【正文】 　　矩法估計(jì)簡單而實(shí)用，所獲得的估計(jì)量通常(盡管不總是如此)也有較好的性質(zhì)。由于均值與方差在統(tǒng)計(jì)學(xué)中統(tǒng)稱為矩，總體均值與總體方差屬于總體矩，樣本均值與樣本方差屬于樣本矩。有效性是判定估計(jì)量優(yōu)良性的另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)于無偏估計(jì)量，當(dāng)然方差愈小愈好。只要有可能，應(yīng)該盡可能選用無偏估計(jì)量，或近似無偏估計(jì)量。但是經(jīng)過簡單的代數(shù)推導(dǎo)，總有　　MSE=E(θ)2=〔E()θ]2+E〔E()]2()　　=〔B()]2+V()　　()式中的第一項(xiàng)表示的是的均值E()與未知參數(shù)θ的差，稱為偏倚；當(dāng)B()=0，也即:　　E()=θ時(shí)，稱估計(jì)量是無偏的。這個(gè)量稱為的均方誤差，簡記為MSE()，均方誤差實(shí)際上是平均平方誤差的意思。當(dāng)然這種平均不能直接進(jìn)行，因?yàn)棣扔姓胸?fù)，直接平均由于正負(fù)抵消反而不能反映誤差?！　?duì)于一個(gè)特定的樣本，估計(jì)量與θ的真值之間總是有偏差的，但由于θ未知，因此偏差θ也未知。在本教材中，除討論統(tǒng)計(jì)量的分布及性質(zhì)外，不嚴(yán)格區(qū)分估計(jì)量及具體估計(jì)值，通稱為估計(jì)。根據(jù)這個(gè)樣本，構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量=(X1，X2，…，Xn)，用來對(duì)θ進(jìn)行估計(jì)，稱為θ的估計(jì)量?！　?shù)估計(jì)有兩種基本形式，即點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)。估計(jì)也可以擴(kuò)展成對(duì)分布類型、分布的某些特征數(shù)，例如均值、方差甚至對(duì)某個(gè)特定事件概率的估計(jì)，但由于這些待估計(jì)的量的未知部分都只是參數(shù)，因此任何一個(gè)估計(jì)問題都可以化成參數(shù)估計(jì)問題。在統(tǒng)計(jì)中，估計(jì)就是根據(jù)樣本來推斷總體分布的未知成分。在質(zhì)量活動(dòng)和管理實(shí)際中，人們關(guān)心的是諸如特定產(chǎn)品的質(zhì)量水平究竟如何?例如特性的平均值，產(chǎn)品的不合格品率等等。本節(jié)著重討論參數(shù)估計(jì)問題。第五節(jié)參數(shù)估計(jì)F分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈偏態(tài)分布。又設(shè)X1，X2，…，Xn是來自N(μ1，σ2)的一個(gè)樣本；Y1，Y2，…，Ym是來自N(μ2，σ2)的一個(gè)樣本，這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立?！　　　?二)正態(tài)樣本方差s2的分布——χ2分布正態(tài)樣本方差s2除以總體方差σ2的n1倍的分布是自由度為n1的χ2分布，記為χ2(n1)，即:　　自由度為n1的χ2分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈偏態(tài)分布。圖中畫出自由度為3的t分布t(3)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的概率密度曲線。　　當(dāng)σ已知時(shí)，通過標(biāo)準(zhǔn)化變換，可得:　　　　當(dāng)σ未知時(shí)，很自然的，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替上式中的σ，此時(shí)統(tǒng)計(jì)量:　　服從自由度為n1的t分布，記為t(n1)。這里所涉及的抽樣分布在以后的區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)和方差分析中將起重要作用。當(dāng)X本身服從正態(tài)分布，的分布也是嚴(yán)格正態(tài)的?！　≈劣诘姆植?，根據(jù)上節(jié)討論過的中心極限定理，不論X的分布是哪種具體的分布，只要滿足一定條件，當(dāng)n大時(shí)，樣本均值的分布即是近似正態(tài)的。與總體的均值μ=10比較，可知用n=5的樣本均值來估計(jì)μ沒有用n=10的樣本的平均數(shù)來估計(jì)精確，但均值的平均數(shù)()都非常接近μ的真值10。這表明當(dāng)用估計(jì)μ時(shí)，n愈大，精度就愈高。事實(shí)上E()=μ　　其中μ，σ2分別為總體X的均值和方差。因此本身也是一個(gè)隨機(jī)變量，因此有時(shí)也記為，也有自己的分布規(guī)律，也可以計(jì)算它的均值、方差等。　　(二)樣本均值的分布　　樣本均值是表示樣本數(shù)據(jù)中心位置的，而樣本又是從總體中隨機(jī)抽取的，因此與表示總體的隨機(jī)變量X的均值μ之間一定存在某種內(nèi)在的聯(lián)系?！　