【正文】 一般地： 001－ 099 有 20 個 N（ N 表示 1－ 9 的任何數(shù)） 100－ 199 有 20 個 N（ N 不能等于 1) 200－ 299 有 20 個 N（ N 不能等于 2） ?? 0000－ 0999 有 300 個 N， 1000－ 1999 有 300 個 N（ N 不能等于 1） 2022－ 2999 有 300 個 N（ N 不能等于 2） ?? 00000－ 09999 有 4000 個 N 10000－ 19999 有 4000 個 N（ N 不能等于 1） 100000－ 199999 有 50000 。 0－ 999 中，除了 200299 有 100+20 個 2 以外，每 100 都有 20 個 2，則 0－ 999 共有 2： 120+9*20＝ 300 同理： 3000－ 3999 也有 300 個 2 考慮 20222999，因?yàn)?0999 含有 300 個 2，這 1000 個數(shù)里，每個數(shù)其實(shí)都多加了一個 2，則應(yīng)該含有 1000+300 個 2。另一種方法 是，母親現(xiàn)在的年齡加上 13 是偶數(shù)，則現(xiàn)在年齡是奇數(shù)。再過 13 年 母親的年齡就是女兒年齡的 2 倍。則需要（ ）天？ A、 ?? B、 3?? C、 ?? D、 6 析：平均分配給這些人做，則每人做 1/6，需要的天數(shù)由最差效率的人決定。 例：一項(xiàng)工作由編號為 1～ 6 的工作組來單獨(dú)完成，各自完 成所需的時間是： 5 天， 7 天， 8天， 9 天， 天， 18 天。 第六部分、數(shù)字運(yùn)算下 十三．其它問題 例：一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)做需要 14 天，乙單獨(dú)做需要 18 天，丙丁合做需要 8 天。 ? 淘汰賽常需要求決出冠 (亞 )軍的場次，以及前三 (四 )名的場次。如果參賽選手?jǐn)?shù)目少，或者打算創(chuàng)造更多的比賽機(jī)會，通常采用雙循環(huán)的比賽方法。如果參賽選手?jǐn)?shù)目不多，而且時間和場地都有保證，通常都采用這種競賽方法。 循環(huán)賽包括單循環(huán)和雙循環(huán)。我們先談?wù)剝烧叩母拍詈蛥^(qū)別。 61＝ 5(天 )，所以全部比賽完成共需 18＋ 5＝ 23(天 )。 2＝ 15(場 )， 2 組共 30 場；第二階段中，有 2 3＝ 6人進(jìn)行淘汰賽，決出前三名，則需要比賽的場次就是：參賽選手的人數(shù)，即 6 場，最后，總的比賽場次是 30＋ 6＝ 36(場 )。 4. 某學(xué)校承辦系統(tǒng)籃球比賽，有 12 個隊(duì)報名參加，比賽采用混合制，即第一階段采用分 2組進(jìn)行單循環(huán)比賽，每組前 3 名進(jìn)入第二階段；第二階段采用淘汰賽，決出前三名。 2＝ 6(場 )， 8 組共 48 場；第二階段中，有 2 8＝ 16 人進(jìn)行淘汰賽，決出冠軍，則需要比賽的場次就是：參賽選手的人數(shù) 1，即 15 場。 3. 某次比賽共有 32 名選手參加，先被平均分成 8 組，以單循環(huán)的方式進(jìn)行小組賽；每組前2 名隊(duì)員再進(jìn)行淘汰賽，直到?jīng)Q出冠軍。 十二、比賽問題 1. 100 名男女運(yùn)動員參加乒乓球單打淘汰賽，要產(chǎn)生男女冠軍各一名，則要安排單打賽多少場？ ( ) 【解析】在此完全不必考慮男女運(yùn)動員各自 的人數(shù)，只需考慮把除男女冠軍以外的人淘汰掉就可以了，因此比賽場次是 1002＝ 98(場 )。