【正文】 正方形 DEFG 的四個頂點在△ ABC 的邊上，連接 AG、 AF 分別交 DE 于 M、 N 兩點，若 AB=AC=1，則 MN 的第 50 頁（共 54 頁） 長為 ． （ 3）拓展遷移：如圖 3，在 △ ABC 中， ∠ BAC=90176?！?） 【考點】 解直角三角形的應(yīng)用 坡度坡角問題． 【分析】 （ 1）已知看臺有四個臺階組成，由圖可看出 DH 由三個臺階組成，看臺的總高度已知，則 DH 的長不難求得； （ 2）過 B 作 BM⊥ AH 于 M，則四邊形 BCHM 是矩形，從而得到 BC=MH，再利用三角函數(shù)可求得 AD， AB 的長．那么所用不銹鋼材料的總長度 l 就不難得到了． 第 48 頁（共 54 頁） 【解答】 解：（ 1） DH= =（米）； （ 2）過 B 作 BM⊥ AH 于 M，則四邊形 BCHM 是矩形． ∴ MH=BC=1 ∴ AM=AH﹣ MH=1+﹣ 1=． 在 Rt△ AMB 中， ∠ A=176。≈ ， 176。 =200（人）； （ 2） 非常好的頻數(shù)是： 200 =42（人）， 一般的頻數(shù)是： 200﹣ 42﹣ 70﹣ 36=52（人）， 較好的頻率是： =， 一般的頻率是： =， 不好的頻率是： =； （ 3）該校學生整理錯題集情況 “非常好 ”和 “較好 ”的學生一共約有 1500（ +） =840（人 ）， （ 4） 則兩次抽到的錯題集都是 “非常好 ”的概率是： = ． 19．關(guān)于 x 的一元二次方程 x2+（ 2m+1） x+m2﹣ 1=0 有兩個不相等的實數(shù)根． （ 1）求 m 的取值范圍； （ 2）寫出一個滿足條件的 m 的值，并求此時方程的根． 第 47 頁（共 54 頁） 【考點】 根的判別式；解一元二次方程 因式分解法；解一元一次不等式． 【分析】 （ 1）由方程有兩個不相等的實數(shù)根即可得出 △＞ 0，代入數(shù)據(jù)即可得出關(guān)于 m 的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論； （ 2）結(jié)合（ 1）結(jié)論，令 m=1，將 m=1 代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出結(jié)論． 【解答】 解：（ 1） ∵ 關(guān)于 x 的一元二次方程 x2+（ 2m+1） x+m2﹣ 1=0 有兩個不相等的實數(shù)根， ∴△ =（ 2m+1） 2﹣ 4 1 （ m2﹣ 1） =4m+5＞ 0， 解得： m＞ ﹣ ． （ 2） m=1，此時原方程為 x2+3x=0， 即 x（ x+3） =0， 解得： x1=0， x2=﹣ 3． 20．某學校體育場看臺的側(cè)面如圖陰影部分所示，看臺有四級高度相等的小臺階．已知看臺高為 米，現(xiàn)要做一個不銹鋼的扶手 AB 及兩根與 FG 垂直且長為l 米的不銹鋼架桿 AD 和 BC（桿子的底端分別為 D， C），且 ∠ DAB=176。 CD=CE， 又 ∵∠ C=90176。 ∴ OE=1， CD=2DE=2 ∴ S 陰影 =S 扇形 COD﹣ S△ COD= ﹣ 1 2 = π﹣ ， 故答案為： π﹣ ． 三、解答題（本大題共 8 個小題，滿分 75 分） 16．先化簡，再求值： ? ﹣ ，其中 x=2 ﹣ 1． 【考點】 分式的化簡求值． 【分析】 原式第一項約分后，兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算得到最第 44 頁（共 54 頁） 簡結(jié)果，把 x 的值代入計算即可求出值． 【解答】 解：原式 = ? ﹣ = ﹣ =﹣ ， 當 x=2 ﹣ 1 時，原式 =﹣ =﹣ ． 17．如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB=90176。 ∴∠ COD=120176。 ∵∠ A=30176。 D 為 AB 的中點， ∴ DF= AB=， ∵ DE 為 △ ABC 的中位線， ∴ DE= BC=4， ∴ EF=DE﹣ DF=， 故答案為： ． 14．已知方程 3x2﹣ 5x+m=0 的兩個實數(shù)根分別為 x x2，且分別滿足﹣ 2＜ x1＜ 1，1＜ x2＜ 3，則 m 的取值范圍是 ﹣ 12＜ m＜ 2 ． 【考點】 拋物線與 x 軸的交點． 【分析】 設(shè) f（ x） =3x2﹣ 5x+m，由題意可得 ，可得 m 的取值范圍． 【解答】 解：設(shè) f（ x） =3x2﹣ 5x+m， 由題意可得 ， 解得：﹣ 12＜ m＜ 2， 故答案為：﹣ 12＜ m＜ 2． 