概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)_第三章(參考版)
2025-03-25 04:09本頁(yè)面
【正文】 本章作業(yè) 。 ? :20。15。 ? :12。 3 。()( zFzF YX ??}{1}{)(m i n zNPzNPzF ?????},{1}),{ m i n (1 zYzXPzYXP ???????}]{1[}]{1[1 zYPzXP ???????}{}{1 zYPzXP ?????)](1[)](1[1 zFzF YX ?????)](1[)](1[1)()()()(m i nm a xzFzFzFzFzFzFYXYX??????? 于是， 極大 (小 )分布 的分布函數(shù)為 特別 ,當(dāng) X,Y獨(dú)立且同分布時(shí) ,有 2m i n2m a x)](1[1)()]([)(zFzFzFzF???? 上述結(jié)果可推廣到有限個(gè)隨機(jī)變量情形 . ????????????????????? ????????????????????? ? :1。 (∞,+∞)上積分 。 【 例 4】 計(jì)算積分 思路 : 。0}1,3{ ????? YXP}3{}3{ ???? YXPZP.122}0,3{ ???? YXP□ 值得注意 :二項(xiàng)分布和泊松分布均具有 “ 可加性 ” ： ),(~),(~ 21 pnBYpnBX),(~ 21 pnnBYX ???)(~),(~ 21 ?? PYPX)(~ 21 ?? ??? PYX 設(shè) 連續(xù)型 隨機(jī)變量 (X,Y)的 概率密度 為 }{)( zZPzF Z ??),( yxf 則隨機(jī)變量 Z=X/Y的 分布函數(shù) 為： }/{ zYXP ??.),(/????zyxd x d yyxf???????yzdxyxfdy ),(0???????yzdyyxfdy ),(0二、商分布 Z=X/Y ???? ??21),(),(GGd x d yyxfd x d yyxf)),(( 2Ryx ?由廣義積分求導(dǎo)公式得： Z=X/Y的概率密度為 )()( zFzf ZZ ?? ???????yzdxyxfdydzd ),(0???????yzdyyxfdydzd ),(0??????????????yzyzdxyxfdzddydxyxfdzddy ),(),( 00????????00),(),( dyyyzyfdyyyzyf ?????? dyyyzfy ),(||?????? dyyyzfyzf Z ),(||)(即 商分布的概率密度 為： 于是 ,上述公式變?yōu)?: ydyfyzfyzf YXZ ?????? )()(||)( 特別，當(dāng) X與 Y相互 獨(dú)立 時(shí) ,幾乎處處有 : )()(),( yfxfyxf YX ??設(shè)隨機(jī)變量 X,Y相互獨(dú)立 ,且概率密度均為： ???????,0,1 00 0,1 00 0)( 2其它tttf求 Z=X/Y概率密度。122}2,2{ ????? YXP}1{}1{ ???? YXPZP。121}1,1{ ?????? YXP}1{}1{ ?????? YXPZP。且 }3{}3{ ?????? YXPZP。 (∞,+∞)上積分 。 計(jì)算積分 思路 : 。 考慮被積函數(shù)的非零區(qū)域 。 設(shè)隨機(jī)變量 X,Y相互獨(dú)立 ,且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 , 求 Z=X+Y的概率分布 . ),(21)( 22????????xexfxX ?所以由卷積公式得 Z=X+Y概率密度為 〖 解 〗 因?yàn)?X,Y獨(dú)立且其概率密度分別為 ??????? dxxzfxfzf YXZ )()()( ?????????? dxeexzx2)(22221?【 例 1】 ),(21)( 22????????yeyfyY ? z在 (∞,+∞)上取值 。 ? 對(duì)上述各分段中取定的 z值 ,就 x從 ∞積分至 +∞,實(shí)際只需在非零區(qū)域 D上一段積分 . ? 卷積計(jì)算思路 ? 在 xoz平面上確定被積函數(shù)及其非零區(qū)域 D。 主要就 連續(xù)型 隨機(jī)變量 (X,Y)來(lái)根據(jù)具體情況應(yīng)用 公式 : .),(}),{( ????Gd x d yyxfGYXP 至于 離散型 隨機(jī)變量情形可參照處理 . )()( zFzf ZZ ?? dxdyyxfdzd xz ]),([? ?????????dxdyyxfdzd xz ]),([? ????????? dxxzxf??????? ),( 由 對(duì)稱性 得： .),(),()( ?????????????? dyyyzfdxxzxfzf Z 因此 ,由 聯(lián)合概率密度 求 和分布 Z=X+Y的概率密 度 公式為： .),()( ??????? dyyyzfzf Z 特別，當(dāng) X與 Y相互 獨(dú)立 時(shí) ,幾乎處處有 : )()(),( yfxfyxf YX ??于是 ,上述公式變?yōu)?卷積公式 : YXYXYXZ ffdyyfyzfdxxzfxfzf *)()()()()(?????????????? ?? 因此 ,一般 可由 X與 Y的聯(lián)合概率密度求和分布 Z=X+Y的概率密度 。 主要就 連續(xù)型 隨機(jī)變量 (X,Y)來(lái)根據(jù)具體情況應(yīng)用 公式 : .),(}),{( ????Gd x d yyxfGYXP 至于 離散型 隨機(jī)變量情形可參照處理 . 167。10,2其它xx再先條件概率密度：當(dāng) 時(shí)， 10 ?? x)(),()|(| xfyxfxyfXXY ?????? ??.,0,||,21其它xyx□ 167。 )|(| xyf XY 〖 解 〗 先求邊緣概率密度： ?????? dyyxfxf X ),()(???????? ??其它,0。 例 1續(xù) □ )(),()|(| yfyxfyxfYYX ? 定義 2 設(shè)連續(xù)型二維隨機(jī)變量 (X,Y)的概率密 度為 ，邊緣概率密度為 ，則當(dāng) 時(shí)，稱 ),( yxf )(),( yfxf YX0)( ?yfY為 在條件 下 X的條件概率密度 ；當(dāng) 時(shí)，稱 yY?0)( ?xf X)(),()|(| xfyxfxyfXXY ?為 在條件 下 Y的條件概率密度 xX ?二、連續(xù)型二維隨機(jī)變量的條件概率密度 【 例 2】 設(shè) Y的聯(lián)合概率密度為 ??? ????,0。 為 在 條件下 Y的條件分布律 。(21)( 21212)(1?????????xexfxX???? 兩個(gè) 邊緣概率密度 為 二維正態(tài)分布與邊緣分布 ).(21)( 22222)(2?????????yeyfxY????167。 ?????2),(}{ 2xyd x d yyxfXYPdxex?????10222121??
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