高考文科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題復(fù)習(xí)(參考版)
2025-04-20 13:17本頁(yè)面
【正文】 泰安模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln x.(1)求函數(shù)F(x)＝＋的最大值；(2)證明：＋x－f(x)； (1)解 F(x)＝＋＝＋，F(xiàn)′(x)＝，當(dāng)F′(x)0時(shí)，0xe；當(dāng)F′(x)0時(shí)，xe，故F(x)在(0，e)上是增函數(shù)，在(e，＋∞)上是減函數(shù)，故F(x)max＝F(e)＝＋.(2)證明 令h(x)＝x－f(x)＝x－ln x，則h′(x)＝1－＝，當(dāng)h′(x)0時(shí)，0x1；當(dāng)h′(x)0時(shí)，x1，故h(x)在(0，1)上是減函數(shù)，在(1＋∞)上是增函數(shù)，故h(x)min＝h(1)＝(x)max＝＋1，故F(x)h(x)，即＋x－f(x).。合肥模擬)已知f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.(1)如果函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，求函數(shù)g(x)的解析式；(2)對(duì)任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解 (1)g′(x)＝3x2＋2ax－1，由題意3x2＋2ax－10的解集是，即3x2＋2ax－1＝0的兩根分別是－，＝1或－代入方程3x2＋2ax－1＝0，得a＝－(x)＝x3－x2－x＋2.(2)由題意2xln x≤3x2＋2ax－1＋2在x∈(0，＋∞)上恒成立，可得a≥ln x－x－，設(shè)h(x)＝ln x－x－，則h′(x)＝－＋＝－，令h′(x)＝0，得x＝1或－(舍)，當(dāng)0x1時(shí)，h′(x)0，當(dāng)x1時(shí)，h′(x)0，所以當(dāng)x＝1時(shí)，h(x)取得最大值，h(x)max＝－2，所以a≥－2，所以a的取值范圍是[－2，＋∞).【訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝x2－ln x－ax，a∈R.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的最小值；(2)若f(x)x，求a的取值范圍.解 (1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2－ln x－x，f′(x)＝.當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)(x)的最小值為f(1)＝0.(2)由f(x)x，得f(x)－x＝x2－ln x－(a＋1)x0，所以f(x)x等價(jià)于x－a＋(x)＝x－，則g′(x)＝.當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g′(x)0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)(x)有最小值g(1)＝＋11，a0，即a的取值范圍是(－∞，0).命題角度二 證明不等式【例4】 (2017北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝－kln x，k0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1，]上僅有一個(gè)零點(diǎn).(1)解 由f(x)＝－kln x(k0)，得x0且f′(x)＝x－＝.由f′(x)＝0，解得x＝(負(fù)值舍去).f(x)與f′(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的情況如下：x(0，)(，＋∞)f′(x)－0＋f(x)所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，＋∞).f(x)在x＝處取得極小值f()＝.(2)證明 由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的最小值為f()＝.因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn)，所以≤0，從而k≥＝e時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減，且f()＝0，所以x＝是f(x)在區(qū)間(1，]e時(shí)，f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，且f(1)＝0，f()＝0，所以f(x)在區(qū)間(1，]，若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1，]上僅有一個(gè)零點(diǎn).【訓(xùn)練2】 (2016衡水中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)＝ax－1－ln x(a∈R).(1)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若函數(shù)f(x)在x＝1處取得極值，?x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求實(shí)數(shù)b的最大值.解 (1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝a－＝.當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.∴f(x)在(0，＋∞)0時(shí)，由f′(x)0，得0x；由f′(x)0，得x，∴f(x)在上遞減，在上遞增，即f(x)在x＝，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上有一個(gè)極值點(diǎn).(2)∵函數(shù)f(x)在x＝1處取得極值，∴f′(1)＝a－1＝0，則a＝1，從而f(x)＝x－1－ln (x)≥bx－2?1＋－≥b，令g(x)＝1＋－，則g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝e2，則g(x)在(0，e2)上遞減，在(e2，＋∞)上遞增，∴g(x)min＝g(e2)＝1－，即b≤1－.故實(shí)數(shù)b的最大值是1－.第4講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用考點(diǎn)一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)【例1】 (2015西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0).(1)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.解 (1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x0.∴h′(x)＝－ax－(x)在(0
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