求導(dǎo)公式好像是 1/3x^3=3*(1/3)*x^2，常數(shù)為 0。可以配方的。 例： f（ x*y） =f(x)*f(y)； f(1)=0,求 f(2022)=? 析： f(2022*1)=f(2022)*f(1)=0 例： f(x+1)= 1/f(x),f(2)=(2022)=? 析： f(3)=1/f(2)=1/2022， f(4)=1/1/2022=2022， f(5)=1/2022，則 f(2022)=1/2022 例： f(2x1)=4*X^22x,求 f(x) 析：設(shè) 2x1=u，則 x=u+1 / 2，則 f(u)=4* ((u+1)/2)^22*(u+1)/2 =u^2+u 所以 f(x)=x^2+x 例：某企業(yè)的凈利潤 y(單位： 10 萬元）與產(chǎn)量 x(單位： 100 萬件 )之間的關(guān)系為 y=x^2+4*x+1，問該企業(yè)的凈利潤的最大值是多少萬元？（ ） A． 10 B． 20 C． 30 D． 50 析： y=(x2)^2+5，則 y 最大值為 5。 ? 十一 .函數(shù)問題 這種題型，土方法就是找一個簡單的數(shù)代入。 例：學(xué)校開辦了語文、數(shù)學(xué)、美術(shù)三個課外學(xué)習(xí)班，每個學(xué)生最多可 以參加兩個（可以不參加）。即?。?3+2+3*3+1＝ 15 個球。 因此 A7=8+4=12，而這 13 個數(shù)的平均值又恰好為正中間的數(shù)字 a7，因此這 13 個數(shù)的和為 ? 12 13=156 十．抽屜問題 解這類題的關(guān)鍵是，找出所有的可能性，然后用最不利的情況分析。一個 是 2 次根號，一個是 3 次根號，則應(yīng)該用 6 次根號包住它們。注：如果 B*C 小于 10，用 0 補(bǔ)足。但有更簡單的， P+1 是 10 的倍數(shù) P+1 是 9 的倍數(shù) P+1 是 8 的倍數(shù) 11000 內(nèi)， 10， 9， 8 的公倍數(shù)為， 360,720，則 P 為 359,719。 50 除以 5 不余 2，再來 50+63（ 9， 7 的最小公倍數(shù)）＝ 123，除5 仍不余 2；再來， 50+126，不余 2；??當(dāng) 50+63*4 時，余 2，滿足 3 個條件，即至少有302 個人。 ???? 第二步，找出滿足每 9 人一排多 5 人， 每 7 人一排多 1 人的最小的數(shù)。 ? 例：有一個年級的同學(xué)，每 9 人一排多 5 人，每 7 人一排多 1 人，每 5 人一排多 2 人，問這個年級至少有多少人？ ? 析：題目轉(zhuǎn)化為，一個數(shù)除以 9 余 5,除以 7 余 1，除以 5 除 2。 ? 例：一個三位數(shù)除以 9 余 7，除以 5 余 2，除以 4 余 3，這樣的三位數(shù)共有（） ? 析： 7 是最小的滿足條件的數(shù)。那么，這四個自然數(shù)的和是： ? 析： A 除以 B 商是 5 余 5， B 的 5 倍是 5 的倍數(shù)， 5 是 5 的倍數(shù)，則 A 是 5 的倍數(shù)，同理 A是 6 的倍數(shù)， A 是 7 的倍數(shù)，則 A 為最小公倍數(shù)， 210，此題得解。 A*B 也能被 C 整除 ? 如果 A 能被 C 整 除， A 能被 B 整除， BC 互質(zhì)，則 A 能被 B*C 整除。第三次，乘 80*60%^3=，即濃度為 %? 特例：有甲乙兩杯含鹽率不同的鹽水，甲杯鹽水重１２０克，乙杯鹽水重８０克．現(xiàn)在從兩杯倒出等量的鹽水，分別交換倒入兩杯中．