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華師大八級上第章全等三角形單元測試含答案解析(參考版)

2025-01-17 19:13本頁面
  

【正文】 ∴∠DAB=∠CAF,∵在△BAD和△CAF中,∴△BAD≌△CAF(SAS),∴CF=BD,∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC,即AC=CD﹣CF.【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定,等邊三角形的性質,菱形的性質的應用,主要考查學生的推理能力,注意:證明過程類似,題目具有一定的代表性,難度適中.  第50頁(共50頁)。=∠DAF,∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAF,∵在△BAD和△CAF中,∴△BAD≌△CAF,∴CF=BD,∴CF+CD=BD+CD=BC=AC,即①BD=CF,②AC=CF+CD.(2)解:AC=CF+CD不成立,AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關系是AC=CF﹣CD,理由是:由(1)知:AB=AC=BC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=60176。連接CF.(1)如圖1,當點D在邊BC上時,求證:①BD=CF;②AC=CF+CD;(2)如圖2,當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時,結論AC=CF+CD是否成立?若不成立,請寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關系,并說明理由;(3)如圖3,當點D在邊CB的延長線上且其他條件不變時,補全圖形,并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關系.【考點】全等三角形的判定與性質;等邊三角形的性質;菱形的性質.【專題】幾何綜合題;壓軸題.【分析】(1)根據(jù)已知得出AF=AD,AB=BC=AC,∠BAC=∠DAF=60176。∠CBE+∠ACD=90176。AD與BE交于點F,連接CF.(1)求證:BF=2AE;(2)若CD=,求AD的長.【考點】全等三角形的判定與性質;勾股定理.【專題】證明題.【分析】(1)先判定出△ABD是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質可得AD=BD,再根據(jù)同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE,然后利用“角邊角”證明△ADC和△BDF全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BF=AC,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得AC=2AE,從而得證;(2)根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DF=CD,然后利用勾股定理列式求出CF,再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AF=CF,然后根據(jù)AD=AF+DF代入數(shù)據(jù)即可得解.【解答】(1)證明:∵AD⊥BC,∠BAD=45176。角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質,熟練掌握等底等高的三角形的面積相等,以及全等三角形的面積相等是解題的關鍵,(3)要注意符合條件的點F有兩個. 28.已知,點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點(不與A,B重合),分別過A,B向直線CP作垂線,垂足分別為E,F(xiàn),Q為斜邊AB的中點.(1)如圖1,當點P與點Q重合時,AE與BF的位置關系是 AE∥BF ,QE與QF的數(shù)量關系式 QE=QF??;(2)如圖2,當點P在線段AB上不與點Q重合時,試判斷QE與QF的數(shù)量關系,并給予證明;(3)如圖3,當點P在線段BA(或AB)的延長線上時,此時(2)中的結論是否成立?請畫出圖形并給予證明.【考點】全等三角形的判定與性質;直角三角形斜邊上的中線.【專題】壓軸題.【分析】(1)證△BFQ≌△AEQ即可;(2)證△FBQ≌△DAQ,推出QF=QD,根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質求出即可;(3)證△AEQ≌△BDQ,推出DQ=QE,根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質求出即可.【解答】解:(1)AE∥BF,QE=QF,理由是:如圖1,∵Q為AB中點,∴AQ=BQ,∵BF⊥CP,AE⊥CP,∴BF∥AE,∠BFQ=∠AEQ=90176。=2247。又∵BD=4,∴BE=4247。點D是角平分線上一點,DE∥AB,∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=60176。=150176。﹣150176。=150176。﹣∠BCD=180176。=30176?!唷鱀F1F2是等邊三角形,∴DF1=DF2,∵BD=CD,∠ABC=60176?!螰2DB=90176。F1D∥BE,∴∠F2F1D=∠ABC=60176。=90176?!螪CM+∠BCN=180176?!螩=90176。又∵∠CDE=∠BAC=60176。=60176。﹣∠B=90176。角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB,然后求出AC=BD,再根據(jù)等邊三角形的性質求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離,然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答;(2)根據(jù)旋轉的性質可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面積相等證明;(3)過點D作DF1∥BE,求出四邊形BEDF1是菱形,根據(jù)菱形的對邊相等可得BE=DF1,然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點F1為所求的點,過點D作DF2⊥BD,求出∠F1DF2=60176。