估計量 優(yōu)劣性 ?漸近有效性 ?一致性 ?無偏性 ?有效性 ?線性性 線性性 無偏性 有效性 （最小方差性） 漸近無偏性 一致性 漸近有效性 小樣本性質(zhì) 大樣本性質(zhì) (漸進性質(zhì) ) —— 指參數(shù)估計量可以表示為 被解釋變量 iY的 線性組合 —— 指參數(shù)估計量的 數(shù)學期望等于參數(shù)的真實值 —— 指在所有的線性、無偏估計量中該參數(shù)估計量的 方差最小 —— 指樣本容量 趨于無窮大 時，參數(shù)估計量的數(shù)學期望 趨于參數(shù)的真實值 —— 樣本容量趨于無窮大時，參數(shù)估計量 依概率收斂于 參數(shù)的真實值 —— 指樣本容量趨于無窮大時，在所有的一致估計量中 該參數(shù)估計量具有 最小的漸近方差 。 所以， 根據(jù)微積分中求極限的原理，分別求式（ 221）對 的一階偏導數(shù)，并令求偏導的結果等于 0， 可得正規(guī)方程組 01? ???、012101211 ? ?[ ( ) ] 01 ? ?[ ( ) ] 0niiini i iiYXX Y X?????????? ? ????? ? ? ?????（ 222） 解得 21 1 1 1022111 1 112211?()?()n n n ni i i i ii i i inniiiin n ni i i ii i inniiiiX Y X X Yn X Xn X Y X Yn X X??? ? ? ???? ? ??????? ??????? ????? ???? ? ? ???? ? ??? （ 223） 這就是參數(shù) 01??、 的 最大似然估計量 （ maximum likelihood estimators） 可見 ， 在滿足一系列基本假設的情況下 ， 模型結構參數(shù)的 最大或然估計量 與 普通最小二乘估計量 是相同的 。 e = ?x = 隨機變量的取值 (? x ?) ?? = 總體均值 12 nY Y Y、 、 、的聯(lián)合概率密度函數(shù)是 201211 2 1 212 1 ()niiinnYXnf Y Y Y f Y f Y f Ye??????? ? ????（）2（ ， ， ， ） （ ）（ ） （ ）2（ 219） 12 nY Y Y、 、 、 201 ? ? ?、 、 對一組確定的樣本， 的 聯(lián)合概率密度函數(shù) 是關于 的函數(shù)，稱為 似然函數(shù) 。 基本原理： 對于 最大或然法 ，當從模型總體隨機抽取 n組樣本觀測值后， 最合理的參數(shù)估計量 應該使得從模型中抽取該 n組樣本觀測值的 概率最大 。也無法根據(jù) 對其真實值做出推斷。 ? 要想利用樣本對總體做出推斷，不僅要知道代表總體的對應函數(shù)形式，還需要對 Yi的產(chǎn)生方式做出某些假定。 01??、? 4 1 4 . 0 4 5 0 . 5 1 5iiYX?? 注意小數(shù)點取值，大樣本時影響較大 答 疑 ? 為什么要設定古典假定？ ? 回歸分析的目的不僅是獲得 ，而且要對真實值做出推斷。 表 2 . 2 . 1 參數(shù)估計的計算表 iX iY ix iy iiyx 2ix 2iy 2iX 2iY 1 800 594 1350 973 1314090 1822500 947508 640000 352836 2 1100 638 1050 929 975870 1102500 863784 1210000 407044 3 1400 1122 750 445 334050 562500 198381 1960000 1258884 4 1700 1155 450 412 185580 202500 170074 2890000 1334025 5 2022 1408 1 50 159 23910 22500 25408 4000000 1982464 6 2300 1595 150 28 4140 22500 762 5290000 2544025 7 2600 1969 450 402 180720 202500 161283 6760000 3876961 8 2900 2078 750 511 382950 562500 260712 8410000 4318084 9 3200 2585 1050 1018 1068480 1102500 1035510 10240000 6682225 10 3500 2530 1350 963 1299510 1822500 926599 12250000 6400900 求和 21500 15674 5769300 7425000 4590020 53650000 29157448 平均 2150 1567 21 ??? ??iiixyx?因此，由該樣本估計的回歸方程為： ii XY 7 7 7 0 3? ??? 1 5 5 6 7?? 10 ??????? XY ??例 23 以例 22為例（ 假設一個由 100個家庭構成的總體，并假設這 100個家庭的月可支配收入水平只限于 1300元、 1800元、 2300元、 2800元、3300元、 800元、 4300元、 4800元、 5300元、 5800元 10種情況，每個家庭的月可支配收入與消費數(shù)據(jù)如表 21所示，要研究這一總體的家庭月消費支出 Y與家庭月可支配收入 X之間的關系，以便根據(jù)已知的家庭月可支配收入水平測算該總體的家庭月消費支出平均水平。估計值指 iY把樣本數(shù)據(jù)代入?yún)?shù)估計公式得到的參數(shù)估計的具體數(shù)值，是確定的數(shù)字。 估計量指以公式表示的參數(shù)的估計，是隨機變量，其隨機性源于被解釋變量 。 根據(jù)微積分中求極限的原理，要使式 （ 213）達到最小， 式 （ 213） 對 01? ???、 的一階偏導數(shù)應等于 0，即 （ 214） 011011? ?2 [ ( ) ] 0? ?2 [ ( ) ] 0niiini i iiYXX Y X??????? ? ? ? ????? ? ? ? ?????整理得 01112011 1 1? ? 0? ? 0nniiiin n ni i i ii i in X YX X X Y??????? ? ?? ? ? ????? ? ? ?????? ? ? （ 215） 解得 2