【正文】 j?0 (虛數(shù)），稱為 LC自由振蕩 （正弦波發(fā)生器） 例：如圖 RLC電路， R= 4?, L=1H, uc(0)=4V, i(0)=2A, t=0時刻 K閉合，試分別計算（ 1） C=1/20F（ 2）C=1/4F（ 3） C=1/3F 時電流 i(t)。 特例：當(dāng) R=0時， ?=R/2L=0, 無損耗，響應(yīng)為等幅振蕩。 m() 0 td i tdt ?令 可求出0 ( 2 )LRC?? ??( 2 ) 當(dāng) 時，臨界阻尼( ) ( ) ti t A B t e ???s1=s2= ? 可定得系數(shù)： 0UA = 0 B=L0U( ) =Lti t te ??0 001( ) U ( )C = U ( 1 ) ( t 0 )tctu t i dte ???? ?????故： 由初始條件 i (0+)= 0 uc(0+) =U0 uL(0+) =U0 00UtdiLdt ?? ?0U( ) =Lti t te ??0 001( ) U ( )C = U ( 1 ) ( t 0 )tctu t i dte ???? ?????U0 波形 0 t uc(t) i(t) tm 臨界阻尼情況 波形與過阻尼情況相似， uc單調(diào)衰減，無振蕩（處于振蕩與非振蕩的臨界狀態(tài)）。 電容一直放電（電容功率 pc= uc(t)i(t)≦ 0)，不能產(chǎn)生振蕩。 一、 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng) R K L uL + i(t) RLC串聯(lián)電路 + uR uc + C 已知 uc(0)=U0， iL(0)=0， K于 t=0時刻閉合，分析 t0 時放電過程中 i(t)、 uc(t) 由 KVL： uc=uR+uL （ t0) 即： 1 ( )( ) ( )t d i ti d R i t LC d t????? ? ??兩邊對 t 微分： 1 ( ) ( )i t R i t L iC ? ??? ? ?22( ) 1 ( ) 0d i t R d i itd t L d t LC? ? ?整理為： 22( ) 1 ( ) 0d i t R d i itd t L d t LC? ? ?整理為： 2 1 0RssL L C? ? ?特征方程： 其中： s——特征根，又稱為電路的 固有頻率 。 從時域看：突出了輸入信號的恒定部分，抑制突變部分 從頻域看：是低通網(wǎng)絡(luò)，通低頻，阻高頻。 二、積分電路 C R + u1 u2 + uR + i 1. 原理 條件： (1)與微分電路不同，選擇 RC都很大，則 ?=RC很大，沖放電緩慢。 可以求得電路的單位階躍響應(yīng)： rU(t)=et/RC = Aet/RCU(t) Ae(tT)/RCU(tT) +Ae(t2T)/RCU(t2T) Ae(t3T)/RCU(t3T) 而 u1(t)=AU(t)AU(tT)+AU(t2T)AU(t3T) 故： u2(t)= ArU(t) ArU(tT) +ArU(t2T) ArU(t3T) u2(t) 時域看：突出輸入信號中突變部分，抑制恒定部分。 RC微分電路和積分電路 一、 RC 微分電路 (differentiating circuit) 1. 原理 C R + + u1 u2 + uc 如左圖：分析 u2~u1關(guān)系 條件： 選擇 R很小， 故 ?=RC很小，沖放電很快。 正弦信號作用下的一階電路 一、 正弦信號作用下的一階 RC電路 C uc K + + R us(t) c o s( )1 ()c m ucd u U tutd t R C R C?? ???已知 us(t)=Umcos(?t+?u) uc(0)=0， t=0時 K閉合，求t≧ 0時 uc(t)=? 電路方程： ( ) ( )c csduR C u t u tdt ??即： 1ch ( ) KtRCu t e ??齊次通解： 特解形式設(shè)為： ucp(t)=Acos(?t+?u) +Bsin (?t+?u) 將特解代入方程并比較系數(shù)定 A和 B： ?RCA sin (?t+?u) + ?RCB cos(?t+?u) + Acos(?t+?u) +Bsin (?t+?u)= Um cos(?t+?u) 故： ?RCB + A= Um ?RCA + B= 0 m2m2UA=1 + ( R C )RCUB=1 + ( R C )???特解也可設(shè)為： ucp(t)=Ucm cos(?t+?u+?u) 其中： 22 mcm 2UU = A1 + ( R C )= a r c t g R CuB?????代初值條件 uc(0+)= uc(0)=0得： c c h c p1tRCcmu ( t ) = u ( t ) + u ( t ) = K e U c os ( )uut? ? ??? ? ?全解 K= Ucm cos(?u+?u) 1 tRCc c m c mu ( t ) = U c o s ( ) U c o s ( ) eu u u ut? ? ? ? ??? ? ? ?穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 暫態(tài)響應(yīng) 0 t(s) 1 tRCc c m c mu ( t ) = U c o s ( ) U c o s ( ) eu u u ut? ? ? ? ??? ? ? ?穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 暫態(tài)響應(yīng) cmU c o s ( )uu???cm U c o s ( )uu???