【正文】 ．當然要做到這一點，必須以對知識的熟練掌握為前提．例4：在1和2之間插入2n個數(shù)，組成首項為末項為2的等差數(shù)列，若這個數(shù)列的前半部分的和同后半部分的和之比為9∶13，求插入的數(shù)的個數(shù)．解 依題意2＝1＋(2n＋2－1)d　　　　　　　　　　　?、儆散?，有(2n＋1)d=1 ⑤∴ 共插入10個數(shù)．例5：在等差數(shù)列{an}中，設前m項和為Sm，前n項和為Sn，且Sm＝Sn，m≠n，求Sm+n．且Sm＝Sn，m≠n∴Sm+n＝0例6：已知等差數(shù)列{an}中，S3=21，S6=64，求數(shù)列｛|an|｝的前n項和Tn．d，已知S3和S6的值，解方程組可得a1與d，再對數(shù)列的前若干項的正負性進行判斷，則可求出Tn來．解方程組得：d＝－2，a1＝9∴an＝9＋(n－1)(n－2)＝－2n＋11其余各項為負．數(shù)列{an}的前n項和為：∴當n≤5時，Tn＝－n2＋10n當n＞6時，Tn＝S5＋|Sn－S5|＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn∴Tn＝2(－25＋50)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50說明 根據(jù)數(shù)列{an}中項的符號，運用分類討論思想可求｛|an|｝的前n項和．例7： 在等差數(shù)列{an}中，已知a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前20項之和．解法一 由a6＋a9＋a12＋a15＝34得4a1＋38d＝34＝20a1＋190d＝5(4a1＋38d)=534=170由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a6＋a15=a9＋a12＝a1＋a20 ∴a1＋a20=17S20＝170例8：已知等差數(shù)列{an}的公差是正數(shù)，且a36．等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，那么稱這個數(shù)G為a與b的等比中項. 即G=177。（－3）∴=51已知公比為3的等比數(shù)列與數(shù)列滿足，且，（1）判斷是何種數(shù)列，并給出證明；（2）若，求數(shù)列的前n項和1已知等差數(shù)列的第二項為8，前10項和為185。（－3）=405.（2）∵q==2, = ∴==2∴=2=, =2=（3）∵q= ∴==（）∴=（）=, =（）=（4）∵q=1247。b≠0）7．等比數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+k，則在等比數(shù)列中，m+n=p+q，有什么關(guān)系呢？由定義得： ，則8．判斷等比數(shù)列的方法：定義法，中項法，通項公式法9．等比數(shù)列的增減性：當q1, 0或0q1, 0時, {}是遞增數(shù)列。a7=－12，由韋達定理可知：a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的二根解方程可得x1=－6，x2＝2∵ d＞0 ∴{an}是遞增數(shù)列∴a3＝－6，a7=2例9：等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若[ ]∵2a100＝a1＋a199，2b100＝b1＋b199解法二 利用數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件：Sn＝an2＋bn可設Sn＝2n2k，Tn＝n(3n＋1)k說明 該解法涉及數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件Sn=an2＋bn，由k是常數(shù)，就不對了．例10： 解答下列各題：(1)已知：等差數(shù)列{an}中a2＝3，a6＝－17，求a9；(2)在19與89中間插入幾個數(shù)，使它們與這兩個數(shù)組成等差數(shù)列，并且此數(shù)列各項之和為1350，求這幾個數(shù)；(3)已知：等差數(shù)列{an}中，a4＋a6＋a15＋a17＝50，求S20；(4)已知：等差數(shù)列{an}中，an=33－3n，求Sn的最大值．分析與解答a9=a6＋(9－6)d=－17＋3(－5)=－32(2)a1=19，an+2=89，Sn+2＝1350(3)∵a4＋a6＋a15＋a17=50又因它們的下標有4＋17＝6＋15=21∴a4＋a17=a6＋a15=25(4)∵an=33－3n ∴a1＝30∵n∈N，∴當n=10或n=11時，Sn取最大值165．例11：等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝m，前m項和Sm＝n(m＞n)，求前m＋n項和Sm+n．解法一 設{an}的公差d按題意，則有=－(m＋n)解法二 設Sx＝Ax2＋Bx(x∈N)①－②，得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m∵m≠n ∴ A(m＋n)＋B=－1故A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)即Sm+n＝－(m＋n)說明 a1，d是等差數(shù)列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解的“整體化”思想，在解有關(guān)數(shù)列題目中值得借鑒．解法二中，由于是等差數(shù)列，由例22，故可設Sx=Ax2＋Bx．(x∈N)例12： 在項數(shù)為2n的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項之和為75，各偶數(shù)項之和為90，末項與首項之差為27，則n之值是多少？解 ∵S偶項－S奇項=nd∴nd=90－75=15又由a2n－a1＝27，即(2n－1)d=27例13：在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝25，S9＝S17，問數(shù)列前多少項和最大，并求出最大值．解法一 建立Sn關(guān)于n的函數(shù)，運用函數(shù)思想，求最大值．∵a1=25，S17＝S9 解得d＝－2∴當n=13時，Sn最大，最大值S13＝169解法二 因為a1=25＞0，d＝－2＜0，所以數(shù)列{an}是遞減等∵a1＝25，S9＝S17∴an=25＋(n－1)(－2)=－2n＋27即前13項和最大，由等差數(shù)列的前n項和公式可求得S13=169．解法三 利用S9=S17尋找相鄰項的關(guān)系．由題意S9=S17得a10＋a11＋a12＋…＋a17=0而a10＋a17=a11＋a16=a12＋a15=a13＋a14∴a13＋a14＝0，a13=－a14 ∴a13≥0，a14≤0∴S13=169最大．解法四 根據(jù)等差數(shù)列前n項和的函數(shù)圖像，確定取最大值時的n．∵{an}是等差數(shù)列∴可設Sn＝An2＋Bn二次函數(shù)y=Ax2＋Bx的圖像過原點，