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2004-2006全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題答案(參考版)

2025-01-16 23:52本頁面
  

【正文】 (20 分)1(0)2nf??aM?????????41 ,M2022 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題參考答案一、(本題滿分 50 分)以 和 為焦點的橢圓與 的邊 交于0B101AB?i。因此 。 所以,21 14nna????4na??。1,4M???????(3)當(dāng) 時,記 ,則對于任意 , 且a?(0)nf?1n?4na?河大附中校本課程 32 。 ………………(20 分)123450,0xx??15. 設(shè) . 記 , ,()fa?1()ff1()()nnfxfx??2,3??,. 證明: .??R 2M??對 所 有 正 整 數(shù) , ??????4 ,M【證明】 (1)如果 ,則 , 。根據(jù)1iix???jjx??上一小題的證明可以知道,每調(diào)整一次,和式 變大。..10,ijx?(,5)ij 34501??分(2)當(dāng) 且 時,只有12345206x?2ijx??高中數(shù)學(xué)競賽講義 31 (I) 402, 402, 402, 400, 400;(II) 402, 402, 401, 401, 400;(III) 402, 401, 401, 401, 401; 三種情形滿足要求。這與 S 在 時取到最大值矛盾。將 S 改寫成2?112212xx??????1223453454x??15ijijSx???同時有 。 若, 且使 取到最大值,則必有12345206xx??15ijijx???? ………(5 分) (*),ijx?(,)事實上,假設(shè)(*)不成立,不妨假設(shè) 。12. 袋內(nèi)有 8 個白球和 2 個紅球,每次從中隨機取出一個球,然后放回 1 個白球,則第4 次恰好取完所有紅球的概率為 .【解】第 4 次恰好取完所有紅球的概率為=.2 2918918100010?????????????????三、解答題(本題滿分 60 分,每小題 20 分)13. 給定整數(shù) ,設(shè) 是拋物線 與直線 的一個交點. 試2n?),(0yxM2??nxyxy?證明對于任意正整數(shù) ,必存在整數(shù) ,使 為拋物線 與mk?),(0m12?k直線 ?【證明】 因為 與 的交點為 .顯然有 。所以 是原方程的全部解。 21?3241(1)???????????()??11. 方程 的實數(shù)解的個數(shù)為 .20624204205()( 6xxxx??【解】 )1?高中數(shù)學(xué)競賽講義 29 242042051()()6xxx?????3052032022206x??? ?356 3xx??? A要使等號成立,必須  ,即 。,ABCD2所以注水高為 。1122423PF???10. 底面半徑為 1cm 的圓柱形容器里放有四個半徑為 cm 的實心鐵球,四個球兩兩相1切,其中底層兩球與容器底面相切. 現(xiàn)往容器里注水,使水面恰好浸沒所有鐵球,則需要注水 cm3.【解】設(shè)四個實心鐵球的球心為 ,其中 為下層兩球的球心,1234,O12,O分別為四個球心在底面的射影。設(shè)直線 l 交 x 軸于 A ,則 ,即 ,(83,0)?AF?12~?AFP即 (1) ,122PF又由圓冪定理, (2) ,1A??而 , ,A ,從而有 , 。1ma()0?????t 908fx8. 若對一切 R,復(fù)數(shù) 的模不超過 2,則實數(shù) 的取值??(cos)(2sin)zaa????a范圍為 .【解】依題意,得 2?22()(i)4?? ( )2(cosin)35aa?? 2sin35a????1arcsin5??(對任意實數(shù) 成立) . 故 的取值范圍為 22???。因此219() ()8fxgttt191m()0,84???tg。xxxf 44cossini)(??)(f【解】 。又由于 以及12053202056669C???? 206206(91)9kkC???,從而得2062066()(1)9kk????。于是??322()log1fxx???若 ,則 ,有 ,即 ,從而有0ab??ab?()fab??()fafb??.()f高中數(shù)學(xué)競賽講義 27 反之,若 ,則 ,推出 ,即 ()0fab??()()fafb??ab??。又 ,2t12(,)t,從而有 。所以1(,0)Ft1t?(0,)2E(,01)G2(,0)Dt21t?, 。所以數(shù)對 共有 。inC??????D??????2. 設(shè) ,則 的取值范圍為2log(1)lg2 xx???A. B. C.   D. 【答】?,1?且 1x?01x?(B )【解】因為 ,解得 . 