【正文】 P{X=i,Y=k}+k=i3k=i+1229。P{X=k,Y=i}, i=0,1,2,3, 4,k=0k=0i1i所以V的分布律為(3) P{U=i}=P{min(X,Y)=i}=P{X=i,Y179。i,Y=i}=229。 =229。μ1′,μ2′,…，μn′均服從兩點分布（參數(shù)為p），則X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,所以，X+Y服從參數(shù)為（2n,p)的二項分布.37(1) 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}； （2） 求V=max（X，Y）的分布律； （3） 求U=min（X，Y）的分布律； （4） 求W=X+Y的分布律.【解】（1）P{X=2|Y=2}=P{X=2,Y=2} P{Y=2}P{X=2,Y=2}==, =229。k248。247。2n246。248。248。247。247。k2nk=229。230。 knn230。232。pqi=0232。piqni231。231。n246。n246。P{X=i,Y=ki}i=0k=229。P{X=k}gP{Y=ik}k=0ik=0ii=229。p(k)q(ik)，i=0，1，2，….k=0i【證明】因X和Y所有可能值都是非負整數(shù)，所以{Z=i}={X+Y=i}={X=0,Y=i}U{X=1,Y=i1}ULU{X=i,Y=0}于是 P{Z=i}=229。248。232。235。249。230。180}gP{X4179。180}gP{X2179。（以小時計）近似地服從N（160，202）求其中沒有一只壽命小于180的概率.【解】設這四只壽命為Xi(i=1,2,3,4)，則Xi~N（160，202），從而P{min(X1,X2,X3,X4)179。其他239。0z1,239。故 f239。12z2,z179。236。其他239。,0z1,239。即 f239。112z,z179。dy=12z236。y2zy3247。1103231。230。103x2y2dxz=242。zy106y179。x2y2dxdy=242。 35 題15圖(3) 當z≥1時，（這時當y=103時，x=103z）（如圖b）F106Z(z)=242。2z232。23247。103106246。yz10106dxdy=103dy242。y179。z} YFZ(z)=242。lt。lt。x2,求Z=X/Y的概率密度.【解】如圖,Z的分布函數(shù)FZ(z)=P{Z163。1000239。dx242。242。Y}=x179。0,0x1,y0,其他. 34 題14圖(2) 方程a+2Xa+Y=0有實根的條件是 2D=(2X)24Y179。2239。1y/2239。239。20,其他。e,y1,【解】（1） 因fX(x)==237。12236。238。ey/2,fY（y）=237。=P(X=2,Y=), ，X在（0，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為1236。=P{X=1,Y=3}, 101010010故X與Y不獨立l（2） X與Y是否相互獨立？ 【解】（1）X和Y的邊緣分布如下表l(2) 因P{X=2}gP{Y=}=180。0,，2，3，4，5，從中任取三個，記這三個號碼中最小的號碼為X，最大的號碼為Y.（1） 求X與Y的聯(lián)合概率分布；（2） X與Y是否相互獨立？【解】（1） X與Y的聯(lián)合分布律如下表 33(2) 因P{X=1}gP{Y=3}=6161180。,yx1, fY(y)239。f(x,y)239。1239。,|y|x1, fY|X(y|x)==237。所以236。y1, ,239。242。239。242。236。+165。242。239。165。0,其他.求條件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）. 32 題11圖【解】fX(x)=+165。236。2238。238。1,239。y2,0163。2236。=239。165。0,其他.fY(y)=242。0,239。x163。4237。x2xydy=239。2124237。=239。165。x2cx2ydy=21c=1.得lc=214.(2) fX(x)=242。f(x,y)dxdy D=242。f(x,y)dxdy如圖242。242。+165。0,其他.（1） 試確定常數(shù)c；（2） 求邊緣概率密度.【解】（1） 242。y163。237。238。其他.238。ye,y0, =237。242。f(x,y)dx31yyx236。+165。0,238。237。xedy=236。237。+165。165。0其他.求邊緣概率密度.【解】fX(x)=242。237。238。y163。239。f(x,y)d x236。Y(y)=242。0,238。237。x163。242。=239。165。0,其他.求邊緣概率密度.【解】fX(x)=242。y163。x163。8e(4x+2y),x0,y0,238。x182。2F(x,y)236。