【正文】 e 一 、 變換原理 利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器 ， 也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性 ， 這種模仿可以從不同的角度出發(fā) 。 ?1)(ej ?HP a s s b andT r a n s it i o ns t o p h a n d?2o11 163。 2221 0 1 033221 0 1 032 0 .11 ( )1 ( ) 20 l og ( ) 10 l og [ 1 ( ) ]2 10 3 10 10 l og [ 1 ( ) ] 1 10 l og [ 1 ( ) ] 152 10 1 ( ) 10 1 (aNcNacNNccNcHjHj?????????? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ????? ? ??即：； 先用等號來滿足指標，可得； 32 1 .5333 10) 106 , 2 10 6 , 10NcccNNNNN? ????? ? ?? ? ?解此兩方程，可得： 。 圖 518 三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響 1 . 00 . 50 0 . 5 ?)(ej ?H? ?01 . 0 2 . 0 f / k H z1 ： 脈 沖 響 應不 變 法2 ： 雙 線 性 變換 法12 下面我們總結(jié)利用模擬濾波器設(shè)計 IIR數(shù)字低通濾波器的步驟 。 為了進行脈沖響應不變法變換，將上式進行因式分解并表示成如下的部分分式形式： 2/)31()3/(2/)31()3/()( 6/6/jsejsessH cjccjccca ???????????????? ? ??將此部分分式系數(shù)代入 (540)式就得到 12/)31(6/12/)31(6/1 1)3/(1)3/(1)( ????????? ???????? zeezeezezH jjcjjccccc ????????式中 ， ωc=ΩcT=2πfcT= 。 這些典型的濾波器各有特點：巴特沃思濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫濾波器的幅頻特性在通帶或者在阻帶有波動 ， 可以提高選擇性；貝塞爾濾波器通帶內(nèi)有較好的線性相位特性；橢圓濾波器的選擇性相對前三種是最好的 , 但在通帶和阻帶內(nèi)均為等波紋幅頻特性 。 這種方法很方便 ， 因為模擬濾波器已經(jīng)具有很多簡單而又現(xiàn)成的設(shè)計公式 ， 并且設(shè)計參數(shù)已經(jīng)表格化了 ， 設(shè)計起來既方便又準確 。 ak≠0 說明必須將延時的輸出序列反饋回來 ， 也即遞歸系統(tǒng)必須有反饋環(huán)路 。 δ1逼近于 1，即 11 1|)(|1 ?? ? ???? jeH在阻帶內(nèi)，幅度響應以誤差小于 δ2而逼近于零，即 2|)(| ?? ?jeHωs≤|ω|≤π |ω|≤ωp 式中 ， ωp, ωs分別為通帶截止頻率和阻帶截止頻率 ， 它們都是數(shù)字域頻率 。 由圖 51可知 ， 理想低通濾波器選擇出輸入信號中的低頻分量 ， 而把輸入信號頻率在 ωcω≤π范圍內(nèi)所有分量全部濾掉 。 由第 1章 ， 一個輸入序列 x(n)， 通過一個單位脈沖響應為 h(n)的線性時不變系統(tǒng)后 ， 其輸出響應 y(n)為 ?????????nmnxmhnhnxny )()()()()(將上式兩邊經(jīng)過傅里葉變換，可得 )()()( ??? jjj eHeXeY ?式中 ， Y(ejω)、 X(ejω)分別為輸出序列和輸入序列的頻譜函數(shù) ， H(ejω)是系統(tǒng)的頻率響應函數(shù) 。 根據(jù)不同要求可以用 IIR系統(tǒng)函數(shù) ， 也可以用FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近 。 As shown in Section , if a linear timeinvariant discretetime system is used as in Figure , and if the input is bandlimited and the sampling frequency is high enough to avoid aliasing, then the overall system behaves as a linear timeinvariant continuoustime system with frequency response In such cases,it is straightforward to convert from specifications on the effective continuoustime filter to specifications on the discretetime filter through the relation . That is is specified over one period by the equation ? ? ? ? ,/0 , , /jTe ffH e THjT????? ???? ?????T???? ? ,j e f fH e H j T? ? ??????????? ?jHe???axtTT??xn ??yn ??ayt? ?jHe?/CD /DCThis type of conversion is illustrated in Example Basic system for discretetime filtering of continuoustime signals. 1 選頻濾波器的分類 數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的重要基礎(chǔ) 。 因此 ， 只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的 ， 適當選擇 H(ejω)， 使得濾波后的 X(ejω)H(ejω)符合人們的要求 ， 這就是數(shù)字濾波器的濾波原理 。 2 濾波器的技術(shù)指標 理想濾波器 (如理想低通濾波器 )是非因果的 ， 其單位脈沖響應從 ∞延伸到 +∞， 因此 ， 無論用遞歸還是非遞歸方法 ， 理想濾波器是不能實現(xiàn)的 ， 但在概念上極為重要 。 