20,1x??????,2x由 2log()log xx3log()log2xx???? 解得 ;或 解得 ,320???????01?321???1x?所以 的取值范圍為 .x1, x??且3. 已知集合 , , ,且??05???axA??06???bxBNa?,則整數(shù)對 的個數(shù)為??2,34ABN????b, A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 ( C )河大附中校本課程 26 【解】  ; 。從而有 。, caybxcazbcy????求函數(shù) ?11),( 22解:由條件得, ,0)()( ???????abzcyabcazb即 ,0222?cx,同理,得b??.2,2abczacy?a、b、c、x 、y、z 為正數(shù),據(jù)以上三式知,?,22222 ,bac????故以 a、b、c 為邊長,可構(gòu)成一個銳角三角形 ABC, ,問題轉(zhuǎn)化為:在銳角△ABC 中,CzByAxos,os??求函數(shù) 、 、 )= (cc CBAcos1scos1222??令 則,ot,t,otwBvAu?? , ??wuvRvu且 ).()()(1 222 vvu?? 1)()1(1cos 22222 ???????uuuA ),(2)(3323 wvwv???高中數(shù)學(xué)競賽講義 23 同理, ).1(2cos1),(2cos1 3232 wvuwCuvvB ???????? )[()( 22233322 vwuwvuf ???+ ((21)])( ??????uv,此時,v? 2)],[), minzyxfzyxcba三、 (本題滿分 50 分)對每個正整數(shù) n,定義函數(shù) ?????.]}{1[,0)(不 為 平 方 數(shù)當(dāng) 為 平 方 數(shù)當(dāng) nnf(其中[x]表示不超過 x 的最大整數(shù), 試求: 的值.]).[x???2401)(kf解:對任意 ,若 ,則 ,設(shè)*,Nka?22)1(??kaa2?10????則 ].2[]}{1,2}{2 kakakaa ????????讓 a 跑遍區(qū)間 )中的所有整數(shù),則2)1(,?k????22)1(21],[][kai于是 ……①????2)1(12][nanikf下面計算 畫一張 2k2k 的表,第 i 行中,凡是 i 行中的位數(shù)處填寫“*”號,?ki21],[則這行的“*”號共 個,全表的“*”號共 個;另一方面,按列收集 “*”號數(shù),][i??ki21][第 j 列中,若 j 有 T(j)個正因數(shù),則該列使有 T(j)個“*” 號,故全表的“*”號個數(shù)共河大附中校本課程 24 個,因此 = .??kjT21)(?ki21][?kjT21)(示例如下:ji 1 2 3 4 5 61 * * * * * *2 * * *3 * *4 *56 *則 .)]2(1([)]4(3)[1(]2)1([)(112 nTTnTnjafninikj ????????? ?.②由此, ……③??152561 )](()[()kk kf記 易得 的取值情況如下:,152,(???Ta kak 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15ak 3 5 6 6 7 8 6 9 8 8 8 10 7 10 10因此, ……④????151 3)()kkkafn據(jù)定義 ,062(2ff又當(dāng) ,)3016(5},41{2???rrkk設(shè)?,515222 rr ?????????,則 ……⑤3}1{302???rr },4,1{,]}{[???k從則 .76815)(78)(5612401 ?????ii kfkf高中數(shù)學(xué)競賽講義 25 2022 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試一、選擇題(本題滿分 36 分,每小題 6 分)1. 已知△ABC,若對任意 , ,則△ ABC 一定為Rt?ACBt??A.銳角三角形 B. 鈍角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不確定 【答】 (C)【解】令 ,過 A 作 于 D。=∠EDI1,∴D、B 、l I 四點共圓,∵∠BI l1 =∠BDI1=90176。+ ∠ABC,∴∠ ACI= ∠ACB,∴ I 為△ABC 的內(nèi)心。 )證明:(1)先證 DE 過 △ABC 的內(nèi)心。證明:直線 DE、DF 分別通過△ ABC 的內(nèi)心與一個旁心。8=16.…………………………………………………………10 分由上知,當(dāng)每個弧段上的球號{1, ,9}確定之后,達(dá)到最小值的排序ix,21?方案便唯一確定.在 1,2,…,9 中,除 1 與 9 外,剩下 7 個球號 2
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