〉谝还?jié)中討論過的樣本均值、樣本中位數(shù)、樣本極差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差及樣本變異系數(shù)等都是統(tǒng)計(jì)量?！　]從均值為μ，方差為σ2的總體中抽得一個(gè)樣本量為n的樣本X1，X2，…，Xn，其中μ與σ2均未知。但是不經(jīng)加工的信息是零散的，為了把這些零散的信息集中起來反映總體的特征，需要對(duì)樣本進(jìn)行加工，一種有效的辦法就是構(gòu)造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)可以反映總體的不同的特征。有時(shí)為方便起見，不分大寫與小寫，樣本及其觀測(cè)值都用x1，x2，…，xn表示，今后就將采用這一方法表示?！　∪鬤1，X2，…，Xn是從總體X中獲得的樣本，那么X1，X2，…，Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量?！　　　〕闃忧屑筛蓴_，特別是人為干擾。若是按隨機(jī)性和獨(dú)立性要求進(jìn)行抽樣，則機(jī)會(huì)大的地方(概率密度值大)被抽出的樣品就多；而機(jī)會(huì)少的地方(概率密度值小)，被抽出的樣品就少。這樣獲得的樣本能夠很好地反映實(shí)際總體。今后的樣本都是指滿足這些要求的簡單隨機(jī)樣本。從總體中抽取的每個(gè)樣品對(duì)其他樣本的抽取無任何影響，假如總體是無限的，獨(dú)立性容易實(shí)現(xiàn)；若總體很大，特別與樣本量n相比是很大的，這時(shí)即使總體是有限的，此種抽樣獨(dú)立性也可得到基本保證。這只要隨機(jī)抽樣就可保證此點(diǎn)實(shí)施?？傮w中每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)入樣。　　滿足下面兩個(gè)條件的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本，簡稱隨機(jī)樣本?！　∪藗儚目傮w中抽取樣本是為了認(rèn)識(shí)總體，即從樣本推斷總體。因此統(tǒng)計(jì)中的總體與概率中的隨機(jī)變量是對(duì)應(yīng)的，通常用統(tǒng)一的記號(hào)，例如X，Y，…等來記?！　】傮w是人們研究對(duì)象的全體，它由個(gè)體所組成，當(dāng)從總體中隨機(jī)抽取一個(gè)個(gè)體進(jìn)行觀測(cè)時(shí)，所得的觀測(cè)值隨個(gè)體而異，因此總體對(duì)應(yīng)于一個(gè)隨機(jī)變量?！　∫弧㈦S機(jī)樣本與統(tǒng)計(jì)量　　在第一節(jié)中介紹了總體與樣本這兩個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)概念，在第三節(jié)中又介紹了隨機(jī)變量及其分布的概念。　　這里相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是指一個(gè)變量的取值不影響其他變量的取值。它告訴人們:在一定條件下，多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量的平均值(仍然是一個(gè)隨機(jī)變量)，服從或近似服從正態(tài)分布。若已知Y的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　μY=，σ2Y=4，σY=2由上述公式知，X的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差為:　　μx=exp{+4/2}== σ2X=()2(e41)=e19(e4一1)=109　　105小時(shí)，104小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差是平均時(shí)間的7倍多，可見對(duì)數(shù)正態(tài)分布是很分散的分布?！　?4)若記正態(tài)分布的均值為μY，方差為σ2Y，則相應(yīng)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布的均值μX與方差σ2X分別為μX=E(X)=exp{μY+σ2Y/2}σ2X=Var(X)=μ2X{exp(σ2Y)1}()　　(5)尋求對(duì)數(shù)正態(tài)變量X的有關(guān)事件的概率，經(jīng)過對(duì)數(shù)變換后可轉(zhuǎn)化為求正態(tài)變量Y=lnX的相應(yīng)事件的概率，如:　　P(Xa)=P(lnXlna)　　=P(Ylna)　　(a)(b)上的兩塊陰影面積。如機(jī)床維修中，大量機(jī)床在短時(shí)間內(nèi)都可修理好，只有少量機(jī)床需要長時(shí)間維修，個(gè)別機(jī)床可能需要更長的修理時(shí)間。它們有如下共同特點(diǎn):　　(1)這些隨機(jī)變量都在正半軸(0，∞)上取值。這里“均勻”是指隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點(diǎn)的機(jī)會(huì)是均等的，從而在相等的小區(qū)間上的概率相等?！　　　?