【文章內容簡介】 ~N（0，1）.（1） 求Y=eX的概率密度；（2） 求Y=2X2+1的概率密度；（3） 求Y=｜X｜的概率密度.15 2 3【解】（1） 當y≤0時，F(xiàn)Y(y)=P(Y163。y)=0當yamp。gt。0時，F(xiàn)Y(y)=P(Y163。y)=P(ex163。y)=P(X163。lny)=242。lny165。fX(x)dx故fdFY(y)1ln2y/Y(y)=dy=yf(lny)=2x,y0(2)P(Y=2X2+1179。1)=1當y≤1時FY(y)=P(Y163。y)=0 當yamp。gt。1時FY(y)=P(Y163。y)=P(2X2+1163。y)=P231。230。X2163。y1246。=P230。232。2247。248。231。231。X163。232。 =fX(x)dx故fdY(y)=f230。dyFY(y)=X+fX231。231。232。249。 =(y1)/4,y1(3) P(Y179。0)=1當y≤0時FY(y)=P(Y163。y)=0 當yamp。gt。0時FY(y)=P(|X|163。y)=P(y163。X163。y) =242。yyfX(x)dx 故fdY(y)=dyFY(y)=fX(y)+fX(y)=y2/2,y0~U（0,1），試求：（1） Y=eX的分布函數及密度函數；（2） Z=2lnX的分布函數及密度函數.【解】（1） P(0X1)=1 16故 P(1Y=eXe=) 1當y163。1時FY(y)=P(Y163。y)=0 當1amp。lt。yamp。lt。e時FY(y)=P(eX163。y)=P(X163。lny)=242。lny0dx=lny當y≥e時FY(y)=P(eX163。y)=1 即分布函數236。0,y163。1F239。Y(y)=237。lny,1ye239。238。1,y179。e故Y的密度函數為236。1f(y)=239。237。y,1yeY239。238。0,其他（2） 由P（0amp。lt。Xamp。lt。1）=1知P(Z0)=1當z≤0時，F(xiàn)Z(z)=P(Z163。z)=0 當zamp。gt。0時，F(xiàn)Z(z)=P(Z163。z)=P(2lnX163。z) =P(lnX163。z)=P(X179。ez/22)=242。1ez/2dx=1ez/2即分布函數F)=236。237。0,z163。0Z(z238。1ez/2,z0故Z的密度函數為236。f(z)=239。1237。2ez/2,z0Z239。238。0,z163。0236。f(x)=239。2x237。π2,0xπ,239。238。0,其他.17試求Y=sinX的密度函數.【解】P(0Y1)=1當y≤0時，F(xiàn)Y(y)=P(Y163。y)=0當0amp。lt。yamp。lt。1時，F(xiàn)Y(y)=P(Y163。y)=P(sinX163。y)=P(0X163。arcsiny)+P(πarcsiny163。Xπ)π2x2xdx+242。0π2242。πarcsinyπ2dx1122=2arcsiny）+12πarcsiny） ππ2 =arcsiny π =arcsiny當y≥1時，F(xiàn)Y(y)=1故Y的密度函數為 236。20y1239。πfY(y)=237。 239。0,其他238。：236。1,239。F(x)=237。1+x2239。238。(2),試填上(1),(2),(3)項.【解】由limF(x)=1知②填1。 x174。165。x(1)x179。, (3).F(x)=F(x0)=1知x0=0，故①為0。 由右連續(xù)性lim+x174。x0從而③亦為0。即236。1,x0239。 F(x)=237。1+x2239。x179。0238。1,，直到一枚骰子出現(xiàn)6點為止，求拋擲次數X的分布律.【解】設Ai={第i枚骰子出現(xiàn)6點}。（i=1,2）,P(Ai)=拋擲出現(xiàn)6點}。則 。再設C={每次6P(C)=P(A1UA2)=P(A1)+P(A2)P(A1)P(A2)18111111+180。= 66663611 故拋擲次數X服從參數為的幾何分布。 36 =?【解】令X為0出現(xiàn)的次數，設數字序列中要包含n個數字，則X~b(n,)0nP(X179。1)=1P(X=0)=1C0n()()179。即 ()n163。得 n≥22即隨機數字序列至少要有22個數字。236。239。0,239。1239。F（x）=237。x+,2239。239。1,239。238。x0,10163。x, 21x179。.2則F（x）是（ ）隨機變量的分布函數.（A） 連續(xù)型； （B）離散型；（C） 非連續(xù)亦非離散型. 【解】因為F（x）在（∞,+∞）上單調不減右連續(xù)，且limF(x)=0 x174。165。x174。+165。limF(x)=1,所以F（x）是一個分布函數。