15．如圖， AB 為 ⊙ O 的切線，切點為 B，連接 AO， AO 與 ⊙ O 交于點 C， BD 為⊙ O 的直徑，連接 CD，若 ∠ A=30176。 =400（只）． 故答案為 400 只． 13．如圖所示， DE 為 △ ABC 的中位線，點 F 在 DE 上，且 ∠ AFB=90176。即知 EF 為圓的直徑， 設(shè)圓與 AB 的切點為 D，連接 CD， 當 CD 垂直于 AB 時，即 CD 是圓的直徑的時候， EF 長度最小，最小值是 ． 故選 B． 7．將寬為 2cm的長方形紙條折疊成如圖所示的形狀，那么折痕 PQ的長是（ ） A． cm B． cm C． cm D． 2cm 【考點】 翻折變換（折疊問題）． 【分析】 由圖中條件可知紙片重疊部分的三角形是等邊三角形，此三角形的高是2，求邊長． 利用銳角三角函數(shù)可求． 【解答】 解：如圖，作 PM⊥ OQ， QN⊥ OP，垂足為 M、 N， ∵ 長方形紙條的寬為 2cm， ∴ PM=QN=2cm， ∴ OQ=OP， ∵∠ POQ=60176。正方形 DEFG 的四個頂點在第 34 頁（共 54 頁） △ ABC 的邊上，連接 AG、 AF 分別交 DE 于 M、 N 兩點，若 AB=AC=1，則 MN 的長為 ． （ 3）拓展遷移：如圖 3，在 △ ABC 中， ∠ BAC=90176。≈ ， 176。． （ 1）求點 D 與點 C 的高度差 DH； （ 2）求所用不銹鋼材料的總長度 l．（即 AD+AB+BC，結(jié)果精確到 米） （參考數(shù)據(jù)： 176。 ⊙ O 的半徑為 2，則圖中陰影部分的面積為 （結(jié)果保留 π） 三、解答題（本大題共 8 個小題，滿分 75 分） 16．先化簡，再求值： ? ﹣ ，其中 x=2 ﹣ 1． 17．如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB=90176。 ∴ 四邊形 EFDM 是矩形， ∴ EF=DM， 設(shè)正方形 EFGH 的邊長為 x，則 DM=x， AM=30﹣ x， ∵△ AEH∽△ ABC， ∴ = ，即 = ， 解得 x= ， ∴ 正方形 EFGH 的邊長為 cm，周長為 cm． 27．如圖，四邊形 ABCD 為正方形，點 A 坐標為（ 0， 1），點 B 坐標為（ 0，﹣ 2），反比例函數(shù) y= 的圖象經(jīng)過點 C，一次函數(shù) y=ax+b 的圖象經(jīng)過 A、 C 兩點． （ 1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式； （ 2）若點 P 是反比例函數(shù)圖象上的一點， △ OAP 的面積恰好等于正方形 ABCD的面積，求 P 點的坐標． 【考點】 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題；正方形的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）先根據(jù) A 點和 B 點坐標得到正方形的邊長，則 BC=3，于是可得到C（ 3，﹣ 2），然后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式； （ 2）設(shè) P（ t，﹣ ），根據(jù)三角形面積公式和正方形面積公式得到 1 |t|=3第 26 頁（共 54 頁） 3，然后解絕對值方程求出 t 即可得到 P 點坐標． 【解答】 解：（ 1） ∵ 點 A 的坐標為（ 0， 1），點 B 的坐標為（ 0，﹣ 2）， ∴ AB=1+2=3， ∵ 四邊形 ABCD 為正方形， ∴ Bc=3， ∴ C（ 3，﹣ 2）， 把 C（ 3，﹣ 2）代入 y= 得 k=3 （﹣ 2） =﹣ 6， ∴ 反比例函數(shù)解析式為 y=﹣ ， 把 C（ 3，﹣ 2）， A（ 0， 1）代入 y=ax+b 得 ， 解得 ， ∴ 一次函數(shù)解析式為 y=﹣ x+1； （ 2）設(shè) P（ t，﹣ ）， ∵△ OAP 的面積恰好等于正方形 ABCD 的面積， ∴ 1 |t|=3 3，解得 t=18 或 t=﹣ 18， ∴ P 點坐標為（ 18，﹣ ）或（﹣ 18， ）． 28．如圖，在直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點 A（ 0， 4）， B（ 1， 0）， C（ 5， 0），其對稱軸與 x 軸相交于點 M． （ 1）求拋物線的解析式和對稱軸； （ 2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點 P，使 △ PAB 的周長最?。