三)其他連續(xù)分布　　正態(tài)分布是實(shí)際中最常用的分布，在質(zhì)量管理中也使用最頻繁，但在實(shí)際中還有很多非正態(tài)的連續(xù)分布也很有用，在質(zhì)量管理中最常用的是均勻分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和指數(shù)分布等三個(gè)分布，其中指數(shù)分布已在〔]中作了介紹，其他兩個(gè)分布將在下面介紹?！　]在正態(tài)分布中心μ與規(guī)范中心(M=(TL+TU)/2)重合時(shí)，若規(guī)范限取為μ177?？估瓘?qiáng)度是望大特性(愈大愈好的特性)，故只需規(guī)定其下規(guī)范限，如今TL=33kg/cm2。清潔度是望小特性(愈小愈好的特性)，故只需規(guī)定其上規(guī)范限，現(xiàn)規(guī)定TU=85毫克，故其不合格品率為:　　故在清潔度指標(biāo)上，該部件的不合格品率為968ppm。則其低于下規(guī)范限TL=76kΩ的概率和超過上規(guī)范限TU=84kΩ的概率分別為:　　故該電阻器的不合格品率p=pL+pU=。4kΩ?！　榱司唧w說明不合格品率的計(jì)算，可看下面的例子?！　∶鞔_了這兩點(diǎn)后，產(chǎn)品質(zhì)量特性X的不合格品率為:　　p=pL+pU　　其中pL為X低于下規(guī)范限的概率，pU為X高于上規(guī)范限的概率()，即:　　　　　　其中Φ(你記住了嗎?　　〔]產(chǎn)品某個(gè)質(zhì)量特性X的不合格品率的計(jì)算要知道下列兩件事:　　(1)質(zhì)量特性X的分布，在過程受控情況下，X的分布常為正態(tài)分布N(μ，σ2)，這是穩(wěn)定過程的概括?！　]設(shè)X～N(10，22)和Y～N(2，)，概率P(8X14)和P(Y)各為多少?　　首先對(duì)每個(gè)正態(tài)變量經(jīng)過各自的標(biāo)準(zhǔn)化變換得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量?！　　　⌒再|(zhì)2:設(shè)X～N(μ，σ2)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b有:　　　　其中Φ(這里標(biāo)準(zhǔn)化變換是指正態(tài)變量減去其均值后再除以相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差。正態(tài)分布計(jì)算是基于下面的重要性質(zhì)。　　　　標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α分位數(shù)uα表見附表13?！　‘?dāng)α，譬如α=，=。用概率的語言表示，U的α分位數(shù)uα是滿足下列等式的實(shí)數(shù):　　P(U≤uα)=α　　　　分位數(shù)uα亦可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表從里向外查得，尾數(shù)可用內(nèi)插法得到，:　　= =　　，=。　　后一種說法有新意，(u)下的面積分為左右兩塊。對(duì)概率等式P(U≤)=，有兩種不同說法:　　(1)?！　　　?5)P(|U|≤a)=2Φ(a)1()?！　?3)Φ(a)=1Φ(a)()?！　　　∮捎谥本€是沒有面積的，即直線的面積為零，故:　　P(U≤)=P(U)=Φ()=　　綜合上述，可得如下計(jì)算公式:　　P(U≤a)=P(Ua)=Φ(a)　　類似的計(jì)算公式還有一些，現(xiàn)羅列如下，圖形可幫助我們理解它?！　　　?1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，它可用來計(jì)算形如“U≤u”的隨機(jī)事件發(fā)生的概率。一些質(zhì)量特性的不合格品率均要通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布才能算得。它是特殊的正態(tài)分布，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量也記為U，它的概率密度函數(shù)記為ψ(u)。固定均值μ時(shí)，不同的標(biāo)準(zhǔn)差，如σ1σ2，對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的位置相同，但形狀(高低與胖瘦)不同，(b)。質(zhì)量特性X在μ附近取值的機(jī)會(huì)最大，σ2是正態(tài)分布的方差，0是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，σ愈大，分布愈分散；σ愈小，分布愈集中。　　　　正態(tài)分布含有兩個(gè)參數(shù)μ與σ，常記為N(μ，σ2)。具體如下:　　　　　　(二)正態(tài)分布　　正態(tài)分布是在質(zhì)量管理中使用最為頻繁的分布，它能描述很多質(zhì)量特性X隨機(jī)取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。現(xiàn)把結(jié)果列表如下:　　　　這就是X的分布?！　〕瑤缀畏植糷(n，N，M)的均值、方差分別為:　　　　[]一貨船的甲板上放著20個(gè)裝有化學(xué)原料的圓桶，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)有5桶被海水污染了，若從中隨機(jī)抽出8桶，并記X為其中被污染的桶數(shù)，現(xiàn)要求X的分布?！　