【正文】 ∴∠DAB=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴CF=BD，∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC，即AC=CD﹣CF．【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質，菱形的性質的應用，主要考查學生的推理能力，注意：證明過程類似，題目具有一定的代表性，難度適中．　第50頁（共50頁）。=∠DAF，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，即①BD=CF，②AC=CF+CD．（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關系是AC=CF﹣CD，理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60176。連接CF．（1）如圖1，當點D在邊BC上時，求證：①BD=CF；②AC=CF+CD；（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖3，當點D在邊CB的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關系．【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；菱形的性質．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）根據(jù)已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60176。∠CBE+∠ACD=90176。AD與BE交于點F，連接CF．（1）求證：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的長．【考點】全等三角形的判定與性質；勾股定理．【專題】證明題．【分析】（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質可得AD=BD，再根據(jù)同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角邊角”證明△ADC和△BDF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BF=AC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得AC=2AE，從而得證；（2）根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AF=CF，然后根據(jù)AD=AF+DF代入數(shù)據(jù)即可得解．【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，∠BAD=45176。角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關鍵，（3）要注意符合條件的點F有兩個．　28．已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點．（1）如圖1，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是　AE∥BF　，QE與QF的數(shù)量關系式　QE=QF??；（2）如圖2，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數(shù)量關系，并給予證明；（3）如圖3，當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論是否成立？請畫出圖形并給予證明．【考點】全等三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線．【專題】壓軸題．【分析】（1）證△BFQ≌△AEQ即可；（2）證△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質求出即可；（3）證△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質求出即可．【解答】解：（1）AE∥BF，QE=QF，理由是：如圖1，∵Q為AB中點，∴AQ=BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ=90176。=2247。又∵BD=4，∴BE=4247。點D是角平分線上一點，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=60176。=150176。﹣150176。=150176。﹣∠BCD=180176。=30176?！唷鱀F1F2是等邊三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60176?！螰2DB=90176。F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60176。=90176?！螪CM+∠BCN=180176?！螩=90176。又∵∠CDE=∠BAC=60176。=60176。﹣∠B=90176。角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根據(jù)等邊三角形的性質求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；（2）根據(jù)旋轉的性質可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；（3）過點D作DF1∥BE，求出四邊形BEDF1是菱形，根據(jù)菱形的對邊相等可得BE=DF1，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點F1為所求的點，過點D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60176。點D是角平分線上一點，BD=CD=4，DE∥AB交BC于點E（如圖4）．若在射線BA上存在點F，使S△DCF=S△BDE，請直接寫出相應的BF的長．【考點】全等三角形的判定與性質．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）①根據(jù)旋轉的性質可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質可得∠ACD=60176?！螧=∠E=30176?！螮CD=∠ACB=45176?！摺?=∠PBC﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C，∴∠3=∠4，∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠BOP=∠PED=90176?！連O⊥AC，∴∠1=45176。根據(jù)AAS證△BPO≌△PDE即可；（2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；（3）設OP=CP=x，求出AP=3x，CD=x，即可得出答案．【解答】（1）證明：∵PB=PD，∴∠2=∠PBD，∵AB=BC，∠ABC=90176?！唷鱀EF為等邊三角形．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質．　26．一節(jié)數(shù)學課后，老師布置了一道課后練習題：如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90176。﹣α，∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF是等邊三角形．由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴∠ABF=∠CAF=60176。∵∠BAD+∠ABD=90176?！摺螧AC=90176。則∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，則∠DBF=∠FAE，利用“SAS”可判斷△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60176。而∠BAC=90176。時，AP平分∠CAB．故答案為：30．【點評】本題主要考查了基本作圖，角平分線的知識，解題的關鍵是熟記作圖的方法及等邊對等角的知識．　24．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．（1）求證：AF=DC；（2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論．【考點】全等三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；菱形的判定．【分析】（1）根據(jù)AAS證△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案；（2）得出四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質得出CD=AD，根據(jù)菱形的判定推出即可．【解答】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF=BD，∴AF=DC．（2）四邊形ADCF是菱形，證明：AF∥BC，AF=DC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵AC⊥AB，AD是斜邊BC的中線，∴AD=BC=DC，∴平行四邊形ADCF是菱形．【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的應用，主要考查學生的推理能力．　25．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90176?！唷螾AB=∠PAC=∠B=30176?！唷螪BA=∠CBA，∴BD平分∠CBA．【點評】本題考查了線段的垂直平分線的性質及三角形的內角和及基本作圖，解題的關鍵是了解垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．　21．如圖，BD是矩形ABCD的一條對角線．（1）作BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點E、F，垂足為點O．（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）求證：DE=BF．【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質；矩形的性質．【專題】作圖題；證明題．【分析】（1）分別以B、D為圓心，以大于BD的長為半徑四弧交于兩點，過兩點作直線即可得到線段BD的垂直平分線；（2）利用垂直平分線證得△DEO≌△BFO即可證得結論．【解答】解：（1）答題如圖：（2）∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵EF垂直平分線段BD，∴BO=DO，在△DEO和三角形BFO中，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴DE=BF．【點評】本題考查了基本作圖及全等三角形的判定與性質，了解基本作圖是解答本題的關鍵，難度中等．　22．如圖，點D在△ABC的AB邊上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC的平分線DE，交BC于點E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關系（不要求證明）．【考點】作圖—基本作圖；平行線的判定．【專題】作圖題．【分析】（1）根據(jù)角平分線基本作圖的作法作圖即可；（2）根據(jù)角平分線的性質可得∠BDE=∠BDC，根據(jù)三角形內角與外角的性質可