【正文】 ? 反對(duì)稱， ? 對(duì)稱。 I。, 21212211 NNNN sssrrrsrsrsr ????????? （（（ ????若是 Fermi 子體系，則 ? 應(yīng)是反對(duì)稱化的。波函數(shù)的反對(duì)稱化保證了全同 Fermi 子體系的這一重要性質(zhì)。此行列式稱為 Slater 行列式。行列式展開后，每一項(xiàng)都是單粒子波函數(shù)乘積形式， 因而 ?A 是 本征方程 H ? = E ? 的解 . II。 如上例，求體系可能狀態(tài)總數(shù)的問題實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)從 3 個(gè)狀態(tài)中每次取 3 個(gè)狀態(tài)的重復(fù)組合問題。 )]()())()())()()[!3 !0!1!2), 122131223111322111321210 qqqqqqqqqqqqS ????????? （（（（ ???? 另外還有 5 種可能的狀態(tài)，分別是： n1=1， n2=0， n3=2 )]()())()())()()[!3 !2!0!1), 132331331321332311321102 qqqqqqqqqqqqS ????????? （（（（ ????n1=0， n2=1， n3=2 )]()())()())()()[!3 !2!1!0), 132332331322332312321012 qqqqqqqqqqqqS ????????? （（（（ ????n1=0， n2=2， n3=1 )]()())()())()()[!3 !1!2!0), 132232233212332212321021 qqqqqqqqqqqqS ????????? （（（（ ????n1=1， n2=2， n3=0 )]()())()())()()[!3 !0!2!1), 122231321221322211321120 qqqqqqqqqqqqS ????????? （（（（ ????n1=2， n2=0， n3=1 )]()())()())()()[!3 !1!0!2), 132131233111332111321201 qqqqqqqqqqqqS ????????? （（（（ ????附注： 關(guān)于重復(fù)組合問題 從 m 個(gè)不同元素中每次取 n 個(gè)元素（元素可重復(fù)選?。┎还芘帕许樞驑?gòu)成一組稱為重復(fù)組合，記為： （ m 可大于、等于或小于 n ） nmC~)!1(!)!1(1~??????? mnnmCC nnmnm重復(fù)組合與通常組合不同，其計(jì)算公式為： 通常組合計(jì)算公式： )!(!!nmnmC nm ??重復(fù)組合計(jì)算公式表明： 從 m個(gè)不同元素中每次取 n個(gè)元素的重復(fù)組合的種數(shù)等于從（ m+n1）個(gè)不同元素中每次取 n個(gè)元素的普通組合的種數(shù)。 n1=3， n2=n3=0 n2=3， n1=n3=0 n3=3， n2=n1=0 )()()), 312111321300 qqqqqqS ???（（ ??)()()), 322212321030 qqqqqqS ???（（ ??)()()), 332313321003 qqqqqqS ???（（ ??III。 )]()())()())()())()())()())()()[31),233211331221132231231231133221332211321111qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqS??????????????????（（（（（（（???????I。所以 ? (q1,q2) 和 ? (q2,q1) 不能用來描寫全同粒子體系。.)2,1()( ?nq ni?（一） 2 個(gè)全同粒子波函數(shù) III 交換簡(jiǎn)并 粒子 1 在 i 態(tài)，粒子 2 在 j 態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為： ?????????)()(), 2121 qqqqEjiji????（驗(yàn)證： ),),?2121 qqEqqH （（ ???粒子 2 在 i 態(tài)，粒子 1 在 j 態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為： ?????????)()(), 1212 qqqqEjiji????（。 