這樣兩杯新鹽水的含鹽率相 同．從每杯中倒出的鹽水是多少克？ ? 第四部分、數(shù)學(xué)運(yùn)算中 八．?dāng)?shù)、整除、余數(shù)與剩余定理 被 4 整除：末兩位是 4 的倍數(shù)，如 16,216,936? 被 8 整除：末三位是 8 的倍數(shù)，如 144， 2144， 3152 被 9 整除：每位數(shù)字相加是 9 的倍數(shù)，如， 81， 936， 549 被 1?????? 1 整除：奇數(shù)位置上的數(shù)字和與偶數(shù)位置上的數(shù)字和之間的差是 11 的倍數(shù)。第一次倒出 40g，再加清水倒?jié)M，倒出了鹽 80*40%，此時還剩鹽 80*60%。 注：有些題不用十字相乘法更簡單。 加濃，相當(dāng)于 a 克 p1%的溶液，和 b 克 100%的溶液配制。 關(guān)于稀釋，加濃，配制。 ? 得式子， A*X+B*(1X)＝ C*1? 整理得 X=CB / AB?? 1X=AC / AB? 則有 X : (1X)=CB / AC? 例：某體育訓(xùn)練中心，教練員中男占 90％，運(yùn)動員中男占 80％，在教練員和運(yùn)動員中男占82％，教練員與運(yùn)動員人數(shù)之比是 ? 析：一個集合（教練員和運(yùn)動員的男性），只有 2 個不同的取值，部分個體取值（ 90%） ,剩余部分取值為 82%，平均值為 82%。假設(shè) A 有 X， B 有（ 1X）。平均值為 C。 ? 、寬、高分別為 20 厘米、 8 厘米和 2 厘米，現(xiàn)在要用一張紙將其六個面完全包裹起來，要 求從紙上剪下的部分不得用作貼補(bǔ)，請問這張紙的大小可能是下列哪一個 ?（） ? A．長 25 厘米、寬 17 厘米 B．長 26 厘米、寬 14 厘米 C．長 24 厘米、寬 21 厘米 D．長 24 厘米、寬 14 厘米 ? 析：這種題型首先的思路應(yīng)該是，先算盒子的總面積 =2*(20*8+20*2+8*2)=432，除了 C 其它都小于 432。 以上兩條定理是等價的。 （ 3）等體積的所有空間圖形當(dāng)中，越接近球體的幾何體，其表面積越小。 （ 2）等周長的所有平面圖形當(dāng)中，越接近圓的 圖形，其面積越大。 圖 1 中， Sabc / Scde=BC/CE * AC/CD 圖 2 中， Sabc / Sade=AB/AD * AC/AE (皆可通過作高，相似得到 ) 例： 如圖，三角形 ABC 的面積為 1，并且 AE=3AB， BD=2BC，那么△ BDE 的面積是多少？ Sbde=Sabc * BE/AB * BD/BC =1 * 2 * 2 =4? 例： 例 4 如下圖，將凸四邊形 ABCD 的各邊都延長一倍至 A′、 B′、 C′、 D′，連接這些點(diǎn)得到一個新的四邊形 A′ B′ C′ D′，若四邊形 A′ B′ C′ D′的面積為 30 平方厘米，那么四邊形 ABCD 的面積是多少？ Sa’ ad’ +Sb’ cc’ =2*Sabcd 同理 Sa’ b’ b+Sdc’ d’ =2Sabcd 則 Sabcd=30/(2+2+1)=6 公式為： N^2N+2,其中 N 為圓的個數(shù)。則里二層為 568*2=40 應(yīng)用公式，用棋子（ 15－ 3） *3*4＝ 144 六．幾何問題 補(bǔ)：扇形面積＝ 1/2*r*l 其中 r 為半徑， l 為弧長。 ? 五．方陣問題 方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層的總?cè)藬?shù)多 8 每邊人數(shù)與該層人數(shù)關(guān)系是：最外層總?cè)藬?shù)＝（邊人數(shù)－ 1） 4? 