【正文】 喜歡看戲劇（但不喜歡看球賽）的有 4 人，三種都喜歡的有 12 人，則只喜歡看電影的人有多少人？ 如圖， U=喜歡球賽的 + 喜歡戲劇的 + 喜歡電影的 ? X 表示只喜歡球賽的人； Y 表示只喜歡電影的人； Z 表示只喜歡戲劇的人 ? T 是三者都喜歡的人。 a 表示喜歡球賽和電影的人。不喜歡戲劇 b 表示喜歡電影和戲劇的人。不喜歡球賽 c 表示喜 歡球賽和戲劇的人。不喜歡電影。 ? 則 U=喜歡球賽的 + 喜歡戲劇的 + 喜歡電影的 = (x＋ a＋ c＋ T) + (y＋ a＋ b＋ T) + (z＋ b＋ c＋ T) 整理，即 A+2B+3T＝至少喜歡一項(xiàng)的人數(shù)人 又： A+B+T＝人數(shù) 再 B+3T＝ 至少喜歡 2 項(xiàng)的人數(shù)和 ? 則 原題解如下： ? A+2*(6+4+c)+3*12=58+38+52? A+(6+4+c)+12=100? 求得 c=14? 則只喜歡看電影的人 =喜歡看電影的人數(shù) 只喜歡看電影又喜歡球賽的人 只喜歡看電影又喜歡看戲劇的人 三者都喜歡的人 =5214－ 4－ 12＝ 22 人 ? 四．時(shí)鐘問題 分針每分鐘走 1 格，時(shí)針每 60 分鐘 5 格，則時(shí)針每分鐘走 1/12 格，每分鐘時(shí)針比分針少走11/12 格。 例：中午 12 點(diǎn)，時(shí)針與分針完全重合，那么到下次 12 點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分 針重合多少次？ 析：時(shí)針與分針重合后再追隨上，只可能分針追及了 60 格，則分針追趕時(shí)針一次，耗時(shí) 60 / 11/12 ＝ 720/11 分鐘，而 12 小時(shí)能追隨及 12*60 分鐘 / 720/11 分鐘 /次 =11 次，第 11 次時(shí)，時(shí)針與分針又完全重合在 12 點(diǎn)。如果題目是到下次 12 點(diǎn)之前，重合幾次，應(yīng)為 111 次，因?yàn)椴凰阕詈笠淮沃睾系拇螖?shù)。而到 1 點(diǎn)時(shí)，總共有時(shí)間 3600 秒，則能追趕， 3600 秒 / 3600/59 秒 /次 =59 次。則重合了 59 次。 ? 例：中午 12 點(diǎn)，秒針與時(shí)針完全重合，那么到下次 12 點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與秒針重合了多少次 ?? 析：重合后再追上，只可能是秒針追趕了時(shí)針 60 格，每秒鐘追 719/720 格，則要一次要追60 / 719/720=43200/719 秒。此時(shí)重合在 12 點(diǎn)位置上，即重合了 719 次。 ? ? 例： 3 點(diǎn)過多少分時(shí)，時(shí)針和分針離“ 3”的距離相等，并且在“ 3”的兩邊？ ? 析：作圖，此題轉(zhuǎn)化為時(shí)針以每分 1/12 速度的速度，分針以每分 1 格的速度相向而行，當(dāng)時(shí)針和分針離 3 距離相等，兩針相遇，行程 15 格，則耗時(shí) 15 / 1+ 1/12 =180/13 分。小明做作業(yè)用了多少時(shí)間？ ? 析： 只可能是這個(gè)圖形的情形，則分針走了大弧 BA，時(shí)針走了小弧 AB，即這段時(shí)間時(shí)針和分針共走了 60 格，而時(shí)針每分鐘 1/12 格，分針 1 格，則總共走了 60/ (1/12+1)=720/13 分鐘，即花了 720/13 分鐘。五年級參加廣播操比賽的一共有多少人 ? 析：設(shè)乙最外邊每人數(shù)為 Y，則丙為 Y+4. 8*8+Y*Y+8*8=(Y+4)(Y+4) 求出 Y=14,則共有人數(shù)： 14*14+8*8＝ 260 例：明明用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣，如果最外層每邊有圍棋子 15 個(gè)，明明擺這個(gè)方陣最里層一周共有多少棋子？