【正文】 =247。AB=，∴CO=CD247。再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AB=AE，∠B=∠E，然后求出AE=CD，∠D=∠E，再利用“角角邊”證明即可；（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AO=CO，解直角三角形求出CO，然后利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90176。=∠D′ED″，∴==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圖形的翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．　29．在折紙這種傳統(tǒng)手工藝術(shù)中，蘊(yùn)含許多數(shù)學(xué)思想，我們可以通過(guò)折紙得到一些特殊圖形．把一張正方形紙片按照?qǐng)D①～④的過(guò)程折疊后展開(kāi)．（1）猜想四邊形ABCD是什么四邊形；（2）請(qǐng)證明你所得到的數(shù)學(xué)猜想．【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）；菱形的判定；正方形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】規(guī)律型．【分析】（1）猜想四邊形ABCD是菱形；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠MAD=∠DAC=∠MAC，∠CAB=∠NAB=∠CAN，∠DCA=∠MCD=∠ACM，∠ACB=∠NCB=∠ACN，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠MAC=∠∠MCA=∠NAC=∠NCA，所以∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA，于是可判斷四邊形ABCD為平行四邊形，且DA=DC，然后根據(jù)菱形的判定方法得到四邊形ABCD為菱形．【解答】解：（1）四邊形ABCD是菱形；（2）∵△AMG沿AG折疊，使AM落在AC上，∴∠MAD=∠DAC=∠MAC，同理可得∠CAB=∠NAB=∠CAN，∠DCA=∠MCD=∠ACM，∠ACB=∠NCB=∠ACN，∵四邊形AMCN是正方形，∴∠MAC=∠MCA=∠NAC=∠NCA，∴∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA∴AD∥BC，AB∥DC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四邊形ABCD為菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了菱形的判定方法以及正方形的性質(zhì)．　30．如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形沿對(duì)角線(xiàn)AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，CE與AD相交于點(diǎn)O．（1）求證：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30176。由翻折可知：∠DEA=45176。=∠D′ED″，由弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵△ADE反折后與△AD′E重合，∴AD′=AD=D′E=DE=，∴AE===；（2）∵由（1）知AD′=，∴BD′=1，∵將四邊形BCED′沿D′E向左翻折，壓平后得四邊形B′C′ED′，∴B′D′=BD′=1，∵由（1）知AD′=AD=D′E=DE=，∴四邊形ADED′是正方形，∴B′F=AB′=﹣1，∴S梯形B′FED′=（B′F+D′E）?B′D′=（﹣1+）1=﹣；故答案為：（1）；（2）﹣；（3）∵∠C=90176。根據(jù)折疊性質(zhì)得出CF=BC=10，根據(jù)勾股定理求出即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC=8，∠D=90176。﹣∠A，∴∠B=∠BCD，∴BD=CD=AD==5，∴DE為△ABC的中位線(xiàn)，∴DE==3，∵BC=6，AB=10，∠ACB=90176。將該直角三角形紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，則四邊形DBCE的周長(zhǎng)為　18?。究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】先由折疊的性質(zhì)得AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A，進(jìn)而得出，∠B=∠BCD，求得BD=CD=AD==5，DE為△ABC的中位線(xiàn)，得到DE的長(zhǎng)，再在Rt△ABC中，由勾股定理得到AC=8，即可得四邊形DBCE的周長(zhǎng)．【解答】解：∵沿DE折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，∴AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A，∴∠BCD=90176?！唷螪CF=∠AFE，∴cos∠AFE=cos∠DCF．在Rt△AEF中，∵∠A=90176。EF=EB=3k，CF=BC，∴∠AFE+∠DFC=90176。EF=EB=3k，CF=BC，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE．在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理求出AF==k，由cos∠AFE=cos∠DCF得出CF=3k，即AD=3k，進(jìn)而求解即可．【解答】解：∵AE=BE，∴設(shè)AE=2k，則BE=3k，AB=5k．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠D=90176。AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，如圖，點(diǎn)D的路徑是以點(diǎn)B為圓心，以BC的長(zhǎng)為半徑的扇形，路徑長(zhǎng)==2π．故答案為：2π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算，判斷出點(diǎn)D的路徑是扇形是解題的關(guān)鍵．　20．如圖，矩形ABCD中，AB=1，E、F分別為AD、CD的中點(diǎn)，沿BE將△ABE折疊，若點(diǎn)A恰好落在BF上，則AD=　?。究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】連接EF，則可證明△EA′F≌△EDF，從而根據(jù)BF=BA′+A′F，得出BF的長(zhǎng)，在Rt△BCF中，利用勾股定理可求出BC，即得AD的長(zhǎng)度．