例如 |H(ejω)|在 ωp 處滿足|H(ejωp)|=， 則 Ap=3 dB；在 ωs處滿足 |H(ejωs)|=， 則 As=60 dB（ 參考圖 52） 。 FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 ?????10)()(NnnznhzH （ 56） 由式（ 56）可知， H(z)的極點只能在 Z平面的原點。 （ 2） 因果穩(wěn)定的 Ha(s)應能映射成因果穩(wěn)定的 H(z)， 也即 S平面的左半平面 Re［ s］ 0必須映射到 Z平面單位圓的內(nèi)部 |z|1。 然后 ， 通過脈沖響應不變法或雙線性變換法 ， 將此 “ 樣本 ” 模擬低通濾波器數(shù)字化為所需的數(shù)字濾波器 H(z)。 這個結(jié)論適合于所有的數(shù)字濾波器設(shè)計 。 21ta n( )2TT??????如果采用雙線性變換法 ， 邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 (3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標設(shè)計模擬低通濾波器。 首先將 Ha(s)進行部分分式 ， 并按照 (536)式 ， 可得到： 111 2 1 21120 .2 8 7 1 0 .4 4 6 6 2 .1 4 2 8 1 .1 4 5 4()1 0 .1 2 9 7 0 .6 9 4 9 1 1 .0 6 9 1 0 .3 6 9 91 .8 5 5 8 0 .6 3 0 41 0 .9 9 7 2 0 .2 5 7 0zzHzz z z zzzz??? ? ? ????? ? ???? ? ? ?????,jwze?當 即得到數(shù)字濾波器的頻率響應。 ?1)(ej ?HP a s s b andT r a n s it i o ns t o p h a n d?2o1 (a) (b) DESIGN OF DISCRETETIME IIR FILTERS FROM CONTINUOUSTIME FILTERS The traditional approach to the design of discretetime IIR filters involves the transformation of a continuoustime filter into a discrete filter meeting prescribed specifications . This is a reasonable approach for several reasons: The art of continuoustime IIR filter design is highly advanced , and since useful results can be achieved, it is advantageous to use the design procedures already developed for continuoustime filters. Many useful continuoustime IIR design methods have relatively simple closedform design formulas. Therefore, discretetime IIR filter design methods based on such standard continuoustime design formulas are rather simple to carry out. The stand approximation methods that work well for continuoustime IIR filters do not lead to simple closedform design formulas when these methods are applied directly to the discretetime IIR case. Filter Design by Impulse Invariance Impulse invariance provides a direct means of puting samples of the output of a bandlimited continuoustime system for bandlimited input signals . Alternatively , in the context of filter design, we can think of impulse invariance as a method for obtaining a discretetime system. In the impulse invariance design procedure for transforming continuoustime filters into discretetime filters , the impulse response of the discretetime filter is chosen proportional to equally spaced samples of the impulse response of the continuoustime filter。 圖 59 脈沖響應不變法的映射關(guān)系 j ?3 ?? / T?? / T－ 3 ?? / T－ ?? / Too? － 1 1j I m [ z ]R e [ z ]Z 平面S 平面二 、 混疊失真 由式 （ 532） 知 ， 數(shù)字濾波器的頻率響應和模擬濾波器的頻率響應間的關(guān)系為 ?????? ?? ????? TkjHTeH k aj ??? 21)((533) 這就是說 ， 數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓 。 設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)只有單階極點 ， 且假定分母的階次大于分子的階次 （ 一般都滿足這一要求 ， 因為只有這樣才相當于一個因果穩(wěn)定的模擬系統(tǒng) ） ， 因此可將 ?? ??Nk kka ss