(1e4x)(1e2yF（),x0,y0,238。.（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 30x，y）=236。0dx242。242。163。X)=f(x,y)dxdy如圖y242。0,238。25e5y,0x0,=237。180。15y=239。5e5y,y0,Y(y238。0,其他.而f)=236。1237。0,其他.求：（1） X與Y的聯(lián)合分布密度；（2） P{Y≤X}. 題6圖【解】（1） 因X在（0，）上服從均勻分布，所以X的密度函數(shù)為236。237。24x10dx242。242。Y163。4}=f(x,y)dxdy如圖bX+242。31028k(6xy)dydx=38 (3) P{X}=f(x,y)dxdy如圖ax(x,y)dxdy D1=0dx242。f(x,y)dydx=242。3165。2k(6xy)dydx=8k=1, 故 R=18（2） P{X1,Y3}=242。f(x,y)dxdy=242。242。+165。}；（4） 求P{X+Y≤4}.【解】（1） 由性質(zhì)有242。0,其他.（1） 確定常數(shù)k；（2） 求P{X＜1，Y＜3}；（3） 求P{Xamp。236。2(3x+4y012edxdy=(1e3)(1e8)187。2} =242。Y2}=P{0X163。0,其他(3) P{0163。238。012e=237。242。(1e3x=239。f(u,v)dudv236。x165。0Ae(3x+4y)dxdy=A12=1 得 A=12（2） 由定義，有F(x,y)=242。0242。f(x,y)dxdy=242。242。+165。2}.28【解】（1） 由242。1，0≤Yamp。 ,求：（1） 常數(shù)A；（2） 隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)；（3） P{0≤Xamp。（X，Y）的分布密度236。πππ,Y163。253。ππ,y163。236。0x163。F（x，y）=237。,0163。sinxsiny,0163。1}，試比較σ1與σ2的大小. (2006研考) 解： 依題意Xm1s1gN(0,1)，Ym2s2gN(0,1)，則P{Xm11}=P{Xm1s1Ym21s11，P{Ym21}=P{因為PXm11}PYm21}，即s2s2.P{Xm1s111s1}P{Ym1s21s2}，所以有s11s2，即s1s2.習題三，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與. 、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，. 27 （X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為ππ236。P{|Yμ2|amp。1}amp。1,54. 設隨機變量X服從正態(tài)分N（μ1,σ12),Y服從正態(tài)分布N(μ2,σ22)，且P{|Xμ1|amp。1239。18239。xamp。F(x)=237。0,239。x|1X1)P(1X1)+P(X=1)=x+15151+=(x+1)+2881681 8當x=1時，F(xiàn)(x)=P(X163。x,1X1)+P(X163。x,X=1)+P(X163。x)=P(X163。1時，P(X163。xamp。1時F（x）=0；而x≥1時F（x）=1 由題知P(1X1)=1115= 848x+1 2當1amp。1}出現(xiàn)的條件下，X在{1，1} (1997研考)【解】顯然當xamp。Xamp。e16l8l（2） Q=P(T16|T8)=P(T16)/P(T8)=8l=e e，P{X=1}=1/8，P{X=1}=1/{1amp。 t0238。2π234。π3249。165。(1y)3) (1995研考)25=242。1f1X(x)=π(1+x2),求Y=1x的密度函數(shù)fY(y).【解】FY(y)=P(Y163。238。gt。237。1236。238。1Y(y)=237。11y,yamp。lnyx0edx=11y236。y)=P(X163。1時，F(xiàn)Y(y)=P(Y163。y)=0 當yamp。0,X0,x0.238。237。238。1,e2ye4Y(y)=237。e4236。238。24Y(y)2lny1,eye239。239。0,y163。dx=1lny1 224當y≥e4時，F(xiàn)Y(y)=P(Y163。1lny212X163。e4時，F(xiàn)Y(y)=P(Y163。yamp。e4）=1當y≤e2時FY（y）=P(Y≤y)=0.當e2amp。Yamp。2）=1,故P（e2amp。Xamp。0,其他因為P（1amp。236。P(Ai)P(B|Ai)=i=13由貝葉斯公式有b=P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)187。248。247。163。200220X220240220246。X163。25248。247。=P231。200)230。(2) 該電