【解答】解：連接EF，∵點(diǎn)E、點(diǎn)F是AD、DC的中點(diǎn)，∴AE=ED，CF=DF=CD=AB=，由折疊的性質(zhì)可得AE=A′E，∴A′E=DE，在Rt△EA′F和Rt△EDF中，∵，∴Rt△EA′F≌Rt△EDF（HL），∴A′F=DF=，∴BF=BA′+A′F=AB+DF=1+=，在Rt△BCF中，BC==．∴AD=BC=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是連接EF，證明Rt△EA′F≌Rt△EDF，得出BF的長(zhǎng)，注意掌握勾股定理的表達(dá)式．　21．如圖，將矩形ABCD沿CE向上折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處．若AE=BE，則長(zhǎng)AD與寬AB的比值是　?。究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）；勾股定理；矩形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想．【分析】由AE=BE，可設(shè)AE=2k，則BE=3k，AB=5k．由四邊形ABCD是矩形，可得∠A=∠ABC=∠D=90176?！帱c(diǎn)A、B′、C共線(xiàn)，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)B′處，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5﹣3=2，設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=4﹣x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4﹣x）2，解得x=，∴BE=；②當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)，如答圖2所示．此時(shí)ABEB′為正方形，∴BE=AB=3．綜上所述，BE的長(zhǎng)為或3．故答案為：或3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊問(wèn)題：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等；對(duì)應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理．注意本題有兩種情況，需要分類(lèi)討論，避免漏解．　18．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=12，BC=5，點(diǎn)E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在對(duì)角線(xiàn)BD上的點(diǎn)A′處，則AE的長(zhǎng)為　?。究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）．【專(zhuān)題】幾何圖形問(wèn)題．【分析】首先利用勾股定理計(jì)算出BD的長(zhǎng)，再根據(jù)折疊可得AD=A′D=5，進(jìn)而得到A′B的長(zhǎng)，再設(shè)AE=x，則A′E=x，BE=12﹣x，再在Rt△A′EB中利用勾股定理可得方程：（12﹣x）2=x2+82，解出x的值，可得答案．【解答】解：∵AB=12，BC=5，∴AD=5，BD==13，根據(jù)折疊可得：AD=A′D=5，∴A′B=13﹣5=8，設(shè)AE=x，則A′E=x，BE=12﹣x，在Rt△A′EB中：（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的翻折變換，關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．　19．如圖，在Rt△ABC紙片中，∠C=90176。所以點(diǎn)A、B′、C共線(xiàn)，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)B′處，則EB=EB′，AB=AB′=3，可計(jì)算出CB′=2，設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=4﹣x，然后在Rt△CEB′中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x．②當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)，如答圖2所示．此時(shí)ABEB′為正方形．【解答】解：當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．連結(jié)AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC==5，∵∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，∴∠AB′E=∠B=90176。=6=2，設(shè)BE=x，則CE=6﹣x，在Rt△BCE中，∵BC=2，BE=x，CE=6﹣x，∴BE2=CE2+BC2，即x2=（6﹣x）2+（2）2，解得x=4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圖形的翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．　17．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為　或3?。究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．連結(jié)AC，先利用勾股定理計(jì)算出AC=5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AB′E=∠B=90176?！逜D=BD，∴AB=2BC，AE=BE，∴∠A=30176。再根據(jù)AD=BD可知AB=2BC，AE=BE，故∠A=30176。∴四邊形ABHD為矩形，∴DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=5﹣3=2，在Rt△DHC中，DH==2，∴EF=DH=．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了勾股定理．　二、填空題16．如圖，在三角形紙片ABC中，∠C=90176。E為AB上一點(diǎn)，分別以ED，EC為折痕將兩個(gè)角（∠A，∠B）向內(nèi)折起，點(diǎn)A，B恰好落在CD邊的點(diǎn)F處．若AD=3，BC=5，則EF的值是（　?。〢． B．2 C． D．2【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）；勾股定理．【專(zhuān)題