【正文】 ∴ HC=2a， HM=a， HN= a， ∴ AM= a， AH= a， ∴ AC= = a， AE+3AF=（ EM﹣ AM） +3（ AH+HN﹣ FN） =EM﹣ AM+3AH+3HN﹣ 3FN=3AH+3HN﹣ AM= a， ∴ = = ． 故答案為 ． 。 ∠ M=90176。 ∴∠ CFN=∠ AEC， ∵∠ M=∠ CNF=90176。 ∴∠ AEC+∠ AFC=180176。 ∵∠ ECF=60176。 ∴∠ CAD=30176。 ∴∠ BCE=∠ ACF， 在 △ BCE 和 △ ACF 中， ∴△ BCE≌△ ACF． ②∵△ BCE≌△ ACF， ∴ BE=AF， ∴ AE+AF=AE+BE=AB=AC． （ 2）設(shè) DH=x，由由題意， CD=2x， CH= x， ∴ AD=2AB=4x， ∴ AH=AD﹣ DH=3x， ∵ CH⊥ AD， ∴ AC= =2 x， ∴ AC2+CD2=AD2， ∴∠ ACD=90176。 BC=AC， ∵∠ ECF=60176。 ∵ AD=AB， ∴△ ABC， △ ACD 都是等邊三角形， ∴∠ B=∠ CAD=60176。角的頂點(diǎn)始終與點(diǎn) C 重合，較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段 AB， AD 于點(diǎn) E， F（不包括線段的端點(diǎn)）． （ 1）初步嘗試 如圖 1，若 AD=AB，求證： ①△ BCE≌△ ACF， ②AE+AF=AC； （ 2）類比發(fā)現(xiàn) 如圖 2，若 AD=2AB，過點(diǎn) C 作 CH⊥ AD 于點(diǎn) H，求證： AE=2FH； （ 3）深入探究 如圖 3，若 AD=3AB，探究得： 的值為常數(shù) t，則 t= ． 【考點(diǎn)】 幾何變換綜合題． 【分析】 （ 1） ①先證明 △ ABC， △ ACD 都是等邊三角形，再證明 ∠ BCE=∠ ACF 即 可解決問題． ②根據(jù)①的結(jié)論得到 BE=AF，由此即可證明． （ 2）設(shè) DH=x，由由題意， CD=2x， CH= x，由 △ ACE∽△ HCF，得 = 由此即可證明． （ 3）如圖 3 中，作 CN⊥ AD 于 N， CM⊥ BA 于 M， CM 與 AD 交于點(diǎn) H．先證明 △ CFN∽△ CEM，得 = ，由 AB?CM=AD?CN， AD=3AB，推出 CM=3CN，所以 = = ，設(shè) CN=a， FN=b，則 CM=3a， EM=3b，想辦法求出 AC， AE+3AF 即可解決問題． 【解答】 解；（ 1） ①∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∠ BAD=120176。）進(jìn)行探究：將一塊含 60176。 =3， 若點(diǎn) P 在 y 軸右側(cè)，把 x=3 代入 y=﹣ x+4，解得 y=1； 若點(diǎn) P 在 y 軸左側(cè)，把 x=﹣ 3 代入 y=﹣ x+4，解得 y=7 ∴ P3（ 3， 1）； P4（﹣ 3， 7）． ∴ 所有符合題意得點(diǎn) P 坐標(biāo)有 4 個，分別為 P1（ ）， P2（ ）， P3（ 3， 1）， P4（﹣ 3， 7）． 24．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，某學(xué)習(xí)小組對有一內(nèi)角為 120176。 若點(diǎn) P 在 y 軸右側(cè)，作 PH⊥ y 軸， ∵∠ PCH=45176。 由此可知，若點(diǎn) P 在 AC 上，則 ∠ MCP=90176。則若 △ PCM 與 △ BCD 相似，則要進(jìn)行分類討論，分成 △ PCM∽△ BDC或 △ PCM∽△ CDB 兩種，然后利用邊的對應(yīng)比值求出點(diǎn)坐標(biāo)． 【解答】 解：（ 1）把點(diǎn) A（ 3， 1），點(diǎn) C（ 0， 4）代入二次函數(shù) y=﹣ x2+bx+c 得， 解得 ∴ 二次函數(shù)解析式為 y=﹣ x2+2x+4， 配方得 y=﹣（ x﹣ 1） 2+5， ∴ 點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 1， 5）； （ 2）設(shè)直線 AC 解析式為 y=kx+b，把點(diǎn) A（ 3， 1）， C（ 0， 4）代入得， 解得 ∴ 直線 AC 的解析式為 y=﹣ x+4，如圖所示，對稱軸直線 x=1 與 △ ABC 兩邊分別交于點(diǎn) E、點(diǎn) F 把 x=1 代入直線 AC 解析式 y=﹣ x+4 解得 y=3，則點(diǎn) E 坐標(biāo)為（ 1， 3），點(diǎn) F 坐標(biāo)為（ 1， 1） ∴ 1＜ 5﹣ m＜ 3，解得 2＜ m＜ 4； （ 3）連接 MC，作 MG⊥ y 軸并延長交 AC 于點(diǎn) N，則點(diǎn) G 坐標(biāo)為（ 0， 5） ∵ MG=1， GC=5﹣ 4=1 ∴ MC= = ， 把 y=5 代入 y=﹣ x+4 解得 x=﹣ 1，則點(diǎn) N 坐標(biāo)為（﹣ 1， 5）， ∵ NG=GC， GM=GC， ∴∠ NCG=∠ GCM=45176。 