【正文】 P{X1,Y3}=242。4}=f(x,y)dxdy如圖bX+242。237。5e5y,y0,Y(y238。0,238。0dx242。x182。0,其他.求邊緣概率密度.【解】fX(x)=242。x163。f(x,y)d x236。237。237。+165。其他.238。0,其他.（1） 試確定常數(shù)c；（2） 求邊緣概率密度.【解】（1） 242。f(x,y)dxdy D=242。2124237。0,239。2236。2238。239。242。所以236。,yx1, fY(y)239。ey/2,fY（y）=237。20,其他。0,0x1,y0,其他. 34 題14圖(2) 方程a+2Xa+Y=0有實(shí)根的條件是 2D=(2X)24Y179。1000239。z} YFZ(z)=242。23247。zy106y179。y2zy3247。,0z1,239。故 f239。180}gP{X2179。235。p(k)q(ik)，i=0，1，2，….k=0i【證明】因X和Y所有可能值都是非負(fù)整數(shù)，所以{Z=i}={X+Y=i}={X=0,Y=i}U{X=1,Y=i1}ULU{X=i,Y=0}于是 P{Z=i}=229。n246。232。247。2n246。 =229。P{X=i,Y=k}+k=i3k=i+1229。μ1′,μ2′,…，μn′均服從兩點(diǎn)分布（參數(shù)為p），則X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,所以，X+Y服從參數(shù)為（2n,p)的二項(xiàng)分布.37(1) 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}； （2） 求V=max（X，Y）的分布律； （3） 求U=min（X，Y）的分布律； （4） 求W=X+Y的分布律.【解】（1）P{X=2|Y=2}=P{X=2,Y=2} P{Y=2}P{X=2,Y=2}==, =229。248。k2nk=229。pqi=0232。n246。249。（以小時(shí)計(jì)）近似地服從N（160，202）求其中沒(méi)有一只壽命小于180的概率.【解】設(shè)這四只壽命為Xi(i=1,2,3,4)，則Xi~N（160，202），從而P{min(X1,X2,X3,X4)179。12z2,z179。即 f239。1103231。x2y2dxdy=242。103106246。lt。dx242。2239。e,y1,【解】（1） 因fX(x)==237。=P(X=2,Y=), ，X在（0，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為1236。f(x,y)239。y1, ,239。236。165。238。=239。x163。=239。f(x,y)dxdy如圖242。y163。ye,y0, =237。0,238。+165。238。Y(y)=242。242。y163。2F(x,y)236。242。25e5y,0x0,=237。0,其他.而f)=236。24x10dx242。31028k(6xy)dydx=38 (3) P{X}=f(x,y)dxdy如圖ax(x,y)dxdy D1=0dx242。f(x,y)dxdy=242。0,其他.（1） 確定常數(shù)k；（2） 求P{X＜1，Y＜3}；（3） 求P{Xamp。Y2}=P{0X163。242。0Ae(3x+4y)dxdy=A12=1 得 A=12（2） 由定義，有F(x,y)=242。+165。（X，Y）的分布密度236。236。sinxsiny,0163。1,54. 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分N（μ1,σ12),Y服從正態(tài)分布N(μ2,σ22)，且P{|Xμ1|amp。F(x)=237。x,X=1)+P(X163。1時(shí)F（x）=0；而x≥1時(shí)F（x）=1 由題知P(1X1)=1115= 848x+1 2當(dāng)1amp。 t0238。165。gt。1Y(y)=237。1時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P(Y163。238。24Y(y)2lny1,eye239。1lny212X163。Yamp。236。163。247。232。X163。=P(B)=P(A)+P(AB)=+=令X為新生產(chǎn)的n臺(tái)儀器中能出廠的臺(tái)數(shù)，則X~6（n，）,故a=P(X=n)=()nn2b=P(X=n2)=C2()2 n()q=P(X163。0)=P(X179。x3,239。gt。k≤6，則P（Xamp。31 當(dāng)k=1時(shí)P（Xamp。若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范圍. (2000研考)【解】由P（X≥k）=21知P（Xamp。x163。1y)1=P(X163。Yamp。0,由于P（Xamp。=e=elm=kl229。162。0，故f(x)不是密度函數(shù)。 (B) [0,π]。x, 21x179。0,239。再設(shè)C={每次6P(C)=P(A1UA2)=P(A1)+P(A2)P(A1)P(A2)18111111+180。1,x0239。(2),試填上(1),(2),(3)項(xiàng).【解】由limF(x)=1知②填1。πfY(y)=237。1時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P(Y163。2x237。1ez/2,z0故Z的密度函數(shù)為236。z)=P(2lnX163。0,其他（2） 由P（0amp。lny,1ye239。e時(shí)FY(y)=P(eX163。X163。X163。X2163。fX(x)dx故fdFY(y)1ln2y/Y(y)=dy=yf(lny)=2x,y0(2)P(Y=2X2+1179。1,求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y的分布律.【解】P(Y=1)=P(X=2)+P(X=4)+L+P(X=2k)+L111=()2+()4+L+()2k+L222 111=()/(1)=443P(Y=1)=1P(Y=1)=~N（0，1）.