擺這個(gè)三層空心方陣共用了多少個(gè)棋子 ? 析：最外層有 (151)*4=56 個(gè)。 ，有一角成 互補(bǔ)角，或者有一角重合的面積關(guān)系。 一個(gè)圓能把平面分成兩個(gè)區(qū)域，兩個(gè)圓能把平面分成四個(gè)區(qū)域，問四個(gè)圓能最多把平面分成多少個(gè)區(qū)域？ (4^24+2 ) （ 1）等面積的所有平面圖形當(dāng)中，越接近圓的圖形，其周長越小。 以上兩條定理是等價(jià)的。 （ 4）等表面積的所有空間圖形當(dāng)中，越接近球體的幾何體，其體積越大。 ? 例：相同表面積的四面體 ,六面體 ,正十二面體及正二十面體 ,其中體積最大的是 : A 四面體 ? B 六面體 ? C 正十二面體 ? D 正二十面體 ? 析：顯然，正二十面體最接近球體，則體積最大。 七．比例問題、十字相乘法與濃度問題 ? 一個(gè)集合中的個(gè)體，只有 2 個(gè)不同的取值，部分個(gè)體取值為 A，剩余部分取值為 B。求取值為 A 的個(gè)體與取值為 B 的個(gè)體的比例。則 C 為 1。 ? 教練員 ?? 例：某班男生比女生人數(shù)多 80%，一次考試后，全班平均成級為 75 分，而女生 的平均分比男生的平均分高 20% ，則此班女生的平均分是： ? 析：男生平均分 X，女生 ? ? 溶液的重量＝溶質(zhì)的重量 +溶劑的重量 濃度＝溶質(zhì)的質(zhì)量 / 溶液質(zhì)量 濃度又稱為溶質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)。其中混合后的濃度為 P. 稀釋，一溶液加水，相當(dāng)于 a 克 P1%的溶液，和 b 克 0%的溶液配制。 配制則是 a 克 P1%的溶液，和 b 克 P2%的溶液配制。 ? 例：從裝滿 100g 濃度為 80％的鹽水杯中倒出 40g 鹽水后再倒入清水將杯倒?jié)M，這樣反復(fù)三次后，杯中鹽水的濃度是（） %% % %? 析：開始時(shí)，溶質(zhì)為 80 克。同理，第二次，剩 80*60%*60%。 ??如，121， 231， 9295 如果數(shù) A 被 C 整除，數(shù) B 被 C 整除，則， A+B 能被 C 整除 。 ? ?例：有四個(gè)自然數(shù) A、 B、 C、 D，它們的和不超過 400，并且 A 除以 B 商是 5 余 5， A 除以 C 商是 6 余 6， A 除以 D 商是 7 余 7。 ? 原理用個(gè)例子解釋，一個(gè)數(shù)除以 3 余 2，那么，這個(gè)數(shù)加 3 再除以 3，余數(shù)還是 2.? 一個(gè)數(shù)除以 5 余 3，除以 4 余 3，那么這個(gè)數(shù)加上 5 和 4 的公倍數(shù) 所得 到的數(shù)，除 3 還是能得到這個(gè)結(jié)論。 9， 5， 4 的最小公倍數(shù)為 180，則 187 是第二個(gè)這樣的數(shù)，367， 547， 727， 907 共 5 個(gè)三位數(shù)。第一步，從最大的數(shù)開刀，先找出除以 9 余 5 的最小數(shù)， 14。 14 除以 7 不余 1；再試 14+9 這個(gè)數(shù)， 23 除以 7 照樣不余 1；數(shù)取 14+9*4時(shí)， 50 除以 7 余 1，即滿足每 9 人一排多 5 人，每 7 人一排多 1 人的最小的數(shù)是， 50； ??? 第三步，找符合三個(gè)條件的。 ? 例：自然數(shù) P 滿足下列條件： P 除以 10 的余數(shù)為 9， P 除以 9 的余數(shù)為 8， P 除以 8 的余數(shù)為 100P1000，則這 樣的 P 有幾個(gè)？ ? 析：此題可用剩余定理。 *86＝？ 出現(xiàn)如 AB*AC=?，其中 B+C=10，計(jì)算結(jié)果為：百位數(shù)為 A(A+1)，十位 /個(gè)位數(shù)為： B*C。如： 29*21,百位數(shù)為 2*3=6，個(gè)倍數(shù)為 1*9＝ 9，則結(jié)果為 609. 