咳舸嬖?，請求出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由； （ 3）連接 AC，在直線 AC 的下方的拋物線上，是否存在一點 N，使 △ NAC 的面第 27 頁（共 54 頁） 積最大？若存在，請求出點 N 的坐標；若不存在，請說明理由． 【考點】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）拋物線經(jīng)過點 A（ 0， 4）， B（ 1， 0）， C（ 5， 0），可利用兩點式法設(shè)拋物線的解析式為 y=a（ x﹣ 1）（ x﹣ 5），代入 A（ 0， 4）即可求得函數(shù)的解析式，則可求得拋物線的對稱軸； （ 2）點 A 關(guān)于對稱軸的對稱點 A′的坐標為（ 6， 4） ，連接 BA′交對稱軸于點 P，連接 AP，此時 △ PAB 的周長最小，可求出直線 BA′的解析式，即可得出點 P 的坐標． （ 3）在直線 AC 的下方的拋物線上存在點 N，使 △ NAC 面積最大．設(shè) N 點的橫坐標為 t，此時點 N（ t， t2﹣ t+4）（ 0＜ t＜ 5），再求得直線 AC 的解析式，即可求得 NG 的長與 △ ACN 的面積，由二次函數(shù)最大值的問題即可求得答案． 【解答】 解：（ 1）根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為 y=a（ x﹣ 1）（ x﹣ 5）， 把點 A（ 0， 4）代入上式得： a= ， ∴ y= （ x﹣ 1）（ x﹣ 5） = x2﹣ x+4= （ x﹣ 3） 2﹣ ， ∴ 拋物線的對稱軸是： x=3； （ 2） P 點坐標為（ 3， ）． 理由如下： ∵ 點 A（ 0， 4），拋物線的對稱軸是 x=3， ∴ 點 A 關(guān)于對稱軸的對稱點 A′的坐標為（ 6， 4） 如圖 1，連接 BA′交對稱軸于點 P，連接 AP，此時 △ PAB 的周長最?。? 第 28 頁（共 54 頁） 設(shè)直線 BA′的解析式為 y=kx+b， 把 A′（ 6， 4）， B（ 1， 0）代入得 ， 解得 ， ∴ y= x﹣ ， ∵ 點 P 的橫坐標為 3， ∴ y= 3﹣ = ， ∴ P（ 3， ）． （ 3）在直線 AC 的下方的拋物線上存在點 N，使 △ NAC 面積最大． 設(shè) N 點的橫坐標為 t，此時點 N（ t， t2﹣ t+4）（ 0＜ t＜ 5）， 如圖 2，過點 N 作 NG∥ y 軸交 AC 于 G；作 AD⊥ NG 于 D， 由點 A（ 0， 4）和點 C（ 5， 0）可求出直線 AC 的解析式為： y=﹣ x+4， 把 x=t 代入得： y=﹣ t+4，則 G（ t，﹣ t+4）， 此時： NG=﹣ t+4﹣（ t2﹣ t+4） =﹣ t2+4t， 第 29 頁（共 54 頁） ∵ AD+CF=CO=5， ∴ S△ ACN=S△ ANG+S△ CGN= AD NG+ NG CF= NG?OC= （﹣ t2+4t） 5=﹣2t2+10t=﹣ 2（ t﹣ ） 2+ ， ∴ 當 t= 時， △ CAN 面積的最大值為 ， 由 t= ，得： y= t2﹣ t+4=﹣ 3， ∴ N（ ，﹣ 3）． 九年級（上）期末數(shù)學試卷 一、選擇題（每小題 3 分，共 24 分，下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的，將正確答案的代號字母填入題后括號內(nèi)） 1．下列計算正確的是（ ） A． 4 B． C． 2 = D． 3 2．若關(guān)于 x 的一元二次方程 4x2﹣ 4x+c=0 有兩個相等實數(shù)根，則 c 的值是（ ） A．﹣ 1 B． 1 C．﹣ 4 D． 4 3．下列調(diào)查中，適宜采用普查方式的是（ ） A．考察人們保護環(huán)境的意識 B．了解全國九年級學生身高的現(xiàn)狀 C．了解一批燈泡的壽命 D．檢查一枚用于發(fā)射衛(wèi)星的運載火箭的各零部件 4．在一個口袋中裝有 4 個完全相同的小球，它們的標號分別為 4，從中隨機摸出一個小球記下標號放回，再從中隨機摸出一個小球，則兩次摸出的小球的標號之和大于 4 的概率為（ ） A． B． C． D． 第 30 頁（共 54 頁） 5．如圖所示，矩形 ABCD 中， AB=9， BC=6，若矩形 AEFG 與矩形 ABCD 位似，位似比為 ，則 C、 F 之間的距離為（ ） A． B． 2 C． 3 D． 12 6．如圖，在 △ ABC 中， AB=15， AC=12， BC=9，經(jīng)過點