數(shù)列公式匯總word版(存儲(chǔ)版)
【正文】 ，① 左右兩邊分別乘以 得： ，②①、②相減得： 于是 . 說(shuō)明：求和問(wèn)題要分析數(shù)列的項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，當(dāng)通項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積時(shí)，用錯(cuò)位相減法求和，此時(shí)要注意等比數(shù)列的公比是否為1（用字母表示公比時(shí)）.例2：已知 是等比數(shù)列 的前 項(xiàng)和，且有 求 的值. 分析：由兩個(gè)方程不能求出確定的 ，只能得到一個(gè)關(guān)系，所以應(yīng)采用整體代入的方法. 解：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為 ，公比為 ， 由 可知 ，故 兩式相除得 ，即 . 于是有 說(shuō)明：本題強(qiáng)調(diào)的是基本量思想與整體思想，整體思想往往是設(shè)而不求，整體替換.例3： 求數(shù)列 的24項(xiàng)的和. 分析： ，可用裂項(xiàng)法求和. 解： . 說(shuō)明：裂項(xiàng)法是求和的重要方法之一，要把數(shù)列的每一項(xiàng)分裂為兩項(xiàng)之差，求和時(shí)使得中間的大多數(shù)項(xiàng)互相抵消了.例4：設(shè) 是由正數(shù)組成的等比數(shù)列， 是其前 ： . 分析：先比較 與 的大小，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到所要證明的不等式. 證明：設(shè)等比數(shù)列 的首項(xiàng)為 ，公比為 . 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， ， ， 故有 . 說(shuō)明：解題中注意等比數(shù)列前 項(xiàng)和公式要對(duì)公比進(jìn)行分類；注意比較兩數(shù)大小的基本方法是比較法，特別是作差比較法，還要注意結(jié)合函數(shù)的有關(guān)知識(shí).例5： 已知數(shù)列 中， 且當(dāng) 時(shí)， . （1）求 的通項(xiàng)公式； ?。?）求證： 分析：該數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)是其前面所有項(xiàng)之和，于是通項(xiàng) 與一個(gè)和有關(guān)，所以引入前 項(xiàng)和. 解：（1）設(shè) ， 所以當(dāng) 時(shí)有 ，同時(shí)又 ，兩式相減得 ，于是 所以 是等比數(shù)列，公比為2. 因?yàn)?所以 ，故當(dāng) 時(shí)， , 所以 證明：（2） 說(shuō)明：在解題中注意項(xiàng)數(shù)的初始值，以及數(shù)列通項(xiàng)與和的相互轉(zhuǎn)化.第二章 數(shù)列 檢測(cè)題一、選擇題（每題5分，共50分）在數(shù)列中，則的值為（ ）A．49 B．50 C．51 D．52數(shù)列3，5，9，17，33，…的通項(xiàng)公式等于（ ）A． B． C． D．是成等比數(shù)列的（ ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）A． B． C． D．已知實(shí)數(shù)滿足，那么實(shí)數(shù)是（ ）A．等差非等比數(shù)列 B．等比非等差數(shù)列C．既是等比又是等差數(shù)列 D．既非等差又非等比數(shù)列若成等比數(shù)列，則關(guān)于x的方程（ ）A．必有兩個(gè)不等實(shí)根 B．必有兩個(gè)相等實(shí)根C．必?zé)o實(shí)根 D．以上三種情況均有可能已知?jiǎng)t的等差中項(xiàng)為（ ）A． B． C． D．?dāng)?shù)列、都是等差數(shù)列，其中，那么前100項(xiàng)的和為（ ）A．0 B．100 C．10000 D．102400數(shù)列前n項(xiàng)的和為（ ）A． B． C． D． 第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)。（）=∴=.例3：一個(gè)等比數(shù)列的第9項(xiàng)是，公比是－，求它的第1項(xiàng).解：由題意得=,q=－∵=q8,∴=（－）,∴=2916答：它的第1項(xiàng)為2916.例4：一個(gè)等比數(shù)列的第2項(xiàng)是10，第3項(xiàng)是20，求它的第1項(xiàng)與第4項(xiàng).解：由已知得=10, =∵, ∴==5, =q=40.答：它的第1項(xiàng)為5，第4項(xiàng)為40.例5：已知：b是a與c的等比中項(xiàng)，且a、b、c同號(hào)，求證： 也成等比數(shù)列證明：由題設(shè)：b2=ac 得： ∴ 也成等比數(shù)列例6：已知是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，求證是等比數(shù)列.證明：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)是，公比為。當(dāng)q=1時(shí), {}是常數(shù)列。 隱含：任一項(xiàng)“≠0”是數(shù)列｛｝成等比數(shù)列的必要非充分條件．3176。解：當(dāng)n≥2時(shí), （取數(shù)列中的任意相鄰兩項(xiàng)與（n≥2））為常數(shù)∴{}是等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差為p。 的通項(xiàng)公式為 ； 的通項(xiàng)公式為 ；（2）圖象法啟發(fā)學(xué)生仿照函數(shù)圖象的畫(huà)法畫(huà)數(shù)列的圖形．具體方法是以項(xiàng)數(shù) 為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng) 為縱坐標(biāo)，即以 為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)（以前面提到的數(shù)列 為例，做出一個(gè)數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在 軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)．從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢(shì)．（3）遞推公式法如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前n項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)題。等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用。等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)，進(jìn)一步熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式【難點(diǎn)】根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)觀察、歸納數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。是有窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列：，2，3，4，5，6…是無(wú)窮數(shù)列2）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小分：遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。分析：題中已給出的第1項(xiàng)即，遞推公式：解：據(jù)題意可知：，例3：已知， 寫(xiě)出前5項(xiàng)，并猜想． 解：法一： ，觀察可得 法二：由 ∴ 即 ∴ ∴ 二、等差數(shù)列1．等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）。例3：求等差數(shù)列3，7，11，……的第4項(xiàng)與第10項(xiàng).分析：根據(jù)所給數(shù)列的前3項(xiàng)求得首項(xiàng)和公差，寫(xiě)出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出所求項(xiàng).解：根據(jù)題意可知：=3,d=7－3=4.∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：=3+（n－1）4,即=4n－1（n≥1,n∈N*）∴=44－1=15, =410－1=39.評(píng)述：關(guān)鍵是求出通項(xiàng)公式.例4：求等差數(shù)列10，8，6，……的第20項(xiàng).解：根據(jù)題意可知：=10,d=8－10=－2.∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：=10+（n－1）（－2）,即：=－2n+12,∴=－2
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