穩(wěn)態(tài)（強制 ） 暫態(tài) uc(t) （ 1）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和暫態(tài)響應(yīng)之和在 t=0時滿足初值條件 uc(0)=0 （ 2）當(dāng) ?u+?u=177。 1 us(t) 0 t(s) t0 R=1? + us(t) L=1H i(t) 法一：分區(qū)間應(yīng)用三要素法 ?=L/R=1/1=1(s) i(0)=0 i(0+)= i(0)=0 0≦ t ≦ t0時： i穩(wěn)態(tài) =1/R=1(A) 故 i(t)=1+(01)et=1 et (A) 0≦ t ≦ t0 00( ) = 1 ( A)ti t e ??t0 t ? 時是以 i(t0)為初值的放電過程 0()0( ) = ( ) + [ ( ) ( ) ]tti t i i t i e ??????0()0= 0 + [ ( ) 0 ) ]tti t e ????000( ) ( )0= ( ) = ( 1 ) ( A )t t t tti t e e e???????? ?1 i(t) 0 t(s) 01 te ??t0 0()0()tti t e ???1 et 法二： 利用階躍響應(yīng) 1 U(t) 0 t(s) R=1? + us(t) L=1H i(t) （ 1）電路的單位階躍響應(yīng) rU(t)= 1 et t≧ 0 0 t0 = (1 et )U(t) （ 2）輸入信號 us(t)=U(t)U(tt0) U(t) → r U(t) i(t)= rU(t) rU(tt0) U(tt0) → rU(tt0) （ 3） 故 us(t)作用下零狀態(tài)響應(yīng)： 0 ( t t )t 0= ( 1 e ) U ( t ) [ 1 e ] U ( t t ) ( A )i(t)= rU(t) rU(tt0) ()t? ? ? ? ?1 i(t) 0 t(s) 01 te ??t0 rU(t) rU(tt0) i(t) 注 （ 1） 注意各階躍響應(yīng)的時間區(qū)間。 + 動態(tài) 網(wǎng)絡(luò) K1 K2 2V 5A b a 2 1 二、分段直流信號的階躍函數(shù)表示 2 f1(t) 0 t(s) 2 1. f1(t)=2U(t) 2U(t2) 2 f3(t) 0 t(s) 2 3. 3 1 f3(t)= 1+3U(t)3U(t2)+U(t3) 2 f2(t) 0 t(s) 2 2. 3 1 f2(t)=U(t1)+U(t2)2U(t3) 三、階躍響應(yīng)及其應(yīng)用 單位階躍響應(yīng) ：電路在 零狀態(tài) 條件下，由單位階躍信 號 U(t)作用下引起的響應(yīng)。 + 6V Us K1 R1 2? L1 1H K2 R2 L2 1? 2H i1 i2 i （ 1） K1于 t=0時刻 閉合， K2斷開 解： i1(0+)=i1(0)=0 i1(?)=Us/(R1+R2)=6/(2+1)=2A (穩(wěn)態(tài)值） ? =（ L1+L2） /（ R1+R2） =（ 1+2） /（ 2+1） =1(s) 1 ( ) = 2 ( 0 2 ) 2 ( 1 ) ( A )tti t e e??? ? ? ?（ 0≦ t ≦ 1s） （ 2） 當(dāng) t=1s時， K2也閉合 i1(1+)=i1(1)=2(1e1)= (A) i1(?)=Us/R1=6/2=3 (A) 時間常數(shù) ?1=L1/R1=1/2 (s) 1( t 1 )1 1 1 1( ) = ( ) + [ ( 1 ) ( ) ] ei t i i i?????2 ( 1 )2 ( 1 )3 ( 1 . 2 6 4 3 )3 1 . 7 3 6 ( ) ( 1 )ttee A t s????? ? ?? ? ? + 6V Us K1 R1 2? L1 1H K2 R2 L2 1? 2H i1 i2 i i2(1+)=i2(1)= i1(1) = (A) i2(?)=0 (A) 時間常數(shù) ?2=L2/R2=2/1 =2(s) ( t 1 )22( t 1 )2( ) = 0+ ( 1 . 2 6 4 0) e = 1 .2 6 4 e ( A ) ( t 1 s )it????故三要素法推廣 i (t)= i1(t) i2(t) ( t 1)2 ( 1 ) 23 36 64 e ( A ) te ???? ? ?i1(t) i2(t) 注： 本例中 i1(t)、 i2(t)分別只有一個固有頻率，但 i (t)有兩個固有頻率（此二階電路可看作兩個獨立的一階電路） i1 i2 + us 10V 100? 100? R1 R2 L C 10mH 1?F K iK 如圖電路原處于穩(wěn)態(tài)， t=0時刻 K閉合，求 K閉合后電流 iK=? 思考 : 參考答案 : 4102 ( ) = 0 . 1 e ( A ) ( t 0 )tit ? ?4101 ( ) = 0 . 1 0 . 1 e ( A ) ( t 0 )tit ???K 1 2( ) = ( ) + ( ) = 0 . 1 ( A ) ( t 0 )i t i t i t ? 階躍函數(shù)與階躍響應(yīng) 一、 單位階躍函數(shù) （ unit step function） 1 U(t) 0 t 定義： U(t)= 0 t0 1 t0 t=0時刻不定義 顯然： U(0)=0 U(0+)=1 1 U(tt0) 0 t t0 延時單位階躍函數(shù)： 定義： U(tt0)= 0 tt0 1 tt0 t=t0 時刻不定義 注： 階躍信號可用來表示特定時刻開始起作用的激勵信號。 + 6V Us K1 R1 2? L1 1H K2 R2 L2 1? 2H i1 i2 i 分析： 第一