【正文】 ( ) 12 12 3 3 ( 2 1 ) 0f t t t t? ? ? ? ? ?， 所以 ()ft 在 (0, )?? 單調遞增，又 ( 3 ) 15 3 26 0 , ( 2) 6 0ff? ? ? ? ?， 因此 ()ft 在 (0, )?? 有唯一的零點，且零點 k 在 ( 3,2) 內，所以 32k?? . （Ⅱ）設 l 與 x 軸的交點為 )0,( 1xD ， 則2,212121 1 baSxabFDabS P Q FA B F ??????? ??. 由題設可得22121 1 baxab ????，所以 01?x （舍去）， 11?x . 設滿足條件的 AB 的中點為 ),( yxE . 當 AB 與 x 軸不垂直時，由 DEAB kk ? 可得 )1(12 ???? xx yba . 而 yba ??2 ，所以 )1(12 ??? xxy . 當 AB 與 x 軸垂直時， E 與 D 重合 .所以，所求軌跡方程為 12 ??xy . ....12分 【解析】 試題分析： （ I）設出直線 l 的方程，利用圓心到直線的距離小于半徑列出關于 k 的不等式，即可求出 k 的取值范圍；（ II）設 1 1 2 2M ( , y ), N ( , y )xx，將直線 l 方程代入圓的方程化為關于 x 的一元二次方程，利用韋達定理將 1 2 1 2,xx yy用 k 表示出來，利用平面向量數(shù)量積的坐標公式及 12OM ON??列出關于 k 方程，解出 k，即可求出 |MN|. 試題解析： （ I） 由題設，可知直線 l 的方程為1y kx=+. 因為 l 與 C 交于兩點，所以2| 2 3 1| 11 k++. 解得4 7 4 733k. 所以 k的取值范圍是 . （ II） 設 1 1 2 2M ( , y ), N ( , y )xx. 將1y kx=+代 入方程( ) ( )222 3 1xy + =,整理得(1 ) 4( ) 7 0k x k x+ + + =, 所以1 2 1 2224( 1 ) 7,.11kx x x xkk++ = =++ ( ) ( )21 2 1 2 1 2 1 2 24 ( 1 )O M O N y 1 1 81kkx x y k x x k x x k+? + = + + + + = ++, 由題設可得24 ( 8=121kkk+ ++，解得 =1k，所以 l 的方程為1yx=+. 故圓心在直線 l 上，所以|MN| 2=. 解 ： （Ⅰ） 從題意知，設點 P 的坐標為 ? ?,xy ，則 Q 的坐標為 1,2 y???????， 因此 ? ?1 , 0 , 1 , ,2Q P x Q F y??? ? ? ????? ? ?1 , , 1 ,2F P x y F Q y??? ? ? ?????. 因 QP QF FP FQ? ? ?，得 ? ? ? ?11, 0 1 , , 1 ,22x y x y y? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 即 21122x x y? ? ? ?，故動點 ( , )Pxy 的坐標滿足方程 2 2yx? 設 00( , )Nx y 是 2 2yx? 的任一點，過 N 作直線 l 的垂線，垂足為 Q ，則有 FN FQ QN QF? ? ?,即 2 2yx? 上的任一點都具有所需的性質 . 綜上，動點 P 的軌跡方程為 2 2yx? . （Ⅱ） 設 ? ?,Mab 為圓 M 的圓心，則 2 2ba? . 圓 M 過點 ? ?1,0A ， ?圓 M 上的點 (, )xy 滿足 ? ? ? ? ? ?2 2 2 21x a y b a b? ? ? ? ? ?. 令 0,x? 得 2 2 2 1 0 ,y by a? ? ? ?于是可得圓 M 與 y 軸的交點為 ? ?110,Ey和 ? ?220,Ey，其中 21 , 2 2 1 1y b b a b? ? ? ? ? ?， 故 1 2 1 2 2E E y y? ? ?是一個常數(shù) . 【解析】（ 1）設 ( , )Pxy ， 00( , )Mx y ，則 0( ,0)Dx ． ∵ 點 P 與點 Q 關于原點 O 對稱， ∴ 2QP OP? ． ∵ QP OM OD??， ∴ 2OP OM OD??， ∴ 0 0 02( , ) ( , ) ( , 0)x y x y x??， ∴ 00 2xxyy??? ??， ∵ 22022xy??， ∴ 2244xy??， ∴ 動 點 P 的 軌跡方程： 2 2 14x y??． （ 2）當直線 l 的斜率不存在時，顯然不符合題意， ∴ 設直線 l 的方程為 y km m??， 由2244y km mxy???? ???，得 2 2 2( 4 1 ) 8 4 4 0k x k m x m? ? ? ? ?． ∵ 直線 l 與橢圓相切， ??? 12 分 ? ? ??? 6 分 ? ? ∴ 2 2 2 26 4 4 ( 4 1 ) ( 4 4 ) 0k m k m? ? ? ? ? ?， ∴ 2241mk??． 原點 O 到直線 l 的距離21md k? ? ，則 224AB d??， ∴ 21 2 2 42Q A BS A B d d d? ? ? ? ? 2 2 2 22 ( 4 ) 2 ( 2 ) 4 4d d d? ? ? ? ? ? ?， 當 2 2d? ，即 2d? 時， QAB? 的面積取得最大值 4 ． 此時2 21md k??? ，即 2222mk??， 由 22222241mkmk? ????????，解得 322mk? ???? ????， ∴ 直線 l 的方程為 2 32yx??或 2 32yx??或 2 32yx? ? ? 或 2 32yx? ? ? ． (Ⅰ )解法 1:依題意 ,點 P 到點 ? ?1,0F 的距離等于點 P 到直線 l 的距離 , ??? 1 分 ∴點 P 的軌跡是以點 F 為焦點，直線 :l 1x?? 為準線的拋物線 . ???? 2 分 ∴ 曲線 C 的方程為 2 4yx? . ??????????????? 3 分 解法 2:設點 P 的坐標為 ? ?,xy ，依題意 ,得 1PF x??， ????????? 1 分 ∴ ? ?2 211x y x? ? ? ?. ??????????????? 2 分 化簡得 2 4yx? . ∴ 曲線 C 的方程為 2 4yx? . ??????????????? 3 分 (Ⅱ ) (Ⅱ )解法 1： 設點 P ? ?00,xy ，則圓 P 的半徑為 0 1rx??.????????? 4 分 ∴圓 P 的方 程為 ? ? ? ? ? ?2 2 20 0 0 1x x y y x? ? ? ? ?. ① ????????? 5 分 ∵圓 ? ?2 2: 1 1F x y? ? ?, ② ① ? ② 得直線 MN 的方程為 ? ? 20 0 0 02 1 2 2 1 0x x y y y x? ? ? ? ? ?. ???? 6 分 ∵點 P ? ?00,xy 在曲線 2:4C y x? 上 , ∴ 2022yx? ,且 0 0x? . ∴點 F 到直線 MN 的距離為 ? ?? ?20 0 02 2002 1 2 14 1 4x y xdxy? ? ? ???