【正文】 湖南卷 ] 如圖 3 － 1 ，長(zhǎng)方體物體 E 在雨中沿面 P ( 面積為 S ) 的垂直方向作勻速移動(dòng)，速度為 v ( v 0) ，雨速沿 E 移動(dòng)方向的分速度為 c ( c ∈ R) ． E 移動(dòng)時(shí) 單位時(shí)間． ． ． ．內(nèi)的淋雨量包括兩部分： (1) P 或 P 的平行面 ( 只有一個(gè)面淋雨 ) 的淋雨量，假設(shè)其值與 | v － c | S 成正比，比例系數(shù)為110； (2) 其他面的淋雨量之和，其值為12. 記 y 為 E 移動(dòng)過(guò)程中的總淋雨量，當(dāng)移動(dòng)距離 d ＝ 100 ，面積 S ＝32時(shí)， (1) 寫(xiě)出 y 的表達(dá)式； (2) 設(shè) 0 v ≤ 10, 0 c ≤ 5 ，試根據(jù) c 的不同取值范圍，確定移動(dòng)速度 v ，使總淋雨量 y 最少． 圖 3 － 1 第 3講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 (1) 由題意知， E 移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量為320| v － c |＋12，故 y ＝100v????????320| v － c |＋12＝5v(3| v － c |＋ 10) ． (2) 由 (1) 知， 當(dāng) 0 v ≤ c 時(shí)， y ＝5v(3 c － 3 v ＋ 10) ＝5 ? 3 c ＋ 10 ?v－ 15 ； 當(dāng) c v ≤ 10 時(shí)， y ＝5v(3 v － 3 c ＋ 1 0) ＝3 ? 10 － 3 c ?v＋ 15. 故 y ＝????? 5 ? 3 c ＋ 10 ?v－ 15 ， 0 v ≤ c ，5 ? 10 － 3 c ?v＋ 15 ， c v ≤ 10. ① 當(dāng) 0 c ≤103時(shí)， y 是關(guān)于 v 的減函數(shù)．故當(dāng) v ＝ 10 時(shí)， ym i n＝ 20 －3 c2. ② 當(dāng)103 c ≤ 5 時(shí)，在 (0 ， c ] 上， y 是關(guān)于 v 的減函數(shù)；在 ( c, 10] 上， y 是關(guān)于 v 的增函數(shù)．故當(dāng) v ＝ c 時(shí)， ym i n＝50c. 第 3講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)建模、分段函數(shù)模擬的應(yīng)用．解決函數(shù)建模問(wèn)題，首要的問(wèn)題是弄清楚實(shí)際問(wèn)題的意義，其中變量是什么，求解目標(biāo)是什么，為了表達(dá)求解目標(biāo)需要解決什么問(wèn)題，這些問(wèn)題清楚了就可以把求解目標(biāo)使用一個(gè)變量表達(dá)出來(lái)．在函數(shù)模型中，含有絕對(duì)值的函數(shù)本質(zhì)上是分段函數(shù)，解決分段函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要先解決函數(shù)在各個(gè)段上的性質(zhì)，然后把各段上的性質(zhì)整合為函數(shù)在其整個(gè)定義域上的性質(zhì)． 第 3講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 例 4 [ 20 1 1 f (3)＝ (l og a 2 ＋ 2 － b )( l og a 3 ＋ 3 － b ) 0 ，所以函數(shù)的零點(diǎn)在 (2,3 ) 上，所以 n ＝ 2. 【點(diǎn)評(píng)】 函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根，都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合法是解決函數(shù)零點(diǎn)、方程根的分布、零點(diǎn)個(gè)數(shù)、方程根的個(gè)數(shù)的一個(gè)有效方法．在解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，既要注意利用函數(shù)的圖象，也要注意根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理、函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，把數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)． 第 3講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 已知函數(shù) f ( x ) ＝12 x2 － a ln x ( a ∈ R) ． (1 ) 若函數(shù) f ( x ) 在 x ＝ 2 處的切線方程為 y ＝ x ＋ b ，求 a ， b 的值； (2 ) 討論方程 f ( x ) ＝ 0 解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由． 【解答】 (1) 因?yàn)?f ′ ( x ) ＝ x －ax( x 0) ， 又 f ( x ) 在 x ＝ 2 處的切線方程為 y ＝ x ＋ b ， 所以????? 2 － a l n 2 ＝ 2 ＋ b ，2 －a2＝ 1 ，解得 a ＝ 2 ， b ＝－ 2l n 2. (2) 當(dāng) a ＝ 0 時(shí)， f ( x ) 在定義域 (0 ，＋ ∞ ) 上恒大于 0 ，此時(shí)方程無(wú)解． 