方陣總?cè)藬?shù)＝最外層每邊人數(shù)的平方 空心方陣的總?cè)?(或物 )數(shù) =（最外層每邊人 (或 物 )數(shù)－空心方陣的層數(shù)）空心方陣的層數(shù) 4 去掉一行、一列的總?cè)藬?shù) =去掉的每邊人數(shù) *21 例：某校的學(xué)生剛好排成一個方陣，最外層的人數(shù)是 96 人，問這個學(xué)校共有學(xué)生？ 析：最外層每邊的人數(shù)是 96/4+1＝ 25，剛共有學(xué)生 25*25=625 例：五年級學(xué)生分成兩隊(duì)參加學(xué)校廣播操比賽，他們排成甲乙兩個方陣，其中甲方陣每邊的人數(shù)等于 8，如果兩隊(duì)合并，可以另排成一個空心的丙方陣，丙方陣每邊的人數(shù)比乙方陣每邊的人數(shù)多 4 人，甲方陣的人數(shù)正好填滿丙方陣的空心。 ? 例：小明做作業(yè)的時間不足 1 時，他發(fā)現(xiàn)結(jié)束時手表上時針、分針的位 置正好與開始時時針、分針的位置交換了一下。 例：在時鐘盤面上， 1 點(diǎn) 45 分時的時針與分針之間的夾角是多少？ 析：一點(diǎn)時，時針分針差 5 格，到 45 分時，分針比時針多走了 11/12*45＝ 格，則分針此時在時針的右邊 格，一格是 360/60＝ 6 度，則成夾角是 ,*6= 度。而 12 個小時有 12*3600 秒時間，則可以追 12*3600/43200/719＝ 710 次。 時針每秒走一格，時針 3600秒走 5格，則時針每秒走 1/720格，每秒鐘秒針比時針多走 719/720格。第 59 次時，共追趕了， 59 次 *3600/59 秒 /次 =3600 秒，分針走了 60 格，即經(jīng)過 1 小時后，兩針又重合在 12 點(diǎn)。 秒針每秒鐘走一格，分針每 60 秒鐘走一格，則分針每秒鐘走 1/60 格，每秒鐘秒針比分針多走 59/60 格 ? 例：中午 12 點(diǎn)，秒針與分針完全重合，那么到下午 1 點(diǎn)時，兩針重合多少次？ 析：秒針與分針重合，秒針走比分針快，重合后再追上，只可能秒針追趕了 60 格，則秒針追分針一次耗時， 60 格 / 59/60 格 /秒 = 3600/59 秒。如果不算中午 12 點(diǎn)第一次重合的次數(shù)，應(yīng)為 11 次。 例：現(xiàn)在是 2 點(diǎn)，什么時候時針與分針第一次重合？ 析： 2 點(diǎn)時候，時針處在第 10 格位置，分針處于第 0 格，相差 10 格，則需經(jīng)過 10 /? 11/12 分鐘的時間。 ? A=X+Y+Z,B=a+b+c,A 是只喜歡一項(xiàng)的人， B 是只喜歡兩項(xiàng)的人， T 是喜歡三項(xiàng)的人。僅此 2 項(xiàng)。僅此 2 項(xiàng)。僅此 2 項(xiàng)。即陰影部分。（ 08 年 2 月 29 日沒到） 三．集合問題 （有兩項(xiàng)） 公式為：滿足條件一的個數(shù) +滿足條件二的個數(shù)－兩者都滿足的個數(shù)＝總個數(shù) 兩者都不滿足的個數(shù) 其中滿足條件一的個數(shù)是指 只滿足條件一不滿足條件二的個數(shù) 加上 兩條件都滿足的個數(shù) ? 公式可以畫圖得出 例：有 62 名學(xué)生，會擊劍的有 11 人，會游泳的有 56 人，兩種都不 會用的有 4 人，問兩種都會的學(xué)生有多少人？ ? 思路一：兩種都會 +只會擊劍不會游泳 +只會游泳不會擊劍＝ 62－ 4? 設(shè)都會的為 T， 11－ T+56T+T＝ 58，求得 T=9?