≡O(shè)有N個(gè)產(chǎn)品組成的總體，其中含有M個(gè)不合格品?！　　　?2)在一個(gè)月內(nèi)發(fā)生重大事故超過2起的概率為:　　P(X2)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)　　=1〔P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]　　=1(++)= 這表明。由于取這些值的概率的前三位小數(shù)皆為零，甚至更小，已無多大實(shí)際意義，故可不列出，當(dāng)作不可能事件處理。　　從這些例子可以看出，泊松分布總與計(jì)點(diǎn)過程相關(guān)聯(lián)，并且計(jì)點(diǎn)是在一定時(shí)間內(nèi)、或一定區(qū)域內(nèi)、或一特定單位內(nèi)的前提下進(jìn)行的，若λ表示某特定單位內(nèi)的平均點(diǎn)數(shù)(λ0)，又令X表示某特定單位內(nèi)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則X取x值的概率為:　　　　這個(gè)分布就稱為泊松分布，記為P(λ)，其中e=…　　泊松分布的均值與方差相等，且均為λ，于是有:　　E(X)=λ，Var(X)=λ，σ(X)=　　()　　〔]某大公司一個(gè)月內(nèi)發(fā)生重大事故數(shù)X是服從泊松分布的隨機(jī)變量，根據(jù)過去事故的記錄，這表明:X服從λ=，現(xiàn)考察如下事件的概率。　　在實(shí)際中經(jīng)常要求形如“X≤x”的概率，在概率論中把事件“X≤x”的概率稱為X的分布函數(shù)，記為F(x)，即:　　F(x)=P(X≤x)　　二項(xiàng)分布的分布函數(shù)已編制了數(shù)表，詳見附表11，此表可幫助我們計(jì)算，例如從附表11中可查得:　　P(X≤1)=，P(X≤4)=　　于是可算得:　　P(1≤X≤4)=P(X≤4)P(X≤1)==　　(3)二項(xiàng)分布b(6，)的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　E(X)=np=6=　　Var(X)=np(1p)=6=　　　　　　泊松分布可用來描述不少隨機(jī)變量的概率分布。通過計(jì)算可畫出其線條圖((b))，此圖是對(duì)稱的，如P(X=2)=P(X=4)=。假如改變成功概率p，其線條圖亦會(huì)改變。圖上的橫坐標(biāo)為X的取值，縱軸為其相應(yīng)概率。類似可計(jì)算X=0，X=1，…，X=6的概率，計(jì)算結(jié)果可列出一張分布列，具體如下:　　=6的概率取前4位小數(shù)的有效數(shù)字為零，實(shí)際它的概率為P(X=6)=，并不恰為零?！　≡谏鲜鏊膫€(gè)條件下，設(shè)X表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功出現(xiàn)的次數(shù)，顯然X是可以取0，1，…，n等n+1個(gè)值的離散隨機(jī)變量，且它的概率函數(shù)為:　　　　　　二項(xiàng)分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　E(X)=np　　Var(X)=np(1p)　　　　[]在一個(gè)制造過程中，如今從成品中隨機(jī)取出6個(gè)，記X為6個(gè)成品中的不合格品數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布b(6，)，簡記為X～b(6，)?！　?3)每次試驗(yàn)僅有兩個(gè)可能結(jié)果，例如，正面與反面、合格與不合格、命中與不命中、具有某特性與不具有某特性，以下統(tǒng)稱為“成功”與“失敗”。例如，把一枚硬幣連拋n次，檢驗(yàn)n個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量，對(duì)一個(gè)目標(biāo)連續(xù)射擊n次等?！　∽⒁?方差的這個(gè)性質(zhì)不能推到標(biāo)準(zhǔn)差場(chǎng)合，即對(duì)任意兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1與X2，σ(X1+X2)≠σ(X1)+σ(X2)，而應(yīng)該是　　或者說，對(duì)相互獨(dú)立隨機(jī)變量來說，其方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性　　四、常用分布　　(一)常用的離散分布　　這里將給出三個(gè)常用的離散分布，它們是二項(xiàng)分布、泊松分布與超幾何分布?！　?3)設(shè)隨機(jī)變量X1與X2獨(dú)立(即X1取什么值不影響另一個(gè)隨機(jī)變量X2的取值，這相當(dāng)于兩個(gè)試驗(yàn)的獨(dú)立性)，則有:　　Var(X1177?！　☆愃频?，對(duì)連續(xù)分布也有類似解釋，(或標(biāo)準(zhǔn)差)從上到下也是逐漸減小的?！　》粗?，若要方差大，則和式中必有某些乘積項(xiàng)較大，也就是說，有若干個(gè)大偏差xiE(X)發(fā)生的概率