3,3 次根號下 5，哪個(gè)??？ 這類題，關(guān)鍵是用一個(gè)大次的根號包住兩個(gè)數(shù)。根號 3，可以化成 6 次根號下 27； 3 次根號下 5，可化為 6 次根號下25,則根號 3 大于 3 次根號下 5. 九．等差數(shù)列 ? 性質(zhì)： （ 1）等差數(shù)列的平均值等于正中間的那個(gè)數(shù)（奇數(shù)個(gè)數(shù)或者正中間那兩個(gè)數(shù)的平均值（偶數(shù)個(gè)數(shù)） （ 2）任意角標(biāo)差值相等的兩個(gè)數(shù)之差都相等，即 A(n+i)An=A(m+i)Am 例：｛ an｝是一個(gè)等差數(shù)列， a3＋ a7－ a10＝ 8， a11－ a4＝ 4，則數(shù)列前 13 項(xiàng)之和是： A3a10=A4A11=4 這道題應(yīng)用這兩個(gè)性質(zhì) 可以簡單求解。 例：一個(gè)布袋中由 35 個(gè)同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有 10 個(gè)，另外還有3 個(gè)藍(lán)色球、 2 個(gè)綠色球，試問一次至少取出多少個(gè)球 ,才能保證取出的球中至少有 4 個(gè)是同一顏色的球？ 析：最不利的情況是，取出 3 個(gè)藍(lán)色球，又取了 2 個(gè)綠色球，白、黃、紅各取 3 個(gè)，這個(gè)時(shí)候再取一個(gè)就有 4 個(gè)是同一顏色的球了。 例：從 4??、 12 這 12 個(gè)自然數(shù)中，至少任選幾個(gè)，就可以保證其中一定包括兩個(gè)數(shù)，他們的差是 7？ ?? ?重點(diǎn) ?? 析 :考慮到這 12 個(gè)自然數(shù)中，滿足差為 7 的組合有， (12， 5)，（ 11， 4），（ 10， 3），（ 9， 2），（ 8， 1），共五種，還有 6,7 兩個(gè)數(shù)沒有出現(xiàn)過，則最不幸的情況就是，（ 12， 5）等都取了一個(gè)，即五個(gè)抽屜取了五個(gè)，還有 6,7 各取一個(gè)，再取一個(gè)就有兩個(gè)數(shù)差為 7 了，則取了5+2+1=8 個(gè)。問：至少有多少名學(xué)生，才能保證有不少于 5 名同學(xué)參加學(xué)習(xí)班的情況完全相同 析：不同的情況有，都不參加、參加語文、參加數(shù)學(xué)、參加美術(shù)、參加語文和數(shù)學(xué)、參加語文和美術(shù)、參加數(shù)學(xué)和美術(shù)，最不幸的情況是， 4 組人都參加了這 7 項(xiàng)，共 28 項(xiàng)，這樣，再加入 1 人，即 29 人時(shí)，滿足題意。 X^3+Y^3=(x+y)(x^2xy+y^2) 1.???? 求值 例：已知 f(x)=x^2+ax+3,若 f(2+x)=f(2x)，則 f(2)是多少？ 析：既然 f(2+x)=f(2x)，當(dāng) x=2 時(shí)，方程成立，即 f(4)=f(0)，求得 a=4，得解。凈利潤為 50 萬元。 例：某企業(yè)的凈利潤 y(單位： 10 萬元）與產(chǎn)量 x(單位： 100 萬件 )之間的關(guān)系為y=1/3x^3+x^2+11/3，問該企業(yè)的凈利潤的最大值是多少萬元？（ ? ） A 5? B 50 C 60 D70 析：這道題要求導(dǎo)，公式忘光了， y=1/3*3*x^2+2*x+0=0，解得 x=2，則代入 y 得 5。不能配方的，極值試求導(dǎo)，不會做只能放棄。 2. 某機(jī)關(guān)打算在系統(tǒng)內(nèi)舉辦籃球比賽，采用單循環(huán)賽制，根據(jù)時(shí)間安排，只能進(jìn)行 21 場比賽，請問最多能有幾個(gè)代表隊(duì)參賽？ ( ) 【解析】根據(jù)公式，采用單循環(huán)賽的比賽場次＝參賽選手?jǐn)?shù)（參賽選手?jǐn)?shù) 1)/2，因此在21 場比賽的限制下，參賽代表隊(duì)最多只能是 7 隊(duì)。