子粒子）是（（氘核）和例如： B o s eHeH ?242121偶數(shù)個(gè) Fermi 子組成 Bose 子組成 子是（氚核）和例如： F e r m iHeH 132131奇數(shù)個(gè) Fermi子組成 奇數(shù)個(gè) Fermi子組成 （一） 2 個(gè)全同粒子波函數(shù) （二） N 個(gè)全同粒子體系波函數(shù) （三） Pauli 原理 167。 （ 3）由“基本粒子”組成的復(fù)雜粒子 如： ? 粒子（氦核）或其他原子核。 （四） Fermi 子和 Bose 子 （ 2） Fermi 子 凡自旋為 ? 半奇數(shù)倍（ s =1/2， 3/2， ……) 的粒子，其多粒子波函數(shù)對(duì)于交換 2 個(gè)粒子總是反對(duì)稱的，遵從 Fermi 統(tǒng)計(jì)，故稱為 Fermi 子。 實(shí)驗(yàn)表明：對(duì)于每一種粒子，它們的多粒子波函數(shù)的交換對(duì)稱性是完 全確定的，而且該對(duì)稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。交換對(duì)稱性不隨時(shí)間改是守恒量，即ijij H ???? ?0?,??全同粒子體系哈密頓量是對(duì)稱的 結(jié)論： 描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對(duì)稱的或反對(duì)稱的，其對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。 同理可證： t 時(shí)刻是反對(duì)稱的波函數(shù) ?a ，在 t 以后任何時(shí)刻都是反對(duì)稱的。 是對(duì)稱的。本征值反對(duì)稱波函數(shù)是的本征態(tài)；本征值對(duì)稱波函數(shù)是，所以1?1?1???????????ijij全同粒子體系波函數(shù)的這種對(duì)稱性不隨時(shí)間變化，即初始時(shí)刻是對(duì)稱的，以后時(shí)刻永遠(yuǎn)是對(duì)稱的； 初始時(shí)刻是反對(duì)稱的，以后時(shí)刻永遠(yuǎn)是反對(duì)稱的。 因此，二者相差一常數(shù)因子。 （二）波函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì) （ 2）對(duì)稱和反對(duì)稱波函數(shù) 考慮全同粒子體系的含時(shí) Shrodinger 方程 ),(),(?),(212121tqqqqqtqqqqqHtqqqqqtiNjiNjiNji???????????????將方程中（ q i , q j ) 調(diào)換，得： ),(),(?),(212121tqqqqqtqqqqqHtqqqqqtiNijNijNij???????????????由于 Hamilton 量對(duì)于 （ q i , q j ) 調(diào)換 不變 ),(),(? 2121 tqqqqqtqqqqqH NijNji ?????? ??表明： （ q i , q j ) 調(diào)換前后的波函數(shù)都是 Shrodinger 方程的解。為第其中 isrqqqVtqUtqqqqqHiiijiNjiiiNiNji},{),(),(2),(? 22121????????????? ???? ???? ?調(diào)換第 i 和第 j 粒子， 體系 Hamilton 量不變。 全同性原理是量子力學(xué)的基本原理之一。因?yàn)槎Ｗ釉谶\(yùn)動(dòng)中，有各自確定的軌道，在任意時(shí)刻都有確定的位置和速度。 6 全同粒子的特性 返回 （ 1）全同粒子 質(zhì)量、 電荷、自旋等固有性質(zhì)完全相同的微觀粒子。 ???????????????????????????????2121212121212121212121212121212121212121,|12,|12,|,|12,|12,|mlnlmlmlnlmlmllnmlnlmlmlnlmlmlln上述討論適用于 ? 0的情況，當(dāng) ? = 0時(shí)，沒有自旋軌道耦合作用，因而能級(jí)不發(fā)生移動(dòng)。在該態(tài)的矩陣元已是對(duì)角化的了 。 鈉原子 2P 項(xiàng)的精細(xì)結(jié)構(gòu) drrrrRr nl 220)()()( ?? ????? drr rRcZe nl )(220222 ????2221343222)1)((2 ealllnZace??????? 其中關(guān) 于 上 式 積 分 具 體 計(jì) 算 參 見 . Condon and . Shortley, The Theory of Atomic Spectra, . 原能級(jí)分裂為： 精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)。 例 : 鈉原子 2p 項(xiàng)精細(xì)結(jié)構(gòu) 求 ξ (r) 322222212121)()(rcZedrdVrcrrZerV??? ????則若212123212212212232211,0,12,1,22,1,22,0,2SjlnPjlnPjlnSjln????????????5890197。 2. 精細(xì)結(jié)構(gòu) 對(duì)給定的 n, ? 值， j=?177。 令： ?? ? mjlnCljmljm ,|?展開系數(shù)滿足如下方程： 0][ )1(, ??? ??????? ljmmmjjllnljmmjlljmCEH ???其中 矩陣元 ???????? ??? mjlnHmjlnH ljmmjl ,|?|, 2121,下面我們計(jì)算此矩陣元 ???????? ??? mjlnHmjlnH ljmmjl ,|?|, 2121,??????? ??? mjlSLmjldrrRrR nlln ,|??|,)( 21212*0?????????????? mjlLJmjlnlrln ,|]??[|,|)(| 21243222121 ??????????????? mjlmjllljjnlrln ,|,])1()1([|)(| 212124321 ??mmjjlllljjnlrnl ?????????? ???? 24321 ])1()1([|)(| ?mmjjllnljH ????? ???其中： 243212202*0])1()1([|)(|)()(|)(|????????????? ????lljjnlrnlHdrrrRdrrRrRnlrnln l jnlnlnl????代入關(guān)于Cljm的方程得： 0][ )1( ??? nn lj EH于是0][0][)1()1(???????????????mjlnjlnljmmmjjllnn l jljmCEHCEH ???為書寫簡(jiǎn)捷將 l’j ’ m’ 用 l j m 代替 0][ )1( ??? l jmnn l j CEH由于 Cljm ≠ 0 ， n ljn ljn HEE ??? )1()1(所以能量一級(jí)修正 24321 ])1()1([|)(| ???????? lljjnlrnl ?（ 3） 光譜精細(xì)結(jié)構(gòu) 1. 簡(jiǎn)并性 由上式給出的能量一級(jí)修正可以看出， LS耦合使原來簡(jiǎn)并能級(jí)分裂開來，簡(jiǎn)并消除，但是是部分消除。對(duì)角化 。為方便計(jì) ， 我們選取耦合表象波函數(shù)作為零級(jí)近似波函數(shù) 。 （ 2） 微擾法求解 ?? EHH ??? )??( 0本征方程因?yàn)? H0的本征值是簡(jiǎn)并的，因此需要使用簡(jiǎn)并微擾法求解。 現(xiàn)在好量子數(shù)是 l, j, m ，這是因?yàn)槠湎鄳?yīng)的力學(xué)量算符 L2, J2, Jz 都與 H 對(duì)易的緣故。通過一么正變換相聯(lián)系與 ),(),( zmn l mzn l j m srsrsl???? ??（ 1） Hamilton 量 基于相對(duì)論量子力學(xué)和實(shí)驗(yàn)依據(jù)， LS自旋軌道作用可以表示為： SLrSLdrdVrcH????????? )(??12 1? 22 ??稱為自旋 軌道耦合項(xiàng) （二）有自旋軌道相互作用情況 于是體系Hamilton量 SLrrVHHH ??? ????????? )()(2??? 220 ?? 由于 H 中包含有自旋 軌道耦合項(xiàng)，所以 Lz, Sz與 H 不再對(duì)易。 （一）復(fù)習(xí)類氫原子能譜（無自旋軌道作用） （ 2） 耦合表象 電子總角動(dòng)量 SLJ ??? ??? ??因?yàn)? L2, S2, J2, Jz 兩兩對(duì)易且與 H0 對(duì)易，故體系定態(tài)也可寫成它們得共同本征函數(shù)： ???? mjlnsurRsr zljmnlzn l j m ,|),()(),( 21????耦合表象基矢