（1） 求Y=eX的概率密度；（2） 求Y=2X2+1的概率密度；（3） 求Y=｜X｜的概率密度.15 2 3【解】（1） 當(dāng)y≤0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P(Y163。31239。0242。0f(x)dx=242。lt。x,239。238。0llx165。x165。即密度函數(shù)為 f(x)=239。165。0。2239。x1(2t)dt=1+2xx23222x2=2+2x112當(dāng)x≥2時(shí)F(x)=242。2時(shí)F(x)=242。1時(shí)F(x)=242。x,237。2)=F(2)=1e2lP(X3)=1F(3)=1(1e3l)=e3l(3) f(x)=F162。得236。237。248。40246。247。2248。247。5246。232。X323246。247。232。2248。1246。23X353246。410=1F()=故走第一條路乘上火車(chē)的把握大些.~N（3，22），（1） 求P{2amp。=F()= 1010232。P(X60)=P231。1)=1P(Y=0)=1(1e)=，所需時(shí)間X服從N（40，102）；第二條路程較長(zhǎng)，但阻塞少，所需時(shí)間X服從N（50，42）.（1） 若動(dòng)身時(shí)離火車(chē)開(kāi)車(chē)只有1小時(shí)，問(wèn)應(yīng)走哪條路能乘上火車(chē)的把握大些？（2） 又若離火車(chē)開(kāi)車(chē)時(shí)間只有45分鐘，問(wèn)應(yīng)走哪條路趕上火車(chē)把握大些？【解】（1） 若走第一條路，X~N（40，102），則230。15239。1239。x239。0時(shí)F（x）=0當(dāng)0≤x≤a時(shí)F(x)=當(dāng)xamp。1239。xf(t)dt 100100t=1 242。100x2328p1=[P(X150)]3=()3= 32741122(2) p2=C3()= 339（1） P(X163。x179。2xdx+242。10exdx=112(1e)(3) 當(dāng)xamp。165。xamp。e55k187。（2） 保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來(lái)考慮.（1） 在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為250012=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X，則X~b(2500,)，則所求概率為P(2000X30000)=P(X15)=1P(X163。3)=229。（2） 甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則X~b（3，）,Y~b(3,)(1) P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)212=()3()3+C1()()+22 C3()()+()3()3=(2) P(XY)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=3,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3,Y=1)+P(X=3,Y=2)23223=C1()()+C3()()+22()3()3+C3()()+2322()3C1()+()C3()=，(每條跑道只能允許一架飛機(jī)降落)？【解】設(shè)X為某一時(shí)刻需立即降落的飛機(jī)數(shù)，則X~b(200,)，設(shè)機(jī)場(chǎng)需配備N(xiāo)條跑道，則有P(XN)即利用泊松近似 k=N+1229。1,P(X179。x1239。2238。,0163。lt。修訂版復(fù)旦大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案 習(xí)題 一1．.，B，C為三個(gè)事件，試用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件：（1） A發(fā)生，B，C都不發(fā)生；（2） A與B發(fā)生，C不發(fā)生；（3） A，B，C都發(fā)生；（4） A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生；（5） A，B，C都不發(fā)生；（6） A，B，C不都發(fā)生；（7） A，B，C至多有2個(gè)發(fā)生；（8） A，B，C至少有2個(gè)發(fā)生.【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC（4） A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC (5) ABC=AUBUC (6) ABC (7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC3.，B為隨機(jī)事件，且P（A）=,P(AB)=，求P（AB）.【解】 P（AB）=1P（AB）=1[P(A)P(AB)]=1[]=，B是兩事件，且P（A）=,P(B)=,求：（1） 在什么條件下P（AB）取到最大值？（2） 在什么條件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1） 當(dāng)AB=A時(shí)，P（AB）.（2） 當(dāng)A∪B=Ω時(shí)，P（AB）.，B，C為三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P(pán)（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件發(fā)生的概率.【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(