當(dāng) a 0 時(shí)， f ′ ( x ) ＝ x －ax0 在 (0 ，＋ ∞ ) 上恒成立， 所以 f ( x ) 在定義域 (0 ，＋ ∞ ) 上為增函數(shù)． 第 3講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 因?yàn)?f (1) ＝120 ， f????????e1a＝12e2a－ 1 0 ，所以方程有唯一解． 當(dāng) a 0 時(shí)， f ′ ( x ) ＝ x －ax＝x2－ ax＝? x ＋ a ?? x － a ?x， 因?yàn)楫?dāng) x ∈ (0 ， a ) 時(shí)， f ′ ( x ) 0 ， f ( x ) 在 (0 ， a ) 內(nèi)為減函數(shù)； 當(dāng) x ∈ ( a ，＋ ∞ ) 時(shí)， f ′ ( x ) 0 ， f ( x ) 在 ( a ，＋ ∞ ) 內(nèi)為增函數(shù)． 所以當(dāng) x ＝ a 時(shí)，有極小值，即最小值 f ( a ) ＝12a － a ln a ＝12a (1 － ln a ) ， 當(dāng) a ∈ (0 ， e) 時(shí)， f ( a ) ＝12a (1 － ln a ) 0 ，此方程無(wú)解； 當(dāng) a ＝ e 時(shí)， f ( a ) ＝12a (1 － ln a ) ＝ 0. 此方程有唯一解 x ＝ a ， 當(dāng) a ∈ (e ，＋ ∞ ) 時(shí)， f ( a ) ＝12a (1 － ln a ) 0 ， 因?yàn)?f (1) ＝120 且 1 a ，所以方程 f ( x ) ＝ 0 在區(qū)間 (0 ， a ) 上有唯一解， 第 3講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 因?yàn)楫?dāng) x 1 時(shí)， ( x － ln x ) ′ 0 ，所以 x － ln x 1 ， 所以 x l n x ， f ( x ) ＝12x2－ a ln x 12x2－ ax . 因?yàn)?2 a a 1 ，所以 f (2 a )12(2 a )2－ 2 a2＝ 0 ， 所以方程 f ( x ) ＝ 0 在區(qū)間 ( a ，＋ ∞ ) 上有唯一解． 所以方程 f ( x ) ＝ 0 在區(qū)間 (0 ，＋ ∞ ) 上有兩解． 綜上所述：當(dāng) a ∈ [0 ， e ) 時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng) a 0 或 a ＝ e 時(shí)，方程有唯一解；當(dāng) a e 時(shí)方程有兩解． 【點(diǎn)評(píng)】 含有參數(shù)的方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，需要重點(diǎn)研究三個(gè)方面的問(wèn)題：一是函數(shù)的單調(diào)性；二是函數(shù)極值點(diǎn)的值的正負(fù)；三是區(qū)間端點(diǎn)的值的正負(fù)． 第 3講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)二 二分法求方程的近似解 例 2 用二分法求方程 ln x ＝ 1x 在 [1 ,2 ] 上的近似解，取中點(diǎn) c ＝ 1 .5 ，則下一個(gè)有根區(qū)間是 ________ ． 【點(diǎn)評(píng)】 用二分法求方程近似解時(shí)，每一次取中點(diǎn)后，下一個(gè)有根區(qū)間的判斷原則是：若中點(diǎn)函數(shù)值為零，則這個(gè)中點(diǎn)就是方程的解，若中點(diǎn)函數(shù)值不等于零，則下一個(gè)有根區(qū)間是和這個(gè)中點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)的區(qū)間．在用二分法求方程的近似解時(shí)，有時(shí)需要根據(jù)精確度確定近似解，如下面的變式． 【分析】 只要計(jì)算三個(gè)點(diǎn) x ＝ 1,1 .5,2 的函數(shù)值，然后根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在定理進(jìn)行判斷即可． [,2] 【解析】 令 f ( x ) ＝ ln x －1x， f (1) ＝－ 1 0 ， f (2) ＝ l n 2 －12＝ ln2e l n 1 ＝ 0 ， f () ＝ l n －23＝13(l n 3－ 2) ； 因?yàn)?3＝ ， e2 4 3，故 f () ＝13(l n 3－ 2)13(l n e2－ 2) ＝ 0 ， f () 天津卷 ] 對(duì)實(shí)數(shù) a 和 b ，定義運(yùn)算 “ ? ” ： a ? b ＝??? a ， a － b ≤ 1 ，b ， a － b 1.設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝ ( x2－ 2) ? ( x － x2) ， x ∈ R ，若函數(shù) y ＝ f ( x ) － c 的圖象與 x 軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) c 的取值范圍是 ( ) A ． ( － ∞ ，－ 2] ∪????????