請問，共需安排幾場比賽？ ( ) 【解 析】 根據(jù)公式，第一階段中， 32 人被平均分成 8 組，每組 4 個(gè)人，則每組單循環(huán)賽產(chǎn)生前 2 名需要進(jìn)行的比賽場次是： 4（ 41)247。最后，總的比賽場次是 48＋ 15＝ 63(場 )。如果一天只能進(jìn)行 2 場比賽，每 6 場需要休息一天，請問全 部比賽共需幾天才能完成？ ( ) 【解析】 根據(jù)公式，第一階段 12 個(gè)隊(duì)分成 2 組，每組 6 個(gè)人，則每組單循環(huán)賽產(chǎn)生前 2名需要進(jìn)行的比賽場次是： 6（ 61)247。 又，“一天只能進(jìn)行 2 場比賽”，則 36 場需要 18 天；“每 6場需要休息一天”，則 36場需要休息 36247。 比賽賽制 在正規(guī)的大型賽 事中，我們經(jīng)常聽到淘汰賽或者循環(huán)賽的提法，實(shí)際上這是兩種不同的賽制，選手們需要根據(jù)事前確定的賽制規(guī)則進(jìn)行比賽。 1. 循環(huán)賽：就是參加比賽的各隊(duì)之間，輪流進(jìn)行比賽，做到隊(duì)隊(duì)見面相遇，根據(jù)各隊(duì)勝負(fù)的場次積分多少?zèng)Q定名次。 單循環(huán)是所有參加比賽的隊(duì)均能相遇一次，最后按各隊(duì)在全部比賽中的積分、得失分率排列名次。 單循環(huán)比賽場次計(jì)算的公式為： 由于單循環(huán)賽是任意兩個(gè)隊(duì) 之間的一場比賽，實(shí)際上是一個(gè)組合題目，就是 C(參賽選手?jǐn)?shù)， 2)，即：單循環(huán)賽比賽場次數(shù)＝參賽選手?jǐn)?shù)（參賽選手?jǐn)?shù) 1 )/2 ? 雙循環(huán)是所有參加比賽的隊(duì)均能相遇兩次，最后按各隊(duì)在兩個(gè)循環(huán)的全部比賽中的積分、得失分率排列名次。 雙循環(huán)比賽場次計(jì)算的公式為：由于雙循環(huán)賽是任意兩隊(duì)之間比賽兩次，因此比賽總場數(shù)是單循環(huán)賽的 2 倍，即：雙循環(huán)賽比賽場次數(shù)＝參賽選手?jǐn)?shù)（參賽選手?jǐn)?shù) 1 ) 2. 淘汰賽：就是所有參加比賽的隊(duì)按照預(yù) 先編排的比賽次序、號碼位置，每兩隊(duì)之間進(jìn)行一次第一輪比賽，勝隊(duì)再進(jìn)入下一輪比賽，負(fù)隊(duì)便被淘汰，失去繼續(xù)參加比賽的資格，能夠參加到最后一場比賽的隊(duì)，勝隊(duì)為冠軍，負(fù)隊(duì)為亞軍。 決出冠 (亞 )軍的比賽場次計(jì)算的公式為：由于最后一場比賽是決出冠 (亞 )軍，若是 n 個(gè)人參賽，只要淘汰掉 n1 個(gè)人，就可以了，所以比賽場次是 n1 場，即：淘汰出冠 (亞 )軍的比賽場次＝參賽選手?jǐn)?shù) 1； 決出前三 (四 )名的比賽場次計(jì)算的公式為：決出冠亞軍之后，還要在前 四名剩余的兩人中進(jìn)行季軍爭奪賽，也就是需要比只決出冠 (亞 )軍再多進(jìn)行一場比賽，所以比賽場次是 n 場，即：淘汰出前三 (四 )名的比賽場次＝參賽選手?jǐn)?shù)。則 4 人合作需要（ ）天？ A、 4? B、 5? C、 6? D、 7 析：丙丁合做需要 8 天，則丙丁平均效率 16 天，這里最差的 18 天，則四人做最差也只要 天，則選 4。現(xiàn)在將這項(xiàng)工作平均分配給這些工作組來共同完成。則需 1/6 / 1/18 =3 母親現(xiàn)在的年齡個(gè)位數(shù)跟十位數(shù)對調(diào)就是女兒的年齡。則母親年齡是（ ） A、 52? B、 42? C、 41? D、 44 析：此題不用列方程，直接代入即可。 頁碼里含有多少個(gè) 2? 析： 1－ 99 里有 20 個(gè) 2， 100－ 199 有 20 個(gè) 2。 則共有 2:1300+300