東北三省四市教研協(xié)作體20xx年高三等值診斷聯(lián)合考試(長春三模)數(shù)學(xué)文試題(詳解)(參考版)
2025-01-13 06:28本頁面
【正文】 ( ) 0fx? . 所以 ()fx的單調(diào)遞增區(qū)間為 3(2 , 2 )44kk??????()kZ? ， 單調(diào)遞減區(qū)間為 37( 2 , 2 )44kk??????()kZ? . (4 分 ) (2) 令 ( ) ( ) sinxg x f x k x e x k x? ? ? ?，要使 ()f x kx? 總成立，只需 [0, ]2x ?? 時 min( ) 0gx ? . 對 ()gx 求導(dǎo)得 ( ) ( si n c os )xg x e x x k? ? ? ?， 令 ( ) (s in c os )xh x e x x??，則 ( ) 2 cos 0xh x e x? ??， ( (0, )2x ?? ) 所以 ()hx 在 [0, ]2? 上為增函數(shù)，所以 2( ) [1, ]h x e?? . (6 分 ) 對 k 分類討論： ① 當(dāng) 1k? 時， ( ) 0gx? ? 恒成立，所以 ()gx 在 [0, ]2? 上為增函數(shù)，所以 m in( ) (0) 0g x g??，即( ) 0gx? 恒成立； ② 當(dāng) 21 ke??? 時， ( ) 0gx? ? 在上有實(shí)根 0x ，因?yàn)?()hx 在 (0, )2? 上為增函數(shù)，所以當(dāng) 0(0, )xx? 時，( ) 0gx? ? ，所以 0( ) (0) 0g x g??，不符合題意； ③ 當(dāng) 2ke?? 時， ( ) 0gx? ? 恒成立，所以 ()gx 在 (0, )2? 上為減函數(shù)，則 ( ) (0) 0g x g??，不符合題意 . 綜合① ② ③可得，所求的實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 ( ,1]?? . (9 分 ) (3) 存在正實(shí)數(shù) m 使得當(dāng) (0, )xm? 時，不等式 21( ) 2 2 xf x x??恒成立 . 理由如下：令 2( ) s in 2 2x xg x e x x? ? ?，要使 2( ) 2 2xf x x??在 (0, )m 上恒成立，只需 ( ) 0maxgx ? . (10 分 ) 因?yàn)?( ) ( sin c o s ) 2xg x e x x x? ? ? ? ?，且 (0) 1 0g? ?? ? ， 2( ) ( 2 ) 022ge???? ? ? ? ?，所以存在正實(shí)數(shù)0 (0, )2x ??，使得 0( ) 0gx? ? ， 當(dāng) 0(0, )xx? 時， ( ) 0gx? ? ， ()gx 在 0(0, )x 上單調(diào)遞減，即當(dāng) 0(0, )xx? 時， ( ) (0) 0g x g??，所第 9 頁 以只 需 0(0, )mx? 均滿足：當(dāng) (0, )xm? 時， 21( ) 2 2 xf x x??恒成立 . (12 分 ) 注： 因?yàn)? 19ee? ? ? ?， 22(2 ) 4 162?? ? ?，所以 2 (2 ) 02e? ?? ? ? 22. (本小題滿分 10 分 ) 【命題意圖】 本小題主要考查平面幾何的證明，具體涉及到 四點(diǎn)共圓的證明、圓中 三角形相似等內(nèi)容 . 本小題重點(diǎn)考查考生對平面幾何推理能力 . 【試題解析】 解 (1)連結(jié) BN ，則 AN BN? ，又 CD AB? ， 則 90BE F BNF? ? ? ? ?，即 180BEF BN F? ? ? ? ?， 則 B 、 E 、 F 、 N 四點(diǎn)共圓 . (5 分 ) (2)由直角三角形的射影原理可知 2AC AE AB??， 由 RtBEF? 與 RtBMA? 相似可知： BF BEBA BM? ， ()BF BM BA BE BA BA EA? ? ? ? ? ?， 2BF BM AB AB AE? ? ? ?， 則 22BF BM AB AC? ? ?， 即 22AC BF BM AB? ? ?. (10 分 ) 23. (本小 題滿分 10 分 ) 【命題意圖】 本小題主要考查極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)知識，具體涉及到極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化、 平面內(nèi)直線與曲線的位置關(guān)系 等內(nèi)容 . 本小題考查考生的方程思想與數(shù)形結(jié)合思想，對運(yùn)算求解能力有一定要求 . 【試題解析】 解： (1)對于曲線 1C 消去參數(shù) t 得： 當(dāng) 2??? 時， 1 : 1 ta n ( 2)C y x?? ? ?；當(dāng) 2??? 時， 1:2Cx? . (3 分 ) 對于曲線 2C ： 2 2 2cos 2? ? ???， 2 2 2 2x y x???，則 222 :12yCx??. (5 分 ) (2) 當(dāng) 4??? 時，曲線 1C 的方程為 10xy? ? ? ，聯(lián)立 12,CC的方程消去 y 得 222 ( 1) 2 0xx? ? ? ?，即 23 2 1 0xx? ? ? ， 2 2 21 2 1 2 2 4 1 6 4 2| | 1 ( ) 4 2 ( ) 23 3 9 3M N k x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?， 圓心為 1 2 1 2( , )22x x y y??，即 12( , )33? ，從而所求圓方程為 221 2 8( ) ( )3 3 9xy? ? ? ?. (10 分 ) 24. (本小題滿分 10 分 ) 【命題意圖】 本小題主要考查不等式的相關(guān)知識，具體涉及到絕對值不等式及 不等式證明等內(nèi)容 . 本小題重點(diǎn)考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想 . 【試題解析】 解： (1) 24( ) 624xfxx????? ???? 1155xxx??? ? ?? (2 分 ) 當(dāng) 1x?? 時， 2 4 10xx? ? ? ? ， 2x?? ，則 21x? ? ?? ； 第 10 頁 當(dāng) 15x? ? ? 時， 6 10x?? ， 4x?? ，則 15x? ? ? ； 當(dāng) 5x? 時， 2 4 10xx? ? ? ， 14x? ，則 5 14x?? . 綜上可得，不等式的解集為 [ 2,14]? . (5 分 ) (2) 設(shè) 2( ) ( 2)g x a x? ? ?，由函數(shù) ()fx的圖像與 ()gx 的圖像可知： ()fx在 [ 1,5]x?? 時取最小值為 6， ()fx在 2x? 時取最大值為 a ， 若 ( ) ( )f x g x? 恒成立，則 6a? . (10 分 ) 。( ) s in c o s ( s in c o s ) 2 s in (
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