故 = = =π， 答： 的長為 π． 21．中華文明，源遠(yuǎn)流長；中華詩詞，寓意深廣．為了傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，我市某校團(tuán)委組織了一次全校2022 名學(xué)生參加的 “中國詩詞大會 ”海選比賽，賽后發(fā)現(xiàn)所有參賽學(xué)生的成績均不低于 50 分，為了更好地了解本次海選比賽的成績分布情況，隨機(jī)抽取了其中 200 名學(xué)生的海選比賽成績（成績 x 取整數(shù)，總分 100分）作為樣本進(jìn)行整理，得到下列統(tǒng)計圖表： 抽取的 200 名學(xué)生海選成績分組表 組別 海選成績 x A 組 50≤x＜ 60 B 組 60≤x＜ 70 C 組 70≤x＜ 80 D 組 80≤x＜ 90 E 組 90≤x＜ 100 請根據(jù)所給信息，解答下列問題： （ 1）請把圖 1 中的條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；（溫馨提示：請畫在答題卷相對應(yīng)的圖上） （ 2）在圖 2 的扇形統(tǒng)計圖中，記表示 B 組人數(shù)所占的百分比為 a%，則 a 的值為 15 ，表示 C 組扇形的圓心角 θ的度數(shù)為 72 度； （ 3）規(guī)定海選成績在 90 分以上（包括 90 分）記為 “優(yōu)等 ”，請估計該校參加這次海選比賽的 2022 名學(xué)生中成績 “優(yōu)等 ”的有多少人？ 【考點(diǎn)】 條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖． 【分析】 （ 1）用隨機(jī)抽取的總?cè)藬?shù)減去 A、 B、 C、 E 組的人數(shù)，求出 D 組的人數(shù)，從而補(bǔ)全統(tǒng)計圖； （ 2） 用 B 組抽查的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，即可求出 a；用 360 乘以 C 組所占的百分比，求出 C 組扇形的圓心角θ的度數(shù)； （ 3）用該校參加這次海選比賽的總?cè)藬?shù)乘以成績在 90 分以上（包括 90 分）所占的百分比，即可得出答案． 【解答】 解：（ 1） D 的人數(shù)是： 200﹣ 10﹣ 30﹣ 40﹣ 70=50（人）， 補(bǔ)圖如 下： （ 2） B 組人數(shù)所占的百分比是 100%=15%， 則 a 的值是 15； C 組扇形的圓心角 θ的度數(shù)為 360 =72176。 ∴∠ BDC=30176。 ∴∠ DCB=∠ DBC=75176。=75176。 ∴∠ DCB=180176。． （ 1）求證： BD=CD； （ 2）若圓 O 的半徑為 3，求 的長． 【考點(diǎn)】 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；弧長的計算． 【分析】 （ 1）直接利用圓周角定理得出 ∠ DCB 的度數(shù)，再利用 ∠ DCB=∠ DBC 求出答案； （ 2）首先求出 的度數(shù)，再利用弧長公式直接求出答案． 【解答】 （ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD 內(nèi)接于圓 O， ∴∠ DCB+∠ BAD=180176。+（ 2﹣ ） 0． 【考點(diǎn)】 實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)冪；特 殊角的三角函數(shù)值． 【分析】 直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及零指數(shù)冪的性質(zhì)分析 得出答案． 【解答】 解：原式 =1﹣ +1 = ． 18．當(dāng) a=3， b=﹣ 1 時，求下列代數(shù)式的值． （ 1）（ a+b）（ a﹣ b）； （ 2） a2+2ab+b2． 【考點(diǎn)】 代數(shù)式