【正文】 當(dāng)然這樣會進(jìn)一步增加設(shè)計復(fù)雜性和濾波器的階數(shù) 。 至于高通和帶阻濾波器 ， 由于它們在高頻部分不衰減 ， 因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中 。 脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng) 。 圖 511 例 53的幅頻特性 ?? / T 2 ?? / T ??2 ??)j(aΩH)(ej ?Hoo 優(yōu)缺點 從以上討論可以看出 ， 脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng) ， 也就是時域逼近良好 ， 而且模擬頻率 Ω和數(shù)字頻率 ω之間呈線性關(guān)系ω=ΩT。 解 直接利用式（ 540）可得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 TTTTTTT ezeezeeTzezTezTzH423131311 )(1)(11)( ???????????? ?????????設(shè) T=1，則有 211)(?????? zzzzH 模擬濾波器的頻率響應(yīng) Ha(jΩ)以及數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω)分別為 : ????22)(432)(jjjjaeeeeHjjH????????????）（把 |Ha(jΩ)|和 |H(ejω)|畫在圖 511上 。 從式（ 535）看出，數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)幅度還與采樣間隔 T成反比： ??????? TjHTeH aj ?? 1)(|ω|π 如果采樣頻率很高 ， 即 T很小 ， 數(shù)字濾波器可能具有太高的增益 ， 這是不希望的 。 （ 3） 如果模擬濾波器是因果穩(wěn)定的 ， 則所有極點 sk位于 S平面的左半平面 ， 即 Re［ sk］ 0， 則變換后的數(shù)字濾波器的全部極點在單位圓內(nèi) ， 即 |eskT|=eRe［ sk］ T 1， 因此數(shù)字濾波器也是因果穩(wěn)定的 。 在脈沖響應(yīng)不變法中，要求數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)等于對 ha(t)的采樣，即 ???????NknTskNknTska nueAnueAnThnhkk11)()()()()( (537) ?? ????????????????????????NkTskNknTsnkNknTsknnnzeAzeAzeAznhzhkkk111101101)()()()(對 h(n)求 Z變換，即得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) (538) 將式 （ 536） 的 Ha(s)和式 （ 538） 的 H(z)加以比較 ， 可以看出： （ 1） S平面的每一個單極點 s=sk變換到 Z平面上 z=eskT處的單極點 。 下面我們討論如何由脈沖響應(yīng)不變法的變換原理將 Ha(s)直接轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器 H(z)。 圖 510 脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象 － 3? － 2?… …)j(aΩH?oo－ ? 2 ? 3 ?? ? ＝ ? ? T)(ej ?HTπ2TπTπTπ2－ 對某一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng) ha(t)進(jìn)行采樣 ， 采樣頻率為 fs， 若使 fs增加 ， 即令采樣時間間隔 （ T=1/fs） 減小 ， 則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間相距更遠(yuǎn) ， 因而可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng) 。 當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大 、 越快時 ， 變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小 。 正如第 1章 ， 只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的 ， 且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時 ， 0)( ??jH a2||sT???? ? (534) 才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng) ， 而不產(chǎn)生混疊失真 ， 即 ??????? TjHTeH aj ?? 1)(|ω|π (535) 但是 ， 任何一個實際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的 ， 變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊 ， 即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真 ， 如圖 510所示 。 如果令 Ha(s)是 ha(t)的拉普拉斯變換 ， H(z)為 h(n)的 Z變換 ， 利用第 2章 Z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關(guān)系 ， 即利用式 （ 253） （ P71） ， 得 ?????? ????? ??????????? kTjsXTjksXTzXkaskaez sT?21)(1)((532) 則可看出 ， 脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器的 S平面變換成數(shù)字濾波器的 Z平面 ， 這個從 s到 z的變換 z=esT正是第 2章 S平面變換到 Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系式 （ 251） 。 j() Figure splane locations for poles of for sixthorder Butterworth filter in Example . ??? ? ? ? ? ? 21 / 1 / Nc c cH s H s s j??? ? ? ?????? ?cHs? ? ? ?ccH s H s?Therefore , If we express as a partial fraction expansion , perform the transformation of Eq.(), and then bine plexconjugate terms, the resulting system function of the discretetime filter is ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 20 . 1 2 0 9 3 , ( 7 . 1 8 )0 . 3 4 0 0 . 4 9 4 5 0 . 9 9 4 5 0 . 4 9 4 5 1 . 3 5 8 5 0 . 4 9 4 5c s s s s s sHs ? ? ? ? ? ??? ? 1 1 11 2 1 2 1 20 . 2 8 7 1 0 . 4 4 6 6 2 . 1 4 2 8 1 . 1 4 5 5 1 . 8 5 5 7 0 . 6 3 0 3 , ( 7 . 1 9 )1 0 . 9 9 7 2 0 . 2 5 7 0 1 1 . 0 6 9 1 0 . 3 6 9 9 1 0 . 9 9 7 2 0 . 2 5 7 0a z zHz z z z z z z? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ?cHsAs is evident from Eq.(), the system function resulting from the impulse invariance design procedure may be realized directly in parallel form. The basis for impulse invariance is to choose an impulse response for the discretetime filter that is similar in some sense to the impulse response of the continuoustime filter. Figure Frequency response of sixthorder Butterworth filter transform by impulse invariance. (a) Log magnitude in dB. (b) magnitude . (c ) Group delay Filter Design by Impulse Invariance 一 、 變換原理 利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器 ， 也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性 ， 這種模仿可以從不同的角度出發(fā) 。 j() Pole pair 2:177。 ., where represents a sampling interval. ? ? ? ?d c dh n T h nT?dTWhen impulse invariance is used as a means for designing a discretetime filter with a specified frequency response , we are especially interested in the relationship between the frequency response of the discretetime and continuoustime filters. If the continuoustime filter is bandlimited, so that then ., the discretetime and continuoustime frequency response are related by a linear scaling of the frequency axis , namely , ? ? 2 , ( 7 . 5 )j ck ddH e H j j kTT? ???? ? ????? ?????? ? 0 , / , ( )cdH j T?? ? ? ?? ? , 。 ?11 163。 ?1)(ej ?HP a s s b andT r a n s it i o ns t o p h a n d?2o11 163。 171。圖 例 ——用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字低通濾波器的幅度特性 Example Determining Specifications for a DiscreteTime Filter We want the overall system of that figure to have the following properties when the sampling rate is samples/s ( ) 1. The gain should be within177。(5)用脈沖響應(yīng)不變法將 Ha(s)轉(zhuǎn)換成 H(z)。 2221 0 1 033221 0 1 032 0 .11 ( )1 ( ) 20 l og ( ) 10 l og [ 1 ( ) ]2 10 3 10 10 l og [ 1 ( ) ] 1 10 l og [ 1 ( ) ] 152 10 1 ( ) 10 1 (aNcNacNNccNcHjHj?????????? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ????? ? ??即：； 先用等號來滿足指標(biāo)，可得； 32 1 .5333 10) 106 , 2 10 6 , 10NcccNNNNN? ????? ? ?? ? ?解此兩方程，可得： 。 ωs=,αs=15dB ② 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為 33332 2 1 102 10 102 2 102 10 10cccsstst stsffTfffTf? ?? ? ?? ?? ? ???? ? ? ????? ? ? ??44142/1 / 10/ 10 , 1/ 10 , 15sccst stTTTfT dBT dB??? ? ?? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ③設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。 (4)將模擬濾波器 Ha(s)，從 s平面轉(zhuǎn)換到 z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù) H(z)。 (2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 圖 518 三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響 1 .