高一數(shù)學(xué)下學(xué)期知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)經(jīng)典例題解析資料(參考版)
2025-04-20 12:56本頁(yè)面
【正文】 (2－5x)，∵0＜x＜，∴5x＜2,2－5x＞0，∴5x(2－5x)≤2＝1，∴y≤，當(dāng)且僅當(dāng)5x＝2－5x，即x＝時(shí)，ymax＝.(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋＝10＋2≥10＋22 ＝18，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y時(shí)取等號(hào)，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，∴當(dāng)x＝12，y＝6時(shí)，x＋y取最小值18.答案 (1)3 (2) (3)18考向二 利用基本不等式證明不等式【例2】?已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：＋＋≥a＋b＋c.[審題視點(diǎn)] 先局部運(yùn)用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)相加得到．證明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋≥2 ＝2c；＋≥2 ＝2b；＋≥2 ＝2a.以上三式相加得：2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c. 利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問(wèn)題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問(wèn)題．【訓(xùn)練2】 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求證：＋＋≥9.證明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)，取等號(hào)．考向三 利用基本不等式解決恒成立問(wèn)題【例3】?若對(duì)任意x＞0，≤a恒成立，則a的取值范圍是________．[審題視點(diǎn)] 先求(x＞0)的最大值，要使得≤a(x＞0)恒成立，只要(x＞0)的最大值小于等于a即可．解析 若對(duì)任意x＞0，≤a恒成立，只需求得y＝的最大值即可，因?yàn)閤＞0，所以y＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，所以a的取值范圍是答案 當(dāng)不等式一邊的函數(shù)(或代數(shù)式)的最值較易求出時(shí)，可直接求出這個(gè)最值(最值可能含有參數(shù))，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式求解．【訓(xùn)練3】已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是________．解析 由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2 ，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，m≤10，故m的最大值為10.答案 10考向三 利用基本不等式解實(shí)際問(wèn)題【例3】?某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長(zhǎng)度x不得超過(guò)5 m．房屋正面的造價(jià)為400元/m2，房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/m2，屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為5 800元，如果墻高為3 m，且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用．當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度為多少時(shí)，總造價(jià)最低？[審題視點(diǎn)] 用長(zhǎng)度x表示出造價(jià)，利用基本不等式求最值即可．還應(yīng)注意定義域0＜x≤5；函數(shù)取最小值時(shí)的x是否在定義域內(nèi)，若不在定義域內(nèi)，不能用基本不等式求最值，可以考慮單調(diào)性．解 由題意可得，造價(jià)y＝3(2x150＋400)＋5 800＝900＋5 800(0＜x≤5)，則y＝900＋5 800≥9002＋5 800＝13 000(元)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝4時(shí)取等號(hào)．故當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度為4米時(shí)，總造價(jià)最低． 解實(shí)際應(yīng)用題要注意以下幾點(diǎn)：(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；(2)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值；(3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問(wèn)題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解．【訓(xùn)練3】東海水晶制品廠(chǎng)去年的年產(chǎn)量為10萬(wàn)件，每件水晶產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格為100元，固定成本為80元．從今年起，工廠(chǎng)投入100萬(wàn)元科技成本．并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬(wàn)元科技成本．預(yù)計(jì)產(chǎn)量每年遞增1萬(wàn)件，每件水晶產(chǎn)品的固定成本g(n)與科技成本的投入次數(shù)n的關(guān)系是g(n)＝.若水晶產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格不變，第n次投入后的年利潤(rùn)為f(n)萬(wàn)元．(1)求出f(n)的表達(dá)式；(2)求從今年算起第幾年利潤(rùn)最高？最高利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？解 (1)第n次投入后，產(chǎn)量為(10＋n)萬(wàn)件，銷(xiāo)售價(jià)格為100元，固定成本為元，科技成本投入為100n萬(wàn)元．所以，年利潤(rùn)為f(n)＝(10＋n)－100n(n∈N*)．(2)由(1)知f(n)＝(10＋n)－100n＝1 000－80≤520(萬(wàn)元)．當(dāng)且僅當(dāng)＝，即n＝8時(shí)，利潤(rùn)最高，最高利潤(rùn)為520萬(wàn)元．所以，從今年算起第8年利潤(rùn)最高，最高利潤(rùn)為520萬(wàn)元． 閱卷報(bào)告——忽視基本不等式成立的條件致誤【問(wèn)題診斷】 利用基本不等式求最值是高考的重點(diǎn)，其中使用的條件是“一正、二定、三相等”，在使用時(shí)一定要注意這個(gè)條件，而有的考生對(duì)基本不等式的使用條件理解不透徹，使用時(shí)出現(xiàn)多次使用不等式時(shí)等號(hào)成立的條件相矛盾.,【防范措施】 盡量不要連續(xù)兩次以上使用基本不等式，若使用兩次時(shí)應(yīng)保證兩次等號(hào)成立的條件同時(shí)相等.【示例】?已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求＋的最小值．錯(cuò)因 兩次基本不等式成立的條件不一致．實(shí)錄 ∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴ab≤2＝.又＋≥2 ，而ab≤，∴≥4，∴＋≥2＝4，故＋的最小值為4.正解 ∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋2＋＋≥3＋2 ＝3＋2.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，＋的最小值為3＋2.【試一試】設(shè)a＞b＞0，則a2＋＋的最小值是( )．A．1 B．2 C．3 D．4[嘗試解答] a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋＋ab＋≥2 ＋2
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