－ 1 ，32 B ． ( － ∞ ，－ 2] ∪????????－ 1 ，－34 C.????????－ 1 ，14∪????????14，＋ ∞ D.????????－ 1 ，－34∪????????14，＋ ∞ (2) [ 201 1 f ( c ) 0 ，則令 b ＝ c ( 此時(shí)零點(diǎn) x0∈ ( a ， c )) ； ( 3) 若 f ( c ) 北京卷 ] 設(shè) A (0,0 ) ， B (4,0 ) ， C ( t ＋ 4,4 ) ， D ( t, 4)( t ∈ R) ．記 N ( t )為平行四邊形 ABCD 內(nèi)部 ( 不含邊界 ) 的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則函數(shù) N ( t ) 的值域?yàn)?( ) A ． { 9,1 0,1 1} B ． { 9,1 0,1 2} C ． { 9,1 1,1 2} D ． { 10, 1 1,1 2} 【解析】 C 顯然四邊形 ABCD 內(nèi)部 ( 不包括邊界 ) 的整點(diǎn)都在直線 y ＝ k ( k＝ 1,2,3) 落在四邊形 ABCD 內(nèi)部的線段上，由于這樣的線段長(zhǎng)等于 4 ，所以每條線段上的整點(diǎn)有 3 個(gè)或 4 個(gè)，所以 9 ＝ 3 3 ≤ N ( t ) ≤ 3 4 ＝ 12. 第 2講 │ 教師備用例題 如圖 (1) ，圖 (2) ，當(dāng)四邊形 AB CD 的邊 AD 上有 5 個(gè)整點(diǎn)時(shí)， N ( t ) ＝ 9 ； 如圖 (3) ，當(dāng)四邊形 ABCD 的邊 AD 上有 2 個(gè)整點(diǎn)時(shí)， N ( t ) ＝ 11 ； 如圖 (4) ，當(dāng)四邊形 ABCD 的邊 AD 上有 1 個(gè)整點(diǎn)時(shí)， N ( t ) ＝ 12. 故應(yīng)選 C. 第 3講 函數(shù)與方程、函數(shù)的應(yīng)用 第 3講 函數(shù)與方程、函數(shù) 的應(yīng)用 主干知識(shí)整合 第 3講 │ 主干知識(shí)整合 1 ． 函數(shù)的零點(diǎn) 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系：由函數(shù)的零點(diǎn)的定義可知，函數(shù) y ＝ f ( x ) 的零點(diǎn)就是方程 f ( x ) ＝ 0 的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù) y ＝ f ( x )的圖象與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．所以，方程 f ( x ) ＝ 0 有實(shí)數(shù)根 ?函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖象與 x 軸有交點(diǎn) ? 函數(shù) y ＝ f ( x ) 有零點(diǎn)． 2 ． 二分法 用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟： 第一步：確定區(qū)間 [ a ， b ] ，驗(yàn)證 f ( a ) 天津卷 ] 已知 a ＝ 5log 2 3. 4 ， b ＝ 5log 4 3 .6 ， c ＝????????15log 3 ，則 ( ) A ． a b c B ． b a c C ． a c b D ． c a b C 【解析】 令 m ＝ log23. 4 ， n ＝ log43. 6 ， l ＝ log3103，在同一坐標(biāo)系下作出三個(gè)函數(shù)的圖象，由圖象可得 m l n ， 又 ∵ y ＝ 5x為單調(diào)遞增函數(shù)， ∴ a c b . 第 2講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 創(chuàng)新鏈接 2 抽象函數(shù)解題思路 所謂抽象函數(shù)問(wèn)題就是不給出函數(shù)的解析式，只給出函數(shù)滿足的一些條件的函數(shù)問(wèn)題，這類問(wèn)題的主要題型是推斷函數(shù)的其他性質(zhì)、研究特殊的函數(shù)值、解與函數(shù)的解析式有關(guān)的不等式等． 抽象函數(shù)問(wèn)題的難點(diǎn)就是沒(méi)有給出函數(shù)的解析式，需要我們根據(jù)函數(shù)滿足的一些已知條件推斷函數(shù)的性質(zhì)，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題，可以說(shuō)推斷函數(shù)性質(zhì)是我們解決抽象函數(shù)問(wèn)題的一個(gè)基本思想．如果是選擇題或者填空題可以找到滿足已知條件的具體函數(shù)，通過(guò)具體函數(shù)解決一般性問(wèn)題． 第 2講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 例 4 定義在 R 上的偶函數(shù) f ( x ) 滿足 f ( x ＋ 1) ＝－ f ( x ) 且 f ( x )在 [ － 1,0] 上是增函數(shù)，給出下列四個(gè)命題： ① f ( x ) 是周期函數(shù)；② f ( x ) 的圖象關(guān)于直線 x ＝ 1 對(duì)稱； ③ f ( x ) 在 [1,2] 上是減函數(shù)；④ f (2) ＝ f (0) ．其中正確命題的序號(hào)是 ____