地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(1)(參考版)
2025-01-11 16:05本頁(yè)面
【正文】 在這類(lèi)投影中，一般按經(jīng)緯網(wǎng)形狀又可分為偽方位投影、偽圓柱投影、偽圓錐投影和多圓錐投影等。 按構(gòu)成方法分類(lèi) ? ③ 圓錐投影 以圓錐面作為投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線(xiàn)投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。這種投影適合作大致為圓型的制圖區(qū)域。 按構(gòu)成方法分類(lèi) ? （ 1）幾何投影 把地球球面上的經(jīng)緯線(xiàn)網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面而得到的，根據(jù)幾何面的形狀，可進(jìn)一步分為如下幾類(lèi)： ? ①方位投影 以平面作為投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線(xiàn)投影到平面上而成。 ②任意投影不能保持等積、等角特性。 等角投影 等積投影 等距投影 任意投影 如圖表示各種變形性質(zhì)不同的地圖投影中變形橢圓的形狀。 ? 在任意投影中，有一種特殊的投影，叫做 等距投影 ，其條件是， m=1。 按變形性質(zhì)分類(lèi) 按變形性質(zhì)分類(lèi) ? （ 3）任意投影： 任意投影是既不等角也不等積的投影。 ? 等積投影條件： Vp=P―1 ＝ 0； P=1（ P=ab，所以 a=1/b或 b=1/a ） ? 由于這類(lèi)投影可以保持面積沒(méi)有變形，故有利于在圖上進(jìn)行面積對(duì)比。也就是球面上的不同地點(diǎn)微小圓投影后為面積相等的各個(gè)橢圓，但橢圓的形狀不一樣。 ? 多用于編制航海圖、洋流圖、風(fēng)向圖等地形圖。 ? 按變形性質(zhì)分類(lèi) ? 等角投影 ? 等積投影 ? 任意投影 ? 按構(gòu)成方法分類(lèi) ? 幾何投影 ? 條件投影 按變形性質(zhì)分類(lèi) ? （ 1）等角投影（正形投影）： 角度變形為 0，地球面上的微小圓經(jīng)過(guò)投影后仍為相似的微小圓，其形狀保持不變，只有長(zhǎng)度和面積變形。 ?等變形線(xiàn)通常是用點(diǎn)虛線(xiàn)來(lái)表示的 。等變形線(xiàn)就是變形值相等的各點(diǎn)的連線(xiàn)， 它是根據(jù)計(jì)算的各種變形的數(shù)值（如 P,ω）繪于經(jīng)緯線(xiàn)網(wǎng)格內(nèi)的，如面積等變形線(xiàn)。并且不同點(diǎn)的變形數(shù)量常常是不一樣的，為了便于觀察和了解繪制區(qū)域變形的分布。過(guò)一點(diǎn)可以做許多方向線(xiàn)，每?jī)蓷l方向線(xiàn)均可以組成一個(gè)角度，這些角度投影到平面上之后，往往與原來(lái)的大小不一樣，而且不同的方向線(xiàn)組成的角度產(chǎn)生的變形一般也不一樣。 面積變形 就是面積比與 1之差 ，以 Vp表示： Vp=(dF’dF)/dF=dF’/dF1=P1 ? 面積變形有正有負(fù)，面積變形為零，表示投影后面積無(wú)變形，面積變形為正，投影后面積增加；面積變形為負(fù)，投影后面積縮小。投影面上半徑為 r的微分圓，投影到平面上后變成長(zhǎng)軸為 ar、短軸為 br的微分橢圓，以 P表示面積比，則 : P=dF’/dF=arbrπ/πr2=ab（面積比等于主方向長(zhǎng)度比的乘積） 或 P=mnsinθ（ θ為投影后經(jīng)緯線(xiàn)夾角） ? 若經(jīng)緯線(xiàn)方向就是主方向， θ=90186。 ? 注意 長(zhǎng)度比、長(zhǎng)度變形與地圖比例尺 的區(qū)別。由于投影后有變形，所以主比例尺僅能保留在投影后沒(méi)有變形的點(diǎn)或線(xiàn)上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。但 也有一些投影后經(jīng)緯線(xiàn)斜交 ，因此， 主方向與經(jīng)緯線(xiàn)方向并不一致 。 a b c d a’（ d） o o’ b’（ a） c’（ b） d’（ c） ? 在主方向上，具有極大和極小長(zhǎng)度比。sinθ=a 投影后經(jīng)緯線(xiàn)不直交 ，其夾角為 θ,則經(jīng)緯線(xiàn)長(zhǎng)度比 m、 n和最大、最小長(zhǎng)度比 a、 b之間具有如下關(guān)系： m2+n2=a2+b2 m ds ds’ ? 通常研究長(zhǎng)度比時(shí)，不一一研究各個(gè)方向的長(zhǎng)度比，而只研究一些特定方向的長(zhǎng)度比，即 研究 最大長(zhǎng)度比（ a） 和 最小長(zhǎng)度比（ b） ,經(jīng)線(xiàn)長(zhǎng)度比（ m） 和 緯線(xiàn)長(zhǎng)度比（ n） 。用公式表示為： μ=ds’/ds ? 長(zhǎng)度比是一個(gè)變量， 它不僅隨著點(diǎn)的位置不同而變化，還隨著方向的變化而變化。 那么在變化的過(guò)程中 ， 必然有一特殊位置 ， 直角投影后仍保持直交 ， 此二直交直線(xiàn)方向 ， 稱(chēng)之為 主方向 。 a b c d a’（ d） o o’ b’（ a） c’（ b） d’（ c） ? 設(shè)想 ac、 bd二垂線(xiàn)相對(duì)位置保持不變 ， 并繞 o點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ， 當(dāng)旋轉(zhuǎn)90度時(shí) ， 直角 aob轉(zhuǎn)到原來(lái) boc的位置 ， 這時(shí)投影由原來(lái)的銳角轉(zhuǎn)變成鈍角；同樣的 ， 直角 boc轉(zhuǎn)到了 cod的位置 ， 它的投影由原來(lái)的鈍角變?yōu)殇J角 。 d a b c d’ o o’ a’ b’ c’ ? （ 2 ）主方向 由于投影要產(chǎn)生變形，所以球面上兩條相互垂直的微小線(xiàn)段投影后一般不一定正交，例如設(shè) o是球面上一點(diǎn)，過(guò) o作兩條垂線(xiàn) ac和 bd，投影后為 a’c’和b’d’。 ? 橢圓面積與小圓面積之比，可以說(shuō)明面積變形 。 ? 橢圓半徑與小圓半徑之比，可以說(shuō)明長(zhǎng)度變形 。故叫做 變形橢圓 。 比 較 ? （ 1）變形橢圓 在地球球面上取一微小圓，它在平面上的投影除在接觸點(diǎn)位置外，一般情況下為橢圓， 下面我們用數(shù)學(xué)方法驗(yàn)證一下。 ? 同一緯度帶，經(jīng)差相同的經(jīng)緯線(xiàn)網(wǎng)格面積相等，不同緯度帶內(nèi)，網(wǎng)格面積不等，同一經(jīng)度帶內(nèi)，緯度越高，梯形面積越小。 ? 經(jīng)線(xiàn)和緯線(xiàn)是相互垂直的。 為了研究變形，首先讓我們分析一下 地球儀上經(jīng)緯網(wǎng)的特點(diǎn)： ? 所有經(jīng)線(xiàn)圈都是通過(guò)兩極的大圓；長(zhǎng)度相等；所有緯線(xiàn)除赤道是大圓外，
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