但是F（x）在x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故F（x）是非連續(xù)亦非離散型隨機變量的分布函數。選（C）[a,b]上，隨機變量X的密度函數為f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，則區(qū)間 [a,b]等于（ ）(A) [0,π/2]。 (B) [0,π]。(C) [π/2,0]。 (D) [0,【解】在[0,]上sinx≥0，且在[0,π]上在[3π]. 2π2242。π/20sinxdx=(x)是密度函數。 242。π0sinxdx=2185。(x)不是密度函數。 π,0]上sinx163。0，故f(x)不是密度函數。 233在[0,π]上，當πx163。π時，sinxamp。lt。0，f(x)也不是密度函數。 22故選（A）。19~N（0，σ2），問：當σ取何值時，X落入區(qū)間（1，3）的概率最大？【解】因為X~N(0,s),P(1X3)=P(21s3Xs3s) =F()F()令g(s) 1ss利用微積分中求極值的方法，有g162。(s)=(3s311162。162。)F()+F() 22sss=9/2s221/2s22=1/2s8/2s[13e]=0令 得s0=24,則s0= ln3又 g162。162。(s0)0故s0X落入區(qū)間（1，3）的概率最大。 故當s=（λ），每個顧客購買某種物品的概率為p，并且各個顧客是否購買該種物品相互獨立，求進入商店的顧客購買這種物品的人數Y的分布律. ellm,m=0,1,2,L 【解】P(X=m)=m!設購買某種物品的人數為Y，在進入商店的人數X=m的條件下，Y~b(m,p)，即kmkP(Y=k|X=m)=Ck,k=0,1,L,m mp(1p)由全概率公式有P(Y=k)=229。P(X=m)P(Y=k|X=m)m=k165。20ellmkk=229。gCmp(1p)mkm!m=k165。=e=elm=kl229。k!(mk)!p(lp)kk!165。165。lmk(1p)mk [l(1p)]mk229。(mk)!m=k(lp)kll(1p)=eek!(lp)klp=e,k=0,1,2,Lk!此題說明：進入商店的人數服從參數為λ的泊松分布，購買這種物品的人數仍服從泊松分布，但參數改變?yōu)棣藀.：Y=1e2X在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布.【證】X的密度函數為236。2e2x,x0 fX(x)=237。x163。0238。0,由于P（Xamp。gt。0）=1，故0amp。lt。1e2Xamp。lt。1，即P（0amp。lt。Yamp。lt。1）=1當y≤0時，F(xiàn)Y（y）=0當y≥1時，F(xiàn)Y（y）=1當0amp。lt。yamp。lt。1時，F(xiàn)Y(y)=P(Y163。y)=P(e2x179。1y)1=P(X163。ln(1y))2=242。即Y的密度函數為 1ln(1y)202e2xdx=y236。1,0y1 fY(y)=237。238。0,其他即Y~U（0，1）236。1239。3,0163。x163。1,239。239。2f(x)=237。,3163。x163。6,239。238。若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范圍. (2000研考)【解】由P（X≥k）=21知P（Xamp。lt。k）= 33若kamp。lt。0,P(Xamp。lt。k)=0211k1dx=242。033163。31 當k=1時P（Xamp。lt。k）= 311k1若1≤k≤3時P（Xamp。lt。k）=242。dx+242。0dx= 031311k2211若3amp。lt。k≤6，則P（Xamp。lt。k）=242。dx+242。dx=k185。 0339933若0≤k≤1,P(Xamp。lt。k)=k若kamp。gt。6,則P（Xamp。lt。k）=1故只有當1≤k≤3時滿足P（X≥k）= 2. 3x1,236。0,1163。x1,239。F(x)=237。,1163。x3,239。x179。,求X的概率分布. （1991研考）【解】由離散型隨機變量X分布律與分布函數之間的關系，可知X的概率分布為 ，求A在一次試驗中出現(xiàn)的概率.【解】令X為三次獨立試驗中A出現(xiàn)的次數，若設P（A）=p,則 X~b(3,p)由P（X≥1）=故p=198知P（X=0）=（1p）3= 27271 3（1，6）上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實根的概率是多少？【解】236。1239。,1x6 f(x)=237。5239。238。0,其他P(X24179。0)=P(X179。2)+P(X163。2)=P(X179。2)=~N（2，σ2），且P{2amp。lt。Xamp。lt。4}=，則P{X. 【解】=P(2X4)=P(4 522sX2s42s)2