數(shù)列公式匯總word版(參考版)
2025-03-26 03:20本頁(yè)面
【正文】 1已知公比為3的等比數(shù)列與數(shù)列滿足，且，（1）判斷是何種數(shù)列，并給出證明；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和1已知等差數(shù)列的第二項(xiàng)為8，前10項(xiàng)和為185。 (2) ∵a, 1, c成等差數(shù)列, ∴ a＋c＝2, 又a, 1, c成等比數(shù)列, ∴a c＝1, 有ac＝1或ac＝－1, 當(dāng)ac＝1時(shí), 由a＋c＝2得a＝1, c＝1,與a≠c矛盾， ∴ ac＝－1, ∴ .例8：已知無(wú)窮數(shù)列， 求證：（1）這個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列 （2）這個(gè)數(shù)列中的任一項(xiàng)是它后面第五項(xiàng)的， （3）這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)的積仍在這個(gè)數(shù)列中證明：（1）（常數(shù)）∴該數(shù)列成等比數(shù)列 （2），即： （3），∵，∴ ∴且，∴，（第項(xiàng)）例9：在等比數(shù)列中，求該數(shù)列前七項(xiàng)之積 解： ∵，∴前七項(xiàng)之積例10：在等比數(shù)列中，求， 解： 另解：∵是與的等比中項(xiàng)，∴ ∴五、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： 當(dāng)時(shí)， ① 或 ②當(dāng)q=1時(shí)，當(dāng)已知, q, n 時(shí)用公式①；當(dāng)已知, q, 時(shí)，用公式②.公式的推導(dǎo)方法一：一般地，設(shè)等比數(shù)列它的前n項(xiàng)和是由得 ∴當(dāng)時(shí)， ① 或 ②當(dāng)q=1時(shí)，公式的推導(dǎo)方法二：有等比數(shù)列的定義，根據(jù)等比的性質(zhì)，有即 （結(jié)論同上）圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運(yùn)用等比定理，導(dǎo)出了公式．公式的推導(dǎo)方法三： ＝ ＝＝（結(jié)論同上）重要結(jié)論{an}成等比數(shù)列，公比為q （1）也為等比數(shù)列，且公比為， （2）也成等比數(shù)列，且公比為q2（3）成等比，且an0，則lga1,lga2,lga3…成等差[注]（1）（2）典型例題：例1：求和： . 分析：當(dāng) 時(shí)， 是由數(shù)列 與數(shù)列 的相應(yīng)的項(xiàng)相乘而來(lái)的，所以用錯(cuò)位相減法來(lái)求和. 解：當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， ，① 左右兩邊分別乘以 得： ，②①、②相減得： 于是 . 說(shuō)明：求和問(wèn)題要分析數(shù)列的項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，當(dāng)通項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積時(shí)，用錯(cuò)位相減法求和，此時(shí)要注意等比數(shù)列的公比是否為1（用字母表示公比時(shí)）.例2：已知 是等比數(shù)列 的前 項(xiàng)和，且有 求 的值. 分析：由兩個(gè)方程不能求出確定的 ，只能得到一個(gè)關(guān)系，所以應(yīng)采用整體代入的方法. 解：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為 ，公比為 ， 由 可知 ，故 兩式相除得 ，即 . 于是有 說(shuō)明：本題強(qiáng)調(diào)的是基本量思想與整體思想，整體思想往往是設(shè)而不求，整體替換.例3： 求數(shù)列 的24項(xiàng)的和. 分析： ，可用裂項(xiàng)法求和. 解： . 說(shuō)明：裂項(xiàng)法是求和的重要方法之一，要把數(shù)列的每一項(xiàng)分裂為兩項(xiàng)之差，求和時(shí)使得中間的大多數(shù)項(xiàng)互相抵消了.例4：設(shè) 是由正數(shù)組成的等比數(shù)列， 是其前 ： . 分析：先比較 與 的大小，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到所要證明的不等式. 證明：設(shè)等比數(shù)列 的首項(xiàng)為 ，公比為 . 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， ， ， 故有 . 說(shuō)明：解題中注意等比數(shù)列前 項(xiàng)和公式要對(duì)公比進(jìn)行分類(lèi)；注意比較兩數(shù)大小的基本方法是比較法，特別是作差比較法，還要注意結(jié)合函數(shù)的有關(guān)知識(shí).例5： 已知數(shù)列 中， 且當(dāng) 時(shí)， . （1）求 的通項(xiàng)公式； ?。?）求證： 分析：該數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)是其前面所有項(xiàng)之和，于是通項(xiàng) 與一個(gè)和有關(guān)，所以引入前 項(xiàng)和. 解：（1）設(shè) ， 所以當(dāng) 時(shí)有 ，同時(shí)又 ，兩式相減得 ，于是 所以 是等比數(shù)列，公比為2. 因?yàn)?所以 ，故當(dāng) 時(shí)， , 所以 證明：（2） 說(shuō)明：在解題中注意項(xiàng)數(shù)的初始值，以及數(shù)列通項(xiàng)與和的相互轉(zhuǎn)化.第二章 數(shù)列 檢測(cè)題一、選擇題（每題5分，共50分）在數(shù)列中，則的值為（ ）A．49 B．50 C．51 D．52數(shù)列3，5，9，17，33，…的通項(xiàng)公式等于（ ）A． B． C． D．是成等比數(shù)列的（ ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）A． B． C． D．已知實(shí)數(shù)滿足，那么實(shí)數(shù)是（ ）A．等差非等比數(shù)列 B．等比非等差數(shù)列C．既是等比又是等差數(shù)列 D．既非等差又非等比數(shù)列若成等比數(shù)列，則關(guān)于x的方程（ ）A．必有兩個(gè)不等實(shí)根 B．必有兩個(gè)相等實(shí)根C．必?zé)o實(shí)根 D．以上三種情況均有可能已知?jiǎng)t的等差中項(xiàng)為（ ）A． B． C． D．?dāng)?shù)列、都是等差數(shù)列，其中，那么前100項(xiàng)的和為（ ）A．0 B．100 C．10000 D．102400數(shù)列前n項(xiàng)的和為（ ）A． B． C． D． 第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)。（）=∴=.例3：一個(gè)等比數(shù)列的第9項(xiàng)是，公比是－，求它的第1項(xiàng).解：由題意得=,q=－∵=q8,∴=（－）,∴=2916答：它的第1項(xiàng)為2916.例4：一個(gè)等比數(shù)列的第2項(xiàng)是10，第3項(xiàng)是20，求它的第1項(xiàng)與第4項(xiàng).解：由已知得=10, =∵, ∴==5, =q=40.答：它的第1項(xiàng)為5，第4項(xiàng)為40.例5：已知：b是a與c的等比中項(xiàng)，且a、b、c同號(hào)，求證： 也成等比數(shù)列證明：由題設(shè)：b2=ac 得： ∴ 也成等比數(shù)列例6：已知是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，求證是等比數(shù)列.證明：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)是，公比為。（－3）=405.（2）∵q==2, = ∴==2∴=2=, =2=（3）∵q= ∴==（）∴=（）=, =（）=（4）∵q=12
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