點D是角平分線上一點,BD=CD=4,DE∥AB交BC于點E(如圖4).若在射線BA上存在點F,使S△DCF=S△BDE,請直接寫出相應的BF的長.【考點】全等三角形的判定與性質.【專題】幾何綜合題;壓軸題.【分析】(1)①根據(jù)旋轉的性質可得AC=CD,然后求出△ACD是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質可得∠ACD=60176?!螧=∠E=30176?!螮CD=∠ACB=45176?!摺?=∠PBC﹣∠1,∠4=∠2﹣∠C,∴∠3=∠4,∵BO⊥AC,DE⊥AC,∴∠BOP=∠PED=90176?!連O⊥AC,∴∠1=45176。根據(jù)AAS證△BPO≌△PDE即可;(2)求出∠ABP=∠4,求出△ABP≌△CPD,即可得出答案;(3)設OP=CP=x,求出AP=3x,CD=x,即可得出答案.【解答】(1)證明:∵PB=PD,∴∠2=∠PBD,∵AB=BC,∠ABC=90176?!唷鱀EF為等邊三角形.【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質:判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”;全等三角形的對應邊相等.也考查了等邊三角形的判定與性質. 26.一節(jié)數(shù)學課后,老師布置了一道課后練習題:如圖,已知在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90176。﹣α,∴∠CAE=∠ABD,∵在△ADB和△CEA中,∴△ADB≌△CEA(AAS),∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE;(3)△DEF是等邊三角形.由(2)知,△ADB≌△CEA,BD=AE,∠DBA=∠CAE,∵△ABF和△ACF均為等邊三角形,∴∠ABF=∠CAF=60176。∵∠BAD+∠ABD=90176?!摺螧AC=90176。則∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,則∠DBF=∠FAE,利用“SAS”可判斷△DBF≌△EAF,所以DF=EF,∠BFD=∠AFE,于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60176。而∠BAC=90176。時,AP平分∠CAB.故答案為:30.【點評】本題主要考查了基本作圖,角平分線的知識,解題的關鍵是熟記作圖的方法及等邊對等角的知識. 24.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD的中點,過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F,連接CF.(1)求證:AF=DC;(2)若AB⊥AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結論.【考點】全等三角形的判定與性質;直角三角形斜邊上的中線;菱形的判定.【分析】(1)根據(jù)AAS證△AFE≌△DBE,推出AF=BD,即可得出答案;(2)得出四邊形ADCF是平行四邊形,根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質得出CD=AD,根據(jù)菱形的判定推出即可.【解答】(1)證明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∵E是AD的中點,AD是BC邊上的中線,∴AE=DE,BD=CD,在△AFE和△DBE中∴△AFE≌△DBE(AAS),∴AF=BD,∴AF=DC.(2)四邊形ADCF是菱形,證明:AF∥BC,AF=DC,∴四邊形ADCF是平行四邊形,∵AC⊥AB,AD是斜邊BC的中線,∴AD=BC=DC,∴平行四邊形ADCF是菱形.【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定,平行四邊形的判定,菱形的判定的應用,主要考查學生的推理能力. 25.(1)如圖(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90176?!唷螾AB=∠PAC=∠B=30176?!唷螪BA=∠CBA,∴BD平分∠CBA.【點評】本題考查了線段的垂直平分線的性質及三角形的內角和及基本作圖,解題的關鍵是了解垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等. 21.如圖,BD是矩形ABCD的一條對角線.(1)作BD的垂直平分線EF,分別交AD、BC于點E、F,垂足為點O.(要求用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫作法);(2)求證:DE=BF.【考點】作圖—基本作圖;線段垂直平分線的性質;矩形的性質.【專題】作圖題;證明題.【分析】(1)分別以B、D為圓心,以大于BD的長為半徑四弧交于兩點,過兩點作直線即可得到線段BD的垂直平分線;(2)利用垂直平分線證得△DEO≌△BFO即可證得結論.【解答】解:(1)答題如圖:(2)∵四邊形ABCD為矩形,∴AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∵EF垂直平分線段BD,∴BO=DO,在△DEO和三角形BFO中,∴△DEO≌△BFO(ASA),∴DE=BF.【點評】本題考查了基本作圖及全等三角形的判定與性質,了解基本作圖是解答本題的關鍵,難度中等. 22.如圖,點D在△ABC的AB邊上,且∠ACD=∠A.(1)作∠BDC的平分線DE,交BC于點E(用尺規(guī)作圖法,保留作圖痕跡,不要求寫作法);(2)在(1)的條件下,判斷直線DE與直線AC的位置關系(不要求證明).【考點】作圖—基本作圖;平行線的判定.【專題】作圖題.【分析】(1)根據(jù)角平分線基本作圖的作法作圖即可;(2)根據(jù)角平分線的性質可得∠BDE=∠BDC,根據(jù)三角形內角與外角的性質可
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