【正文】 離散系統(tǒng)的 E算子分析 離散系統(tǒng)的 算子分析1010( ) ( 1 ) ( )( ) ( 1 ) ( )nmmy k a y k a y k nb f k b f k b f k m??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 已知單輸入－單輸出 LTI離散系統(tǒng)的激勵(lì)為 f(k)，其全響應(yīng)為 y(k)，那么，描述該系統(tǒng)激勵(lì) f(k)與響應(yīng)y(k)之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是 n階常系數(shù)線性差分方程，表示如下： 4. LTI離散系統(tǒng)的差分方程 （ 3）因果性： 信號(hào)與系統(tǒng) 169。 （ 1） 線性：包括以下三個(gè)方面： 若 則 信號(hào)與系統(tǒng) 169。 （ 3）完全響應(yīng) y(k)： 線性時(shí)不變因果系統(tǒng)的性質(zhì)： （ 2）零狀態(tài)響應(yīng) yf (k): （ 2）時(shí)不變性： )()( kykf f?).()( 00 kkykkf f ???由初始狀態(tài)和輸入共同產(chǎn)生的響應(yīng)稱為完全響應(yīng)。()()( kykyky fx ?? 描述： LTI離散系統(tǒng)的基本概念 復(fù)習(xí) 信號(hào)與系統(tǒng) 169。設(shè)初始時(shí)刻為 k0=0，系統(tǒng) 初始狀態(tài) 通常指： （對(duì) n階系統(tǒng)）。所以系統(tǒng)的 單位序列響應(yīng) 為： ( ) [ 1 4( 3 ) ] ( )kh k k?? ? ?信號(hào)與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 375頁(yè) ■ 電子教案 卷積和 ( ) 4 ( 1 ) 3 ( 2 ) 3 ( ) ( 1 ) ( 2 )y k y k y k f k f k? ? ? ? ? ? ?所以，圖示系統(tǒng)的差分方程為： k≥2時(shí)， (2)式的 零狀態(tài)響應(yīng) 化為齊次方程： ( ) 4 ( 1 ) 3 ( 2 ) 0 ( 3 )h k h k h k? ? ? ? ?初始狀態(tài) ： ( 1 ) ( 2 ) 0hh? ? ? ?迭代得： (0 ) 4 ( 1 ) 3 ( 2 ) 3 3h h h? ? ? ? ? ?( 1 ) 4 (0 ) 3 ( 1 ) 1 1 1h h h? ? ? ? ?由 (2)得： ( ) 4 ( 1 ) 3 ( 2 ) 3 ( ) ( 1 )h k h k h k k k??? ? ? ? ? ? ?信號(hào)與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 374頁(yè) ■ 電子教案 卷積和 例 7: 求圖示系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 373頁(yè) ■ 電子教案 卷積和 （ 3）如果想 10個(gè)月還清貸款，需要滿足 y(9) ≤0。 k從 0開始計(jì)算，所以還清貸款需要 23個(gè)月。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 371頁(yè) ■ 電子教案 卷積和 齊次解： ( ) ( 1 ) ( )khy k C k????特解： ()py k P?( ) ( ) ( ) ( 1 ) [ 10 .1 ] ( 1 )kkhp NNy k y k y k C P N?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( 1 ) 1 0y ??初始條件： 迭代得： (0 ) ( 1 ) 1 1 0 . 1 9 . 6y y N N?? ? ? ? ? ?（ ＋ ）全解： 代入初始條件： (0 ) 9 . 6y C P? ? ?特解代入得： 10 0 50NPN?? ? ?信號(hào)與系統(tǒng) 169。 （ 1）列出 y(k)的差分方程。 解： (1) 如每月還款 N=，求 y(k)。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 370頁(yè) ■ 電子教案 卷積和 例 6: 某人向銀行貸款 M=10萬(wàn)元，月利率 β=1%，他定期于每月初還款數(shù)為 f(k)，尚未還清的款數(shù)為 y(k)，列出 y(k)的方程。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 369頁(yè) ■ 電子教案 卷積和 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h k k h k k N N h k k? ? ?? ? ? ?如 圖 所 示 的 復(fù) 合 系 統(tǒng) 由 3 個(gè) 子 系 統(tǒng) 組 成 ， 它 們 的 單 位 序 列 響 應(yīng)分 別 為 ， ， 為 常 數(shù) ， ，求 復(fù) 合 系 統(tǒng) 的 單 位 序 列 響 應(yīng) 。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 367頁(yè) ■ 電子教案 卷積和 特征方程： 2 4 4 0??? ? ?特征根： 12 2??? ? ?（ 2）齊次解 齊次解： 12( ) ( ) ( 2 ) khh k C k C? ? ?12( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) 1 , 0khph k h k h k C k C k? ? ? ? ? ? ?（ 3）零狀態(tài)響應(yīng)全解 代入 初始條件 ： 2(0 ) 1 9hC? ? ?12( 1 ) 2 ( ) 1 2 7h C C? ? ? ? ? ?信號(hào)與系統(tǒng) 169。 ( ) ( ) 4 ( 1 ) 4 ( 2 )f k k k k? ? ?? ? ? ? ?( ) 9 ( )fy k k??由題意知： ( ) 信號(hào)與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 364頁(yè) ■ 電子教案 卷積和 102,PP? 任 意解得： （ 4）求零狀態(tài)響應(yīng) 1 2 1 01 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 2k k kf f h py k y k y k C C P k P? ? ? ? ? ?1 2 0( 0 ) 1fy C C P? ? ? ?1 2 1 01 1 1 5( 1 ) ( )2 4 2 4fy C C P P? ? ? ? ?代入 初始條件 得： 2 1 010C C P? ? ?，解得： 所以，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為： 11( ) ( ) 2 ( ) 042kkfy k k k? ? ?，信號(hào)與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 363頁(yè) ■ 電子教案 卷積和 1211( ) ( ) ( )24kkfhy k C C??可解得 特征根 為： 1211,24????因此， 齊次解 為： (3) 求零狀態(tài)響應(yīng)的特解 1( ) ( ) ( )2kf k k??因?yàn)榧?lì) 的底數(shù)與特征根 λ 1相等。例 3: ()fk ()yk??∑D D3 / 41 / 8?解： (1) 求系統(tǒng)的差分方程： 31( ) ( ) ( 1 ) ( 2 )48y k f k y k y k? ? ? ? ?整理得： 31( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )48y k y k y k f k? ? ? ? ?( ) 信號(hào)與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 360頁(yè) ■ 電子教案 卷積和 1 8 1( ) ( ) ( ) [ ( 1 ) ( 2 ) ] , 02 3 6kkxfy k y k y k k? ? ? ? ? ? ? ?（ 3）系統(tǒng)的全響應(yīng)為： 的初始值代入，得將 )( ky f1622)1(1)0(2121???????????PPCCyPCCyff另外：61,34,2121 ???? PCC解以上三式得： )(]61)2(34)1(21[)( kky kkf ???????于是系統(tǒng)的 零狀態(tài)響應(yīng) 為： 信號(hào)與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 358頁(yè) ■ 電子教案 卷積和 4,1 21 ??? CC解以上兩式得： ( ) [ ( 1 ) 4 ( 2 ) ] , 0kkxy k k? ? ? ? ?于是系統(tǒng)的 零輸入響應(yīng) 為： 所以其齊次解為： 0,)2()1()( 21 ????? kCCky kkx將 初始值 代入得： 12121( 1 ) ( 1 ) 121( 2 ) ( 2 ) 04xxy y C Cy y C C? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?信號(hào)與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 357頁(yè) ■ 電子教案 卷積和 應(yīng)。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 355頁(yè) ■ 電子教案 0212 k? )(a )(1 if )(2 if31 0212 k? 33 1)(b )(2 if ?2?21?0 k3? 31 )(c解法 III： （圖解法） ?????????iikfifkfkf )()()()( 2121 0212i?)(kf3114 k3 1)2(2 if ??2312?5? 4? 3? 0121? 32? 488021? 311 )1(2 if ??231 2?4? 3? 0212? 311 )(2 if ?2312?3? 0212? 311 )1(2 if ?32? 0212? 311 )2(2 if ?2312?0212? 311 )3(2 if ?232?0212? 311 )4(2 if ?2312?44)(1 if)(1 if )(1 if )(1 if)(1 if)(1 if)(1 if ii i ii 卷積和 信號(hào)與系統(tǒng) 169。的圖形如圖所示，求和已知序列 )()()()( 2121 kfkfkfkf ?例 1 ??????????????????????30312418081310)()(21kkkkkkkkfkf解法 I： （列表法） 卷積和 信號(hào)與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 352頁(yè) ■ 電子教案 ( 1 ) : ( ) * ( ) ( ) * ( )f k k k f k?? ?( ) ( )if i k i??? ? ????()fk????????iikikk )()()(*)(:)3( ????()k??證明 : 卷積和 信號(hào)與系統(tǒng) 169。(*)()(*)()5( 121211 kkfkfkfkkf ???)(*)()(*)()6( 12212211 kkfkkfkkfkkf ?????)(*)()(*)( 22112121 kfkkkfkkkfkf ?????? 卷積和 常用卷積和公式 求 卷積和 是本章的重點(diǎn)。()(*)()3( kkk ??? ?)。()(*)()1( kfkkf ??)。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 350頁(yè) ■ 電子教案 卷積和 2. 復(fù)合系統(tǒng)的單位序列響應(yīng) 1 ()hk2 ()hk∑()fk ()yk?12( ) ( ) ( )h k h k h k??( a ) 并 聯(lián)1 ()hk 2 ()hk()fk ()yk1 2 2 1( ) ( ) * ( ) ( ) * ( )h k h k h k h k h k??( b ) 級(jí) 聯(lián)2 ()hk 1 ()hk()fk ()yk3. f(k)*δ(k) = δ(k) *f(k)=f(k)， f(k)*δ(k– k0) = f(k – k0) 4. f(k)*ε(k) = ????kiif )(5. f1(k – k1)* f2(k – k2) = f1(k – k1 – k2)* f2(k) 6. ?[f1(k)* f2(k)] = ?f1(k)* f2(k) = f1(k)* ?f2(k) 信號(hào)與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 349頁(yè) ■ 電子教案 卷積和 四、卷積和的性質(zhì) 1. 滿足乘法的三律 1 2 2 1( ) * ( ) ( ) * ( )f k f k f k f k?(1) 交換律： 1 2 3 1 2 1 3( ) * [ ( ) ( ) ] ( ) * ( ) ( ) * ( )f k f k f k f k f k f k f k? ? ?(2) 分配律： (3) 結(jié)合律： 1 2 3 1 2 3( ) * [ ( ) * ( ) ] [ ( ) * ( ) ] * ( )f k f k f k f k f k f k?證明 ： (僅證明交換律，其它類似。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 348頁(yè) ■ 電子教案 卷積和 3 ， 4， 0， 6 2 ， 1 ， 5 解 : ———————— 15 ， 20， 0， 30 3 ， 4， 0， 6 6 ， 8， 0， 12 + ———————————— 6 ， 11， 19， 32， 6， 30 例 2 f1